高考数学理科一轮复习第4章平面向量第3讲课后作业

A组基础关1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2eq\r(3)，a与b的夹角的余弦值为sineq\f(17π,3)，则b·(2a－b)等于()A．2B．－1C．－6D．－18答案D解析∵a与b的夹角的余弦值为sineq\f(17π,3)＝－eq\f(\r(3),2)，∴a·b＝－3，b·(2a－b)＝2a·b－b2＝－18.2．(2018·烟台一模)已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)，sin\f(π,6)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)，sin\f(5π,6)))，则|a－b|＝()A．1B.eq\f(\r(6),2)C.eq\r(3)D.eq\f(\r(10),2)答案C解析因为a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)－cos\f(5π,6)，sin\f(π,6)－sin\f(5π,6)))，所以|a－b|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)－cos\f(5π,6)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)－sin\f(5π,6)))2＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(5π,6)＋sin\f(π,6)sin\f(5π,6)))＝2－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(5π,6)))＝2－2coseq\f(2π,3)＝3，所以|a－b|＝eq\r(3).3．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b是不平行于x轴的单位向量，且a·b＝eq\r(3)，则b＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(3\r(3),4))) D．(1,0)答案B解析设b＝(cosα，sinα)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a·b＝(eq\r(3)，1)·(cosα，sinα)＝eq\r(3)cosα＋sinα＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\r(3)，解得α＝eq\f(π,3)，故b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))).4．若单位向量e1，e2的夹角为eq\f(π,3)，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝eq\f(\r(3),2)，则λ＝()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．－eq\f(3,4)答案B解析由题意可得e1·e2＝eq\f(1,2)，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×eq\f(1,2)＋λ2＝eq\f(3,4)，化简得λ2＋λ＋eq\f(1,4)＝0，解得λ＝－eq\f(1,2).5．已知平面向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，若(a＋mb)⊥a，则实数m的值为()A．1B.eq\f(3,2)C．2D．3答案D解析∵|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3.∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得m＝3.6．(2018·成都二诊)已知平面向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，且|a|＝1，|b|＝eq\f(1,2)，则a＋2b与b的夹角是()A.eq\f(π,6)B.eq\f(5π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3π,4)答案A解析解法一：因为a·b＝1×eq\f(1,2)×coseq\f(π,3)＝eq\f(1,4).所以|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×eq\f(1,4)＋4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝3，所以|a＋2b|＝eq\r(3)，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝eq\f(1,4)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(3,4).设a＋2b与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a＋2b·b,|a＋2b||b|)＝eq\f(\f(3,4),\r(3)×\f(1,2))＝eq\f(\r(3),2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).解法二：如图，设Aeq\o(B,\s\up16(→))＝a，Aeq\o(E,\s\up16(→))＝b，Aeq\o(D,\s\up16(→))＝2b，Aeq\o(C,\s\up16(→))＝a＋2b.由|Aeq\o(B,\s\up16(→))|＝|Aeq\o(D,\s\up16(→))|，∠BAD＝eq\f(π,3)，易知平行四边形ABCD是菱形，所以a＋2b与b的夹角为eq\f(π,6).故选A.7．(2018·南平二模)在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝()A．－7B．7C．－28D．28答案A解析在△ABC中，若BC＝8，BC边上的中线长为3，可得|eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))|＝6，|eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))|＝8，可得eq\o(AB,\s\up16(→))2＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))2＝36，eq\o(AB,\s\up16(→))2－2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))2＝64，两式作差可得，4eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝－28，所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝－7.8．(2018·潍坊模拟)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为边BC的中点，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝________.答案－9解析因为AB＝AC，点D为边BC的中点，所以AD⊥BC，所以eq\o(AB,\s\up16(→))在eq\o(BD,\s\up16(→))方向上的投影为|eq\o(AB,\s\up16(→))|cos(π－B)＝－|eq\o(AB,\s\up16(→))|cosB＝－|eq\o(BD,\s\up16(→))|＝－eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝－3，所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(BD,\s\up16(→))|cos(π－B)＝3×(－3)＝－9.9．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a，b夹角θ的余弦值为________．答案－eq\f(1,3)解析题中等式两边平方得，|a|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝|a|2＋4|b|2＋4|a||b|cosθ，又考虑到|a|＝3|b|，所以0＝4|b|2＋12|b|2cosθ.解得cosθ＝－eq\f(1,3)，故a，b夹角的余弦值为－eq\f(1,3).10．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝120°，D是边BC的中点．若E是线段AD的中点，则eq\o(EB,\s\up16(→))·eq\o(EC,\s\up16(→))＝________.答案－eq\f(25,4)解析由题意得|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝4×2×cos120°＝－4.eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))，eq\o(AE,\s\up16(→))2＝eq\f(1,16)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))2＝eq\f(1,16)(eq\o(AB,\s\up16(→))2＋2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))2)＝eq\f(1,16)(16－8＋4)＝eq\f(3,4)，所以eq\o(EB,\s\up16(→))·eq\o(EC,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→)))·(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))·eq\o(AE,\s\up16(→))＋eq\o(AE,\s\up16(→))2＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－4eq\o(AE,\s\up16(→))2＋eq\o(AE,\s\up16(→))2＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－3eq\o(AE,\s\up16(→))2＝－4－3×eq\f(3,4)＝－eq\f(25,4).B组能力关1．已知向量a，b，若a＝(1,0)且|b|＝2|a|，则下列结论错误的是()A．|a－b|的最大值为3B．|a＋b|的最大值为3C．当|a－b|最大时a·b＝2D．当|a＋b|最大时a·b＝2答案C解析由题意可得|b|＝2|a|＝2.当a，b共线且所成的角为π时，|a－b|有最大值，最大值为3，A正确；此时a·b＝|a||b|cosπ＝－2，C错误；当a，b共线且所成的角为0时，|a＋b|有最大值，最大值为3，B正确；此时a·b＝|a||b|cos0＝2，D正确．2．(2018·日照模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝2，eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))，若M是线段AB的中点，则eq\o(OC,\s\up16(→))·eq\o(OM,\s\up16(→))的值为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．3答案D解析由eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\f(5,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))，又eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))，所以eq\o(OC,\s\up16(→))·eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)\o(OA,\s\up16(→))－\f(2,3)\o(OB,\s\up16(→))))·eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→)))＝eq\f(5,6)eq\o(OA,\s\up16(→))2－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→))2＋eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))，又△OAB为等边三角形，所以eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))＝2×2cos60°＝2.又eq\o(OA,\s\up16(→))2＝eq\o(OB,\s\up16(→))2＝4，所以eq\o(OC,\s\up16(→))·eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\f(5,6)×4－eq\f(1,3)×4＋eq\f(1,2)×2＝3.3．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))的最小值为()A.eq\f(21,16) B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16) D．3答案A解析连接BD，由已知可得DB＝eq\r(3)且△BCD为等边三角形，因为eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))，所以eq\o(DC,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(3,2)，设eq\o(DE,\s\up16(→))＝λeq\o(DC,\s\up16(→))(0≤λ≤1)，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))·(eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝(eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))·(eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝(eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))2－(eq\o(DE,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→)))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝3λ2－eq\f(3,2)λ＋eq\f(3,2).所以，当λ＝eq\f(1,4)时，eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BE,\s\up16(→))有最小值eq\f(21,16).4．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))，I2＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))，I3＝eq\o(OC,\s\up16(→))·eq\o(OD,\s\up16(→))，则()A．I1<I2<I3B．I1<I3<I2C．I3<I1<I2D．I2<I1<I3答案C解析∵I1－I2＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(OC,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·(eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\o(OB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))，又eq\o(OB,\s\up16(→))与eq\o(CA,\s\up16(→))所成的角为钝角，∴I1－I2<0，即I1<I2.∵I1－I3＝eq\o(OA,\s\up16(→))·eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))·eq\o(OD,\s\up16(→))＝|eq\o(OA,\s\up16(→))||eq\o(OB,\s\up16(→))|cos∠AOB－|eq\o(OC,\s\up16(→))||eq\o(OD,\s\up16(→))|cos∠COD＝cos∠AOB(|eq\o(OA,\s\up16(→))||eq\o(OB,\s\up16(→))|－|eq\o(OC,\s\up16(→))||eq\o(OD,\s\up16(→))|)，又∠AOB为钝角，OA<OC，OB<OD，∴I1－I3>0，即I1>I3.∴I3<I1<I2.故选C.5．(2018·青岛模拟)已知向量a，b满足|b|＝5，|a＋b|＝4，|a－b|＝6，则向量a在向量b上的投影为________．答案－1解析因为|a＋b|＝4，所以a2＋2a·b＋b2＝16，①因为|a－b|＝6，所以a2－2a·b＋b2＝36，②①－②得，4a·b＝－20，a·b＝－5.所以a在b方向上的投影为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－5,5)＝－1.6．如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意