2021届高三高考文科数学必刷题考点31 数列的综合问题【含答案】

2021届高三高考文科数学必刷题

考点31数列的综合问题

1.若干个连续奇数的和3+5+7+•••+(4"-1)=()

A.2n2+nB.+2nc.4n2+2nD.4n2-1

【答案】D

【解析】

方法一：把连续的奇数数列加1减1变成1+3+5+7…+(4"-3)+(4??-1)-1,把相邻两项的和看成

一个新的数列，为4+12+20+,“(8"-4)-1,所以变成首项n=4上=8的等差数列，求和为

5n=4n+x8-1

=47i+4n2-47i-1

=4nz-1

方法二：用特殊值检验法，

当"=1B寸，数列的和为3,可排除C；

当n=2B寸,数列的和为15,可排除A、B,

所以选D.

%+1-4=(一1)"*’而/。，则数列［(T)"4｝的前40项的和为(

2.已知数列｛q,｝满足勾=1)

193254120

—B.---C.D.

20462844?

【答案】D

【解析】由已知条件得到a用-%=(-1)，，+1

n^n+2)

1

°40-41*39^9~41)2

a2-ai，左右两侧累加得到

J)2

，0—々39+48—47+“36—/5+…•+4—卬=g（+-'+'一点+…“1-J正好是数列｛（—1）“4｝

20

的前40项的和，消去一些项，计算得到

41

故答案为D。

3.吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，.红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几

盏灯？.

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

4（2,-1）

【解析】设塔顶4盏灯，则、］:381,解得q=3.

故选C.

4.已知数列｛氏｝满足q=1,4+|=a“+2”,则/=（）

A.1024B.1023C.2048D.2047

【答案】B

【解析】

.•・0«同一扇=2";

,2(1-2?)

..(02-(21)+(0-02升…犬。10一09)=2+22+…+2，=--——--=1022；

4210-01=^10-1=10225

.,.(210=1023.

本题选捺3选项.

5.已知数列｛an｝满足aia2a3…an=2"'（nWN*）,且对任意nGN*都有▲+'-++」-</则t的取值范围

a\a2an

为（）

122、

A.(一,+oo)B.[—，+oo)C.(—>+oo)D.[—,+oo)

3333

【答案】D.

【解析】,・,数列｛〃”｝满足2a3…%二2"（〃£N*）,

，〃=1时，0=2；佗2时，…，"可得斯=22"”.

数列为等比数列，首项为公比为

a.,24

.11

••---1---+,

4a2<1

•.•对任意"WN*都有,+1-+—+」-<[,则，的取值范围为-,+oo].

a

4。2nL3）

故选：D.

6.已知数例｛4｝的前〃项和为S“，且q=5,凡=—ga,i+6（〃N2）,若对任意的〃GM,

1<p（S.-4〃）W3恒成立，则实数p的取值范围为（）

A.（2,3]B.[2,3]C.（2,4]D.[2,4]

【答案】B

【解析】由数列的递推公式可得：。M一4=一!（凡一4）,

则数列｛4-4｝是首项为q-4=1,公比为的等比数列,

2（1V

题中的不等式即l«px§1-；--；43恒成立,

结合恒成立的条件可得实数0的取值范围为[23]

本题选择B选项.

7.已知数列｛%｝满足4=2,4%=4，是等差数列，则数列｛（T）2,｝的前1。项的和，o=（）

A.220B.110C.99D.55

【答案】B

【解析】设等差数列｛半｝的.公差为d，则今=q+5d,^=^+3d,将已知值和等量关系代入，计算

2

得d=2,所以—~ax+(n-l)t/=2n,atl=2n,所以

n

S]o=—q+/%++《0=2(1+2++10)=110,选B.

(1-—)(1--)=—

8.已知数列®｝满.足与。2%%,neN-,Sn是数列｛册｝的前〃项的和.

(1)求数列但”｝的通项公式；

(2)若。口，30,Sq成等差数列，%,18,Sq成等比数列，求正整数P，q的值；

(3)是否存在k€N’，使得出①+1+16为数列｛册｝中的项?若存在，求出所有满足条件的〃的值；若不存

在，请说明理由.

【答案】⑴%="+1.(2)P=5,q=9.⑶卜=3或14.

t解析】

（1）因为（1。一力=±,neN*,

a।a?a"而

所以当n=lfl寸，—I，%=2,

当寸,

由a--/“（/»=用a-±）（i--1-）=七,

两式相除可得，1一十二手匕即与一=1522)

所以，数列｛册｝是首项为2,公差为1的等差数列.

于是，an=n+1.

<2)因为ap,30,Sq成等差数列，ap,18,当成等比数列,

嘴匚5：时,｛津=54，解得匕二9,

当｛£=6时，(空出=6'无正整数解，

所以P=5,q=9.

(3)假设存在满足条件的正整数k,使得J仆5+一+演=am(meN),

则7(/c+l)(k+2)+16=m+l,

平方并化简得，(2m+2)=-(2fc+3)==63,

则(2m+2k+5)(2?n-2k-l)=63,

gcpi(2m+2k+5=63—ii[2zn+2k+5=21-pf2?n+2k+5=9

所以12m-2R-1=1'或12m-2k-1=3'^2m-2k-l=7'

解得：m=15,k=14,或m=5,k=3,或m=3,k=-1(舍去)，

综上所述,k=3或14.

9.设数列｛册｝的前九项和为%,且满足册-2%-1=°seN').

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)是否存在实数4使得数列｛S“+("+2")4为等差数列？若存在，求出4的值，若不存在,请说明理由.

【答案】⑴%=2"(neN)；⑵答案见解析

【解析】

ci—S-1=0

(1)由"n2n"(ne/V),

1

c?i——a-1=O=Qr=2

可知当n=l时，2A.

又由心一=5口-1=0(n6JV).

可得册+1-Z-^n+l-1=0,

两式相减，得Sn+l-：5叶:一1)一(M一：5n-1)=0,

即；册+工一册=°，即。计1,=2an.

所以数列｛册提以2为首项2为公比的等比数列

故品=2n(neN)

n

(2)由(D知，Sn=211^222=2(2-l),

工一q

所以Sn+(n+2n)A=2(2n-1)+(n+2nM

若｛5n+("+2n)a为等差数列，

2

则又+(卜2乂，S=+(2+2)A,52+(3+22”成等差数列，

即有2[5:4-(2+2=)2]=[5工一(1-2)用一[5「(3-23)田，

艮[12(6-6#=(2+3A)+(14+11X),

解得]=-2.

经检蛉为=一2时，｛Sn+(H+2”)月成等差数列，

故2的值为2

10.已知数列｛4｝的各项为正数，其前〃项和S“满足

(I)求｛凡｝的通项公式；

(II)设么=7----J------?,求数列｛bn｝的前〃项的和Tn；

(%+1)(%+|+1)

胆心<(<二对一切〃eN*恒成立，求实数机的取值范围.

(Ill)在(II)条件下，若

4"5

n55

【答案】(1)—1;(2)T=———-；(3)

n4(〃I1142

【解析】(D由前〃项和S”满足%=菖口;，可以再写一项作差

4=Sn-S，i=(竽)一(美旦)，整理得到通项。(2)由(I)知，4=2〃一1.贝1」

bn=-―——-i：--一二,；,裂项求和，得到和；(3)有第二问得到7；=—^—,将该式子做

(<:,+1)(/7^+1)4b?n+1；4(n+l)

差和零比1+1-7；=-一士一->0,研究该式子的单调性，求最值。

4(〃+1)(〃+2)

(1)当〃=1时，a1=5[=；%,'4=1.

当心2时，a“=S「S，z=；竽;1学；

化简得4-=2,所以q=2〃-1；

（2）由⑴知，an=2/7-1.

]1,1.11：

则％=

（4+1）（。记+1）2/7（2?74-2）4\777?+1I

4（w+l）

7?

(3)心乜=：：1

4(〃+2)4（??+1）4（77+1）（7?+2）

.•.{1}单调递增，「.7；27；=]

8

n1・•.泊4,使得宁恒成立,

-------<—

4（??+1）4

1加

<

-

-

一

4

5

□需

、

2

1

m

-

<

-

8

4

得

解之

42

9

i

i

N*).

(〃e

—

——

,,且」

为S,

的和

〃项

2,前

项为

｝的首

列｛%

知数

11.己

a

a

“-1

\4s

nn+

值；

生的

(1)求

式;

项公

｝的通

列｛4

求数

—,

设

⑵

4

4+11

.

理由

说明

存在

若不

〃，

在求出

若存

数，

为整

义坦

使得

〃，

整数

.在正

否存

(3)是

1

14

n=l

(3)

—：

=n

(2)h

—;

牝=

】(1)

【答案

4

"

-3

14

.

。2=?

易得

】(D

【解析

3

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一

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得

—,

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一一

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(2)

S“-1

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