初中数学竞赛实数部分强化练习

初中数学竞赛实数部分强化练习

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.已知a,b满足|a-3|+（6+2）2=0,则单项式-5axa加的系数和次数分别是

（）

A.-15,6B.-15,5C.-5,6D.-5,5

2.下列说法正确的是（）

A.正有理数和负有理数统称有理数B.正整数和负整数统称整数

C.整数和分数统称有理数D.一个有理数不是正数就是负数

3.某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要

将其排列成前多后少的梯形队阵（排数23）,且要求各行的人数必须是连续的自然

数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空当处，那么，满足上述要求排法

的方案有（）.

A.1种B.2种C.4种D.0种

4.设乙夕均为大于3的素数，则使p2+5pq+4q2为完全平方数的素数对（p,q）的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若》=〃，代数式》2+2工+数-2的值为-1,则当x=时，代数式/+2x+4-2

的值为（）

A.-1B.1C.2D.3

6.若依+2|+（/>-1）=0,则。+人的值为（）

A.-3B.-1C.1D.3

7.下列说法正确的是（）

A.自然数和负整数统称为整数

B.所有的素数都是奇数

C.因为39+1.3=3,所以3.9能被1.3整除

D.8的因数有2,4,8

8.对任意的整数x,九定义x@y=x+y-孙，则使得

(x@y)@z+(y@z)@x+(z@x)@y=0的整数组(x,y,z)的个数为()

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

9.已知“，b,c,"为非负整数，JI.ac+bd+ad+be=1997,则a+6+c+d=

10.若a,b,c,d均为素数，且满足2“+）=d,3h-c=2d,则d的最小值是

11.如图，要输出大于100的数，则输入的正整数x最小是

输

入

正

整

数

工

12.若说湎是能被3整除的五位数，则Z的可能取值有个；这样的五位数中

能被9整除的是.

13.已知。，q,r为素数，且""整除网+”+6-1,则P+<7+r=.

14.若卜―l|+S+2021『=0,那么a_8的值是.

15.下图显示的填数幻方只填了一部分，将下列九个数：1,2,4,8,16,

42

32,64填入方格中，使得所有行、列及对角线上各数的乘积相等.则填气”格中的数应

是.

32X

64

16.已知（x-3）2+|/n+l|=0,则如尸.

三、解答题

17.（1）证明：奇数的平方被8除余1；

（2）请进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.

3

18.已知三个正整数倒数之和等于二，求这三个数.

19.某学生在黑板上写出了17个自然数，每个自然数的个位数码只能是01,2,3,4这5

个数字中的一个，求证：从这17个数中可以选出5个数，它们的和能被5整除.

20.若一个三位数”正（其中a,b,c不全相等且都不为0）,重新排列各数位上的

数字必可得到一个最大数和一个最小数，此最大数和最小数的差叫做原数的差数，记

为7(。.例如，357的差数7(357)=753-357=396.

(1)7(384)=；

(2)已知一个三位数^(其中。>6>1)的差数7(/)=792,且各数位上的数字之和

为一个完全平方数，求这个三位数；

(3)若一个三位数次(其中“，匕都不为0)能被4整除，将个位上的数字移到百位得

到一个新数荻被4除余1,再将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余

2,则称原数为4的“闺蜜数”.例如：因为612=4x153,261=4x65+1,

126=4x31+2,所以612是4的一个闺蜜数.求所有小于500的4的“闺蜜数”3并求

T(f)的最大值.

21.从1到100的正整数中能被3整除或能被5整除的正整数共有多少个？

22.已知：2(»?+2)2+|n-l|=0,求--4,加-3,1"-|，加)卜2(，""+3，"2")的值.

参考答案:

I.A

【解析】

【分析】

先根据绝对值和偶次方的非负数的性质得出a-3=0,6+2=0,解方程求出。与b,然后代

入单项式得出单项式，根据单项式的系数与次数定义求解即可.

【详解】

解：V\a-3|+。+2)2=0,\a-3|>0,32)2>0,

,根据绝对值与偶次方非负数性质可得a-3=0,*+2=0,

解得a=3,b=-2,

单项式-15x5y的系数为-15,次数为5+1=6次.

故选择A.

【点睛】

本题考查绝对值与偶次方非负数性质，单项式的次数与系数，解一元一次方程，掌握非负

数性质，和单项式相关定义是解题关键.

2.C

【解析】

【分析】

根据有理数的含义和分类方法，逐一判断即可.

【详解】

解：A、•.•正有理数、负有理数和0统称有理数，

二选项A不正确，不符合题意；

B、；正整数与负整数、0统称为整数，

.・・选项B不正确，不符合题意；

C、•.•整数和分数统称有理数

二选项C正确，符合题意；

D、；一个有理数不是正数，可能是负数或0,

，选项D不正确，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

答案第1页，共12页

本题主要考查了有理数的含义和分类方法，解题的关键是要熟练掌握有理数的分类：①有

理数可以分为正有理数，0,负有理数；正有理数可以分为正整数和正分数，负有理数分为

负整数和负分数；②有理数可以分为整数和分数；整数分为正整数，0负整数；分数分为

正分数和负分数；按两种分类一一判断即可.

3.B

【解析】

【分析】

【详解】

选也理由：设最后一排有《个人，共有〃排，那么从后往前各排的人数分别为

k,k+l,k+2,--,k+(n-l),由题意可知切+迎二义=100,

2

即川2k+(〃-1)]=200.

因为〃都是正整数，且〃23,所以〃<2A+(〃—1),且〃与2A+(〃—1)的奇偶性不同.

将200分解质因数，可知〃=5或"=8.

当”=5时，％=18；当〃=8时，k=9.

因此共有两种不同方案.

4.B

【解析】

【分析】

【详解】

设p?+5pq+4/=〃/为自然数),则(p+2g)?+pq=>，

BPp-2q)^m+p+2q)=pq.

由于P,9为素数，S.m+p+2c/>p,m+p+2q>q,所以加一p—2q=1,

m+p+2q=pq,

从而网-2p-4q-l=0,即(p-4)(q-2)=9,所以(p,q)=(5,l1)或(7,5).

所以，满足条件的素数对(P，q)的个数为2.

5.D

【解析】

【分析】

答案第2页，共12页

将等式变形可得(a+iy+F工=0,然后利用非负数性质得出。=-1,〃=2,然后将当

x=l时，代入代数式求值即可.

【详解】

解：'：x=a,代数式x2+2x+6二^的值为-1,

♦•ci~+2a+J”-2=-1,

•*.(a+1]+J〃-2=0.

(«+l)2>0,Vn^2>0,

."+1=0,〃-2=0,

解得a=—Ln=2,

当x=l时，代数式X2+2X=1+2=3.

故选择D.

【点睛】

本题考查完全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值，掌握完

全平非负数性质，算术平方根非负性质，完全平方公式，代数式求值是解题关键.

6.B

【解析】

【分析】

先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性可得a、b的值，再代入代数式计算即可得.

【详解】

解：|a+2|+(6-1)=0,|a+2|>0(fe-1)>0,

由偶次方的非负性、绝对值的非负性得：a+2=0,^-1=0,

解得a=-2,b=\,

••ci+b——2+1=-1,

故选：B.

【点睛】

本题考查了代数式求值、偶次方的非负性、绝对值的非负性，熟练掌握偶次方和绝对值的

非负性是解题关键.

7.A

答案第3页，共12页

【解析】

【分析】

即用数码0,1,2,3,4,……所表示的数，表示物体个数的数叫自然数，整数是正整

数，0与负整数的统称，整除，因数假如。乃=。他、b、c都是整数)，那么我们称a和万就是

c的因数概念的理解，对各选项进行一一判断即可.

【详解】

A.自然数和负整数统称为整数，故选项A正确；

B.2是素数，是偶数，所有的素数不都是奇数，故选项B不正确；

C.整数。除以非零整数乩商为整数，39+1.3=3,所以3.9不能说能被1.3整除，故选

项C不正确；

D.8的因数有1,2,4,8,故选项D不正确.

故选择A.

【点睛】

本题考查整数，自然数，整除，因数等概念的理解，掌握整数，自然数，整除，因数等概

念的理解是解题关键.

8.D

【解析】

【分析】

【详解】

(x@y)@z=(x+y-J90@z=(x+y_M+z_(x+y-_xy)z=x+y+z-xy-yz-zx+xyz,

由对称性，同祥可得

^y@z)@x=x+y+z-xy-yz-zx+xyz,(^z@x^@y=x+y+z-xy-yz-zx+xyz.

所以，由己知可得x+y+z_Ay_yz_zx+_xyz=O,即(x_l)(y_l)(z_l)=_1.

所以，x,z为整数时，只能有以下几种情况：

所以，(x,y,z)=(2,2,0)或(2,0,2)或(0,2,2)或(0,0,0),故共有4个符合要求的整数组.

9.1998

答案第4页，共12页

【解析】

【分析】

【详解】

理由：因为。c+6d+ad+Ac=1997,所以(a+6)(c+d)=1xl997.

注意到1997是质数，且a+A,c+d都是非负整数，所以

[a+b=\,p+&=1997,

jc+d=1997或1c+d=l.

因止匕a+6+c+d=1998.

10.17

【解析】

【分析】

根据题意，求得的最小值，可将等式变形得到47=6-C,则“，是合数，且为4的倍数，以

此为突破，求得a,0,Gd

【详解】

•••2a+h=d®,3b-c=2d®

①x2-②得：4a-b+c=0,

即4a=b-c,

・・・求d的最小值，贝力尽量小

当a=2时，b-c=8,

根据20以内的素数可知，%=11,c=3,或者b=13,c=5

此时d=2a+6=4+ll=15,此时d为合数，故不符合题意，

当b=13,c=5时，

此时4=2a+b=4+13=17,

经检验，a,6,c,d皆为素数，满足题意，

故答案为：17.

【点睛】

本题考查了素数的定义，二元一次方程组的加减消元法，掌握20以内的素数是解题的关

键.

11.21

【解析】

答案第5页，共12页

【分析】

【详解】

当x=2Z+l为奇数时，依题意得4(2&+l)+13N101,2k221,x>22；当x=2%为偶数

时，依题意得2Zx5N101,x=2k>20.2,x>21,故正整数x最小是21.

12.394599

【解析】

【分析】

【详解】

填3,94599.理由：能被3整除的数各位数字的和也能被3整除，即2%+4+5+9=2%+18

能被3整除，且4片0.

所以k=3,6,9,共3个.

又因为被9整除的数各位数字的和也能被9整除，即踪+18能被9整除，所以％=9.

因此这样的五位数中能被9整除的是94599.

13.10

【解析】

【分析】

【详解】

设+一_匚，由题意知左是正整数，又p,q,rN2,所以k<。，

pqrpqrpqr2

从而左=1,即有pq+W+rp-l=pqr,于是可知P,q,『互不相等.

当时，pqr=pq+qr+rp-1<3qr,所以q<3,故g=2.

于是2pr=qr+2q+2―l,故(q-2)(r-2)=3,所以q-2=l,r-2=3,即9=3,

r=5,

所以，(p,%r)=(2,3,5).

再由乙4,，•的对称性知，所有可能的数组("©")共有6组，即(2,3,5),(2,5,3),

(3,2,5),(3,5,2),(5,2,3),(5,3,2).

于是p+q+r=\0.

14.2022

【解析】

答案第6页，共12页

【分析】

根据绝对值和平方的非负性，即可求出。和人的值，再代入计算即可.

【详解】

根据题意可知4―1=0,b+2021=0,

解得：a=\,6=-2021.

.•.a-6=1-(-2021)=2022.

故答案为：2022.

【点睛】

本题考查非负数的性质，代数式求值.掌握绝对值和平方的非负性是解题关键.

15.8.

【解析】

【分析】

【详解】

将未填各空格标注字母，如下图.

32zX

hcd

e64f

九个已知数的乘积是H8xlx2x32x4xl6x64=643.

42

所以，每行、每列、每条对角线上三个数的定积等于64.

因为定积等于64,所以从第二列和第三行分别得到ac=l,<f=l.

由此得到，a,c,e,/分别是:，y,2,4中的某个数.

考虑第一行的乘积，得双=2.

这样一来，x只可能是1或8.

考虑到对角线的乘积，得64=cex.

若x=l,则ce=64,不可能.

唯一可能是x=8.这时的填法是

答案第7页，共12页

328

4

1416

264

2

16.-I

【解析】

【分析】

根据偶数次嘉和绝对值的非负性，求出x,机的值，进而即可求解.

【详解】

解:V(x-3)2+依+1|=0,且(%-3)2>0,|/«+1|>0,

...(X-3)2=0,|〃?+1|=0,

•*.x=3,m--\,

m'=(—1)!=—1.

故答案是：-1.

【点睛】

本题主要考查非负数和的性质，代数式求值，掌握偶数次基和绝对值的非负性，是解题的

关键.

17.(1)见解析；(2)见解析

【解析】

【分析】

【详解】

(1)奇数可写成2〃+1的形式，其中〃为整数，(2〃+1)2=4〃5+1)+1.

〃与”+1中必有一个为偶数，所以4〃(〃+1)被8整除，奇数2〃+1的平方被8除余1.

(2)由(1),每个奇数的平方和除以8余1,8个奇数的平方和被8整除，10个奇数的平

方和除以8余2,2006除以8余6.

因此，2006不能表示成10个奇数的平方和.

18.符合题意的三个正整数有6组：2,5,20；2,6,12；2,8,8；3,3,12；3,4,6；4,4,4

答案第8页，共12页

【解析】

【分析】

【详解】

解：设三个正整数为X，Xz,x4y4z,则—+—+—^=-7,由平均值原理知

xyz431xyzJ4

中必有一个不小于!，所以其中较大者，又，<］,且x是正整数，故上只

xyz4x4X4X

可能是J或;或:，即x=2或3或4.

234

当x=2时，：①，=故，」中必有一个不小于!，所以其中较大的

yz421yzj8yz8

->1,l<^<8,y=2,3,4,5,6,7,8,代入①验证知y=2,3,4,7时z不为正整数，舍去.当

y8

y=5,6,8时，z分别等于20,12,8.

当x=3时，②，故J_,J■中较大的■!不小于三，从而y4M.

yz12yzy245

Xj>x>3,所以y只可能为3,4,分别代入②得z=12,6.

当X=4时，—+-=-^(3),故中较大的,不小于!，从而y«4.

yZ2yzy4

又yNxN4,所以y=4,代入③得z=4.

综上所述，得满足题意的三个正整数有下列6组：2,5,20;2,6,12;2,8,8;3,3/2;3,4,6;4,4,4.

19.见解析

【解析】

【分析】

【详解】

证明：如果17个数的个位数字01,2,3,4都有，那么可选5个数，它们的个位数字恰好是

0,1,2,3,4,则这5个数之和的个位数字为零，故这5个数之和被5整除.

如果17个数的个位数字最多只有4种不同数字，那么由抽屉原理，至少有［空］+1=5

L4J

个数的个位数字相同，这5个数字之和能被5整除.

20.(1)495

(2)916

(3)693

【解析】

答案第9页，共12页

【分析】

（1）根据新定义直接计算，即可得出答案；

（2）由一个三位数（其中a>b>l）的差数TR记）=792,可得。=9,再根据三位数

M（其中。>6>1）的各数位上的数字之和为一个完全平方数，可得6=16-9-1=6,依

此即可求解；

（3）由一个三位数而（其中。、b都不为0）能被4整除，可得6=1或3或5或7或9,

再根据将新数个位数字移到百位得到另一个新数丽被4除余2并且。<5,可得。=2,从

而得到所有小于500的4的“闺蜜数”f,进一步求得7。）的最大值.

（I）

7（384）=843-348=495,

故答案为：495；

⑵

♦.•一个三位数布（其中”>匕>1）的差数T（Z记）=792

T[a\b\=ab\-Iba

=100a+1Oh+1—100—1Ob—ci

=99〃-99

=792,

a=9f

.・・一个三位数蒜的各位数字之和为9+1+8=0+10,

Va>b>\9

A1<Z?<9,

/.ll</?+10<19,

・・•各数位上的数字之和为一个完全平方数，

:.b=6,

••a\h=9\6，

即这个三位数为916；

⑶

答案第10页，共12页

••,三位数2而被4除余1,

.•"=1或3或5或7或9,

•••将新数个位数字移到百位得到另一个新数两被4除余2并且。<5,

a=2,

，所有小于500的4的“闺蜜数”f是212,232,252,272,292,

7（。的最大值是922-229=693.

【点睛】

本题考查了完全平方数，本题主要应用“差数”“闺蜜数”的定义和整数性质，先将三位“差

数”进行预选，然后再从中筛选出符合题意的数.这是解答数学竞赛题的一种常用方法.

21.从1到100的正整数中能被3或5的整除的数的个数是47个.

【解析】

【分析】

【详解】

设A,8分别表示从1到100的正整数中能被3,5整除的数集，即