无线电抗干扰通信原理及应用 苟彦新 第2章

第2章扩展频谱通信中的伪随机序列2.1伪随机序列的概念2.2几种常见伪随机序列的构造2.3m序列2.4Gold序列族2.5截短m序列2.6M序列2.1伪随机序列的概念2.1.1基本概念

任何一个序列都是由一个个码元组成的，对于二进制序列，其码元只可能是“0”或“1”。当用双极性码表示时，其码元是“－1”或“1”。在周期或长度为N的序列中，相同码元的码元串称为游程。其中，游程中所包含的码元数称为该游程的长度。例如对于序列1110010110001，其中包含6个游程，即“1111”、“00”、“1”、“0”、“11”、“000”。注意序列最后一个码元“1”应循环移位到序列首与序列起始的三个码元“111”共同组成一个游程。在研究序列之间的关系时，我们讨论得比较多的是序列的相关特性，下面给出几个有关相关特性的定义。假设有两个序列长度为N的双极性序列，分别为X=｛x1,x2,x3,…,xN}和Y=｛y1,y2,y3,…,yN}，它们的相关系数由下式定义:(2-1-1)显然，相关系数给出的是两个序列在特定相对相位下的相关程度，而相关函数或互相关函数可给出序列在所有相对相位下的相关程度，其定义式为(2-1-2)对于二进制码，其相关函数也可以表示为(2-1-3)其中:A为X、Y对应码元相同的数目，而D为对应码元不同的数目。X序列的自相关函数为在描述序列自相关特性的时候，我们往往用周期和非周期自相关函数来表示。周期自相关函数的定义式为(2-1-4)可见，周期自相关函数是序列和它的循环移位序列之间的相关系数的表示。非周期自相关函数（或部分自相关函数）的定义式为(2-1-5)同样，对于互相关函数也有类似的周期和非周期互相关函数定义。上面给出的自相关函数的定义都是归一化的，在有些情况下，我们也采用非归一化的定义，即公式的前面没有1/N项。有了序列相关函数的定义，我们就可以定义序列的正交性。如果两个序列的相关系数为0，则称这两个序列是正交的,即满足(2-1-6)的X和Y序列是正交的。

例2-1

8位长的Walsh序列组如下所示，请验证该序列组中任何一对序列都是正交的。W1=｛+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1,+1｝W2=｛+1,-1,+1,-1,+1,-1,+1,-1｝W3=｛+1,+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1｝W4=｛+1,-1,-1,+1,+1,-1,-1,+1｝W5=｛+1,+1,+1,+1,-1,-1,-1,-1｝W6=｛+1,-1,+1,-1,-1,+1,-1,+1｝W7=｛+1,+1,-1,-1,-1,-1,+1,+1｝W8=｛+1,-1,-1,+1,-1,+1,+1,-1｝这里只给出ρ(W2,W7)，对于其它的序列对，大家可以自行验证。如果某一组序列中，不同的两个序列之间的相关系数总是为负，则称这组序列为超正交序列。

例2-2给出两个序列X=｛-1,-1,-1,+1,+1,-1,+1｝和Y=｛+1,-1,+1,-1,-1,-1,+1｝，求它们的相关系数。可见，根据定义，这两个序列是超正交的。细心的读者也许可以发现，Y序列实际上是X序列循环右移3位后得到的序列。2.1.2伪随机序列定义及分类

由“伪噪声序列”的名称可以看出，伪随机序列是一种具有类似噪声特性的序列，即伪随机序列就是一种尽量接近噪声特性的序列。那么一个噪声信号具有哪些特性呢？我们知道，高斯白噪声信号的分布函数为其自相关函数为R(τ)=σ2δ(τ),即噪声功率为P=R(0)=σ2δ(0)→∞。功率谱密度函数为其中:

N0是噪声信号的单边功率谱密度。高斯白噪声本身是一种模拟信号，而且至今无法实现对白噪声的放大、调制、检测、同步及控制等，而只能用具有类似于带限白噪声统计特性的伪随机码来逼近它，并作为扩频系统的扩频码。目前常用的伪随机序列都是二元伪随机序列，序列中的元素只有“0”或“1”（对应双极性信号的“－1”和“1”）,因而不可能从信号的幅度分布上逼近，而主要是从码元的分布、相关特性等方面进行逼近。目前,一般将满足以下三个随机性条件的序列称为伪随机序列:（1）平衡特性：序列中“0”和“1”出现的概率相同，也就是说序列中“0”和“1”的数目相同或基本相同。（2）游程特性：在每个码字周期内，长度为n的游程数比长度为n+1的游程数多一倍。一般情况下，有长度为p的游程数占游程总数的 。（3）相关特性：码的自相关函数具有接近于δ函数的形式，即具有尖锐的自相关特性。例2-3下面分别给出了两个长度为7和15的m序列及两个长度为16的M序列:

m序列:11100，1011110，10110，01000

M序列：01001，10101，11100，001100，10111，10100，0验证它们是否满足三个随机性条件。通过验证，可以知道所给出的序列基本上满足三个给定的随机条件。其中,m序列中的“1”比“0”多1个，而M序列中的“1”与“0”的数目相等。实际应用中，伪随机序列根据不同的产生条件分为很多种，从大方面来分一般分为狭义伪随机序列和广义伪随机序列。凡自相关函数具有m=0(modN)m≠0(modN)(2-1-7)形式的序列，称为狭义伪随机序列。很显然，狭义伪随机序列对序列的相关特性要求较高，因而满足要求的序列数量少。而实际应用当中，对相关性要求不一定如此苛刻，因此有广义伪随机序列的概念。而广义伪随机序列又分为第一类和第二类广义伪随机序列。凡自相关函数具有m=0(modN)m≠0(modN)(2-1-8)形式的序列，称为第一类广义伪随机序列。广义伪随机序列是应用研究的一类重要伪随机码，由于它对码的要求降低，因而大大拓宽了研究范围，码量较大时容易找到符合条件的伪码。上面定义的狭义伪随机序列和第一类广义伪随机序列只对序列的自相关特性提出了要求，而实用中对序列的互相关特性也是有要求的，因此，人们给出了第二类广义伪随机序列的定义。如果有一组序列C1,C２，C3,…,CP，其中两两相关系数满足ρ(Ci,Cj)<<1

或ρ(Ci,

Cj)≈0(2-1-9)则称该序列组为第二类广义伪随机序列组，其中的任何一个序列都是第二类广义伪随机序列。第一类广义伪随机序列和第二类广义伪随机序列统称为广义伪随机序列。显然，狭义伪随机序列是第一类广义伪随机序列的特例，而正交序列则是第二类广义伪随机序列的特例。2.1.3扩谱通信对伪随机序列的要求

从扩谱通信的抗干扰、抗截获、易于同步的角度出发，对伪随机序列的要求主要体现在以下几个方面：（1）具有尖锐的自相关函数，而互相关函数应接近于0。（2）有足够长的码周期和复杂度，以确保抗侦察、抗干扰的要求。（3）满足要求的序列数足够多，以实现码分多址的要求。（4）工程上易于产生、加工、复制和控制。2.2几种常见伪随机序列的构造2.2.1双值自相关序列如果一个码长为N的周期序列的自相关函数满足m=0(modN)m≠0(modN)(2-2-1)我们就把这种具有双值自相关特性的序列叫做双值自相关序列。它属于广义伪随机序列。如果式中，则为狭义伪随机序列。双值自相关序列的构造与差集是密切相关的，即可以通过构造差集来构造双值自相关序列。一个差集通常用3个参数来表征：v、k、λ。

设有一个模v的整数集V，存在一个含有k个元的子集D，即D={d1,d2,…,dk}，且(di-dj)modv,i≠j恰好遍取1,2,…,v-1各λ次，这样的整数集V的子集D称为差集。例2-4给定两个集合D1={1,2,4}和D2={0,2,3}，验证它们均是参数为v=7,k=3,λ=1的差集。对于第一个集合，有(1-2)mod7=6,(1-4)mod7=4,(2-1)mod7=1(2-4)mod7=5,(4-1)mod7=3,(4-2)mod7=2显然，第一个集合满足差集的定义，因此是参数为v=7,k=3,λ=1的差集。对于第二个集合，大家可以自行验证。有了一个差集后，我们就可以根据该差集按照下面的方法来构造双值自相关序列。对于给定的差集（v,k,λ)，可以写出V={0,1,2,…,v-1}D={d1,d2,…,dk}令X={x0,x1,x2,…,xv-1}为一长度为v的码，且i∈DID则X={x0,x1,x2,…,xv-1}就是一个双值自相关的广义伪随机序列，且其自相关函数为j=02≤j≤v-1(2-2-2)证明：写出模v的整数集及其循环移位整数集:V={0,1,2,…,v-1}V′={v-1,0,1,2,…,v-2}作V-V′，得{0-(v-1),1-0,2-1,…,(v-1)-(v-2)}显然上述结果为{1,1,1,…,1}(modv)。（1）上述结果中包含了整数集V中不同元作差结果为1的所有组合。（2）根据差集的定义，集V中有k个元组成差集D，且(di-dj)modv，i≠j恰好遍取1,2,…,v-1各λ次，这λ次的运算必然包含在{0-(v-1),1-0,2-1,…,(v-1)-(v-2)}中，即在｛1,1,1,…,1｝中有λ项是由差集D中的元构成的差。（3）又由于D中有k个元，因此V-V′中必然有2(k-λ)项是由一个D中的元和一个非D中的元构成的差，最后还剩v-2(k-λ)项都是由非D中的元构成的差。根据由差集构造双值自相关序列的定义，可以写出由差集（v,k,λ）构造的双值自相关序列X,X=｛x0,x1,x2,…,xv-1｝与其右移一位序列X1,X1=｛xv-1，x0,x1,x2,…,xv-2｝的对应码元中,二者均为1的有λ项，一个为1、一个为-1的有2(k-λ)项，二者均为-1的有v-λ-2(k-λ)项，故同理可证j=2,3,…,v-1时也有当j=0时，RX(0)=1。

得证。

例2-5求分别以参数为v=7,k=3,λ=1的差集D={1,2,4}、D={0,2,3}和参数为v=23,k=11,λ=5的差集D={1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18}构成的双值自相关序列的自相关函数。解有多种构造差集的方法，一般我们可以利用乘子定理来构造差集。设D是某个差集，如果存在某个整数t使得t·di=di+smod

v,i=1,2,…,k,t·di∈D，则称t为差集D={d1,d2,…,dk}的乘子。其中，s是某个正整数。

例2-6对于v=7,k=3,λ=1的差集D={1,2,4}，验证2就是该差集的乘子。

用2分别乘差集中的每一个元素并取模7运算，得到D′={2,4,1}，即t·di=di+1mod7，所以2是该差集的乘子。

定理2.1(乘子定理)设D是某个差集，令n=k-λ，又n1是n的因子，且gcd(n1,v)=1（n1与v互素）;同时，n1>λ。如果对n1的每个素数因子pl存在jl，使得l=1,2,…,i

那么，t就是差集模v的一个乘子。利用此定理，可由给定的（v,k,λ）构造出相应的差集。

例2-7利用乘子定理构造参数为v＝23,k＝11,λ＝5的差集。由n1>λ＝5、n1是n=k-λ=6的因子、n1与23互素，得n1=6=2×3，即p1=2,p2=3，再由 modv可求出t=4,9,16等，即22＝33＝4，25＝32＝9，24＝36＝16。以t=4为例，由tmmodv,m=0,1,2,…可得V的一个子集:{1,4,16,18,3,12,2,8,9,13,6},这就是V的一个差集D1，可写成D1={1,2,3,4,6,8,9,12,13,16,18}。

此外，由5tmmodv,m=0,1,2,…还可以得到另一个子集（之所以乘5，是因为D1中未出现的最小数是5）:D2={5,10,15,20,7,17,22,14,19,11,21}。2.2.2平方余数码

平方余数码（或称平方剩余码、方余码）是双值自相关序列的特例，是由平方余数差集构成的。若某个与p互素的整数i使a2≡imodp有解，则i是模p的平方余数。当p=4t-1为一素数时，模p的平方余数构成一个差集。根据此差集构成的双值自相关码称为平方剩余码。

例2-8求t=3，p=11的平方余数码。

解

a:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

i:0,1,4,9,5,3,3,5,9,4,1即{1，3，4，5，9}是v=11,k=5,λ=2的差集，对应的平方余数码为{-1,1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,1,-1}其自相关函数为因此，求平方余数码的方法为：当p=4t-1为素数时，存在周期为p的伪随机序列｛x0,x1,x2,…,xp-1｝，其中j=01≤j≤10i为模p的平方余数i为其它值(2-2-3)又当p为奇数时，上面定义的xi正是所谓的勒让德（Legender）符号:

i为模p的平方余数i为其它值于是有 。因此，平方余数码又被称为勒让德码，简称L码或L序列。2.2.3孪生素数码

孪生素数码又称为TP码，它的构造与雅克比符号有关。雅可比符号的定义如下：其中，gcd(i,n)=1，gcd(i,n)表示i和n的最大公约数，n=p1p2…ps，且pk都是奇素数。当n=p(p+2)，即p1=p,p2=p+2时,有这时存在周期为n的孪生素数码{xi}，其中若gcd(i,n)=1若i≡0modp+2其它这种孪生素数码也是伪随机序列。例2-9构造n=15=3(3+2)的孪生素数码。即孪生素数码为 1,1,1,-1,1,1,-1,-1,1,-1,1,-1,-1,-1,-1该孪生素数码序列的自相关函数为j=01≤j≤14可见，它也是一种狭义伪随机序列。2.2.4巴克序列

当一个序列的局部自相关函数满足j=0其它(2-2-5)时，这种序列称为巴克序列或巴克码。巴克序列也是一种相关特性很好的伪随机序列，但是目前已知的巴克序列很少，且长度较短，如表2-1所示。表2-1目前已知的巴克序列目前已经证明不存在p>13的奇数长度的巴克码，偶数长度的巴克码的可能长度为4t2，但是16≤p≤11664(2≤t≤54)的偶数长度巴克码不存在，t>54的情况还不清楚。2.3m序列2.3.1m序列的定义

m序列是最大长度线性移位寄存器序列。在“脉冲与数字电路”课程中，我们了解到移位寄存器的概念，并知道可以用移位寄存器来产生周期序列。为了方便对序列进行研究，我们可以用数学方法对移位寄存器序列产生器进行描述。移位寄存器的后续状态可以用当前状态及特定矩阵来表示，这个矩阵是n×n

阶矩阵，称为A矩阵。例如，对于图2-1所示的移位寄存器序列产生器，其A矩阵为图2-1移位寄存器序列产生器可以看出，A矩阵的第m行对应移位寄存器第m级的馈入状态。在给定移位寄存器初始状态后，可由A矩阵求出后续状态,即故则显然有(2-3-2)当存在Ak=I时有X(j+k)=X(j)，即寄存器中的内容在第j个状态和第j+k个状态是相同的。也就是说，序列产生器从第j个状态开始，经过k次状态转移后，又回到了第j个状态。假如对0<l<k有X(j+l)≠X(j)，则该序列产生器以第j个状态为初始状态所产生的序列长度为k。因此，对于最大长度线性移位寄存器序列产生器，必然有AN=A2n-1=I(2-3-3)对于一个n级移位产生器，其A矩阵的a1n必为1。否则，该序列产生器就必然退化成为级数小于n的移位寄存器序列产生器。对于简单移位寄存器序列产生器，其A矩阵有如下的形式：(2-3-4)对于n×n阶矩阵A，λ为其特征值，则有|A-λI|=0,即在二元域内－1＝＋1，上式简化为λn+c1λn-1+c2λn-2+c3λn-3+…+1=0定义c0=0,cn=1则特征方程为(2-3-5)特征多项式定义为(2-3-6)例2-10对于图2-2给出的简单移位寄存器序列产生器，求其特征方程和特征多项式。图2-2简单移位寄存器序列产生器由图2-2可知:c0=c3=c4=1。

可得特征方程为：F(λ)=λ4+λ+1。

特征多项式为：f(λ)=1+λ3+λ4。

我们一般用生成函数来表示一个序列，若用{am}={a0,a1,a2,…}来表示移位寄存器产生器的输出序列，其中的下标表示时间，则输出序列的生成函数定义为(2-3-7)对于图2-3所示的产生器，则有图2-3序列产生器方框图将之代入生成函数式，得即又因为在二元域内,故如对上式用长除法，可获得多项式如取a-1=a-2=…=a1-n=0及a-n=1时，生成函数为(2-3-8)即特征多项式的倒数是初始状态为00…01时的生成函数。

例2-11对于图2-4给出的序列产生器，利用生成函数求初始状态为001的输出序列。图2-4序列产生器方框图

解由图2-4可知，c0=c1=c3=1,c2=0,故f(x)=1+x+x3。因此用长除法可得输出序列为111010011…。

定理2.2取特征多项式f1(x)、f2(x)，则由这两个多项式分别产生的序列的模2和得到的序列，可以由以f1(x)·f2(x)作为特征多项式的简单移位寄存产生器来产生。证明定义deg［g(x)］表示g(x)的阶数，Gi(x)表示以fi(x)为特征多项式生成的序列的生成函数。于是有又deg［gi(x)］<deg［fi(x)］所以有因此，G1(x)+G2(x)是分子阶数小于分母阶数的某一适当的生成函数，且其特征多项式为f1(x)·f2(x)。

证毕。由定理2.2可见：两个分别为n1、n2级的移位寄存产生器序列的模2和，总能用长度最多为n1+n2级的简单移位寄存产生器来产生。

定理2.3若序列{an}具有周期p，则有f(x)|(1+xp)，即f(x)整除(1+xp)。

证明：取a-1=a-2=a-3=…=a1-n=0,a-n=1。

由式(2-3-8)和式(2-3-7)可知，此时产生的序列的生成函数为即由于因此或证毕。将上式变换可得:由于在二元域内加运算与减运算等价，因此又有上式表明，用特征多项式去除1，当运算到余式为xN时，所得的商系数｛a0,a1,…,aN-1｝即为所求得的周期序列，而N即为该序列产生器在初始状态为a-1=a-2=a-3=…=a1-n=0,a-n=1时的周期。

定理2.4若f(x)|(1+xp)，则序列{an}在初始状态为0,0,0,…,0,1时的周期为p。

证明：若f(x)|(1+xp),假设 ，其阶数q≤p-1,于是有设,则由可知：所以，｛an｝是周期为p的序列。若一个多项式f(x)不能被1和f(x)整除，则称f(x)是既约多项式或者说该多项式是既约的。

定理2.5若n级移位寄存器产生的是周期为2n-1的最大长度线性移位序列，则它的特征多项式是既约的。证明下面我们用反证法来证明该定理。假设该产生器的特征多项式f(x)不是既约的，有两个独立的因子，即f(x)=f1(x)·f2(x),则若f1(x)的阶数为n1，f2(x)的阶数为n2，则有n=n1+n2。将 作为单独的生成函数，它产生的是最大长度为2n1-1的序列，而以作为生成函数产生的序列的最大长度为2n２-1。若以生成函数表示的序列周期为N，则有又n1,n2≥1，所以这与N=2n-1相矛盾，故假设不成立。若假设因子是不独立的，则可推导出 ，也与N=2n-1相矛盾。因此，f(x)是既约的。应该注意到：特征多项式为既约多项式是产生m序列的必要条件，但不是充分条件。例如，f(x)=x6+x3+1是既约多项式，但是由于f(x)|1+x9，由定理2.3可知，以该多项式作为特征多项式的序列产生器，在初始状态为000001时将产生长度为9的序列，而不是长度为63的m序列。人们已经证明：每个阶数大于1的既约多项式，都能整除多项式1+x2n-1。由该结论容易得到下面的定理。

定理2.6若给定特征多项式为n阶既约多项式，则移位寄存产生器序列的周期是2n-1的因子。

推论若N=2n-1是素数，则每个既约多项式对应一个最大长度线性移位寄存器产生器序列。当N=2n-1不是素数，而我们需要获得一个n级的m序列时，就必须限定特征多项式为本原多项式。当一个n阶既约多项式能整除多项式1+xm，且m不小于2n-1时，这个n阶既约多项式被称为本原多项式。

定理2.7以n阶本原多项式作为特征多项式生成的是长度为2n-1的最大长度线性移位寄存器序列，即m序列。由生成函数的表示式可见，在初始条件00…001下产生的序列具有最长的周期，这是由于G(x)的分子是1，与分母不可能存在公因子。当生成函数的分子与分母存在公因子时，就会出现相消的情况，相当于分母阶数降低，因而它产生的序列长度就有可能降低。2.3.2m序列的随机特性1.平衡特性

m序列在每个2n-1周期中，1出现2n－1次，0出现2n－1-1次，1比0多出现一次。证明：m序列周期为N=2n-1，其移位寄存器的状态遍历了1～2n-1个状态。将这些状态重写如下：00…00100…01000…011

11…10011…10111…110 11…111…其末尾输出对应m序列的一个周期中的输出序列（前后顺序不同）。由于状态中没有全0态，故末尾1状态比0状态多1个，即1出现了2n－1次，0出现了2n－1-1次。得证。

2.游程特性

在m序列的每个周期中，共有2n－1个游程，其中0游程和1游程的数目各占一半。而且对于n>2，当1≤k≤n－2时，长为k的游程占游程总数的1/2k,其中0游程和1游程的数目各占一半;长为n-1的游程只有一个，为0游程;长为n的游程也只有一个，为1游程。证明：（1）由于不存在全0状态，因此不存在长度为n的全0游程，只有一个n-1长的全0游程，且在序列中的形式为（2）由于全1状态在一个周期内只出现一次，故有一个长度为n的全1游程，且形式为 。（3）假设存在长度为n-1的全1游程，则其在序列中的形式必然为 ，即序列由状态 转入状态 ，这与全1状态时由 转入 矛盾，故假设不成立，即不存在长度为n-1的全1游程。（4）考虑长度为k的游程，1≤k≤n－2，则在序列中可取如下的形式：对于长为k的0游程，有对于长为k的1游程，有显然，存在2n－k－2个含有长度为k的1游程的状态和2n－k-2

个含有长度为k的0游程的状态，且状态各不相同，即存在2n－k-1个长为k的游程，于是上述游程总数为而长度为k的游程与总游程数的比为(2-3-9)

3.移位相加特性

m序列｛ak｝与其移位序列｛ak-t｝的模2和是此m序列的另一个移位序列｛ak-t′｝。

证明由于m序列满足下式:而故由于t≠0,故｛ak｝与｛ak-t｝不会出现状态重合的现象，所以上式右端中的｛ak-i+ak-t-i｝,i=1,2,…,n不为全0。

又由于新序列｛ak+ak-t｝与原序列具有相同的特征多项式:故新序列与原序列的另一个移位序列，即｛ak｝+｛ak+t｝=｛ak+t′｝。

4.相关特性

m序列的自相关函数为j=0j≠0证明：由m序列的移位相加特性可知，m序列与其移位序列模2后的结果是此序列的另一个移位序列。即｛ak｝+｛ak-t｝=｛ak-t′｝。｛ak-t′｝中1的数目代表｛ak｝与｛ak-t｝对应码元不同的数目，而｛ak-t′｝中0的数目代表｛ak｝与｛ak-t｝对应码元相同的数目。由序列自相关函数的定义可知：又根据m序列的平衡特性，有A-D=-1，因此当j=0时，结果显然。证毕。2.3.3m序列的构造由定理2.7可知：每个n阶本原多项式对应一个相应阶的m序列，即找到一个本原多项式，即可用它作为特征多项式产生一个m序列。本书附录中给出了既约多项式表，表中英文字母后缀为A、B、C、D的为非本原多项式，而为E、F、G、H的为本原多项式。表中以八进制给出了多项式的系数，每一位代表3位系数。

例2-12求n=9的本原多项式1021E对应的m序列。

解该本原多项式对应的系数为1，000，010，001,即c0=c4=c9=1,c1=c2=c3=c5=c6=c7=c8=0,所以f(x)=x9+x4+1。

对应的线性移位寄存产生器如图2-5所示。图2-5m序列产生器原理方框图应该注意到：本原多项式的互反式还是本原多项式。对于上例，1021的互反为1，000，100，001,即1041，对应的特征多项式为f(x)=x9+x5+1。

当给定m序列的长度或阶数后，我们就可以通过本原多项式的数目确定m序列的数目。为此，我们需要了解两个数论函数。

1.欧拉函数

由算术的惟一分解定理可知，每个大于1的正整数n，可以用素数的幂的乘积来表示，且是惟一的，即其中，pi为第i个素数，αi为对应的素数的幂。欧拉函数定义为n=1n>1n=p是素数例2-13计算n=90的欧拉函数。解由n=90=2×32×5可知：p1=2,α1=1p2=3,α2=2p3=5,α3=1所以2.莫比乌函数莫比乌函数定义为n为k个不同素数的乘积其中，αi的定义与欧拉函数中的相同。例2-14计算n=90的莫比乌函数。解由n=90=2×32×5可得，μ(90)=0。人们证明：n阶模2既约多项式的数目为其中,表示对包括1在内的所有能整除n的正整数做和。例2-15计算n=6的既约多项式的数目。解对于n=6，d=1,2,3,6,则人们证明：n阶模2本原多项式的数目为(2-3-14)例2-16计算n=6的本原多项式的数目。即码长为63的m序列共有6个。2.4Gold序列族2.4.1m序列优选对

m序列优选对：是指在m序列集中，互相关函数绝对值的最大值|RXY(j)|max最接近或达到互相关下限（最小值）的一对m序列。那么m序列的互相关下限值是多少呢？设有两个长度为N的序列X、Y，其相关函数分别为则有设(m+i)modN=k,则设(n-m)modN=l,则由柯西不等式有(2-4-3)上式给出了两个序列自相关特性和互相关特性之间的约束关系。对于m序列，有所以，两个m序列的互相关值中至少有一个值的绝对值超过事实上已经证明，两个m序列的互相关值中至少有一个值的绝对值超过如果定义序列A的隔q抽样序列为A［q］，则关于m序列的互相关特性有下述结论［4］：周期为N=2n-1的m序列A、B，若B=A［q］，q=2k+1或q=22k-２k+1，且e=gcd(n,k)最大公约数）,n/e为奇正整数，则m序列A、B的互相关函数RAB(i)是三值的，它们的互相关函数值及其在一个周期中出现的次数为出现2n-e-1+次出现2n-2n-e-1次出现2n-e-1-次(2-4-5)显然，如果e小，则RＡＢ(i)也小。n为奇数时，e最小可取1；n为偶数且不能被4整除时，e最小可取2。若定义 ，其中FIX()表示取整运算,则可定义:如果两个等长m序列的互相关函数值满足(2-4-6)则这一对m序列被称为m序列优选对。写成更具体的形式是：设A、B是n级本原多项式f(x)、g(x)产生的m序列，当它们的互相关函数满足n为奇数n为偶数且n不是4的整数倍时构成一对m序列优选对。m序列优选对具有三值自相关特性，其值的分布情况可参考式(2-4-5)。2.4.2Gold序列族

Gold序列是由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对的模2和构成的。每改变两个m序列的相对相位就可以得到一个Gold序列，再加上两个m序列，共有2n+1个Gold序列。Gold序列族中除了两个m序列外，其它序列都具有三值自相关和互相关特性。假设有一个由m序列优选对u、v构成的Gold序列族，现任取其中两个序列Ti1uTj1v和Ti2uTj2v，分析它们的互相关函数分布情况。(2-4-8)可见，这两个Gold序列的互相关函数值就是u、v平移等价序列的互相关函数值。经过研究后发现，Gold序列互相关函数值的分布如表2-2所示。表2-2Gold序列三值自相关的分布特性

Gold序列是由两个m序列模2和构成的，因此可以简单地将两个m序列产生器输出的序列直接模2和即可构成Gold序列产生器，这种结构被称为并联型结构。

例2-17画出用两个特征多项式分别为f1(x)=x6+x+1,f2(x)=x6+x5+x2+x+1的m序列构成的Gold序列产生器的方框图。

Gold序列并联型结构的产生器如图2-6所示。图2-6并联型Gold序列产生器由线性序列的特性可知，两个序列的模2和序列，可以由这两个序列的特征多项式的乘积作为特征多项式的序列产生器来产生。Gold序列正是两个m序列的模2和序列，因此可以用这种结构来产生，这种产生器被称为串联型的Gold序列产生器。

例2-18给出例2-17中Gold序列产生器的串联型结构产生器。由例2-17得串联型产生器的特征多项式为f(x)=f1(x)f2(x)=x12+x11+x8+x6+x5+x3+1其串联型结构产生器的方框图如图2-7所示。图2-7串联型Gold序列产生器如果产生Gold序列的m序列的特征多项式是n级的，则串联型产生器的特征多项式就是2n级的。而由前面的讨论可知，2n级特征多项式的线性反馈产生器最长可以产生22n-1长度的序列。因此，串联型产生器产生的有可能不是所需要的Gold序列。此时必须求出需要产生的Gold序列的一个2n长度相位，作为产生器的初始相位，以保证产生所需的序列。2.4.3平衡Gold序列码长为2n-1的Gold序列族中的2n+1个Gold序列按照平衡性可以分为平衡Gold序列和非平衡Gold序列。平衡Gold序列中1比0多一个，非平衡Gold序列中的1和0的数量差大于1。表2-3给出了n为奇数时的Gold平衡和非平衡序列的分布情况。表2-3n为奇数时的Gold平衡和非平衡序列数平衡Gold序列的产生与m序列的特征相位有关，下面首先介绍m序列特征相位的定义：每一个m序列都具有特征相位，当序列处于特征相位时，序列每隔一位抽样得到的序列，与原序列完全一致,即ui=u2imodN,i=0,1,2,…,N-1。设序列{a}是n级本原多项式f(x)生成的m序列，其特征相位由g(x)/f(x)确定。多项式g(x)由下式确定

n为奇数

n为偶数(2-4-9)

特征相位生成函数为(2-4-10)

例2-19求本原多项式f(x)=x5+x2+1的特征相位，并验证处于特征相位的序列其隔1抽样序列与原序列一致。由n=5为奇数可得， 。用长除法，得即特征相位为10000，处在特征相位的序列及隔1抽样序列分别为可见，其隔1抽样序列与原序列是完全相同的。我们下面给出一种产生平衡Gold序列的具体方法［4］：设序列A和B是一对m序列优选对,B=A［q］，且满足优选对约束关系q=2k+1，使序列B处于特征相位，循环移位序列A，直到它的首位与B序列的首位相异，当处于这种相对相位时，A与B的模2和就得到平衡Gold序列。

例2-20由附录1的不可约多项式表可知，n=5的m序列特征多项式145E产生的序列为A，取k=2、e=gcd(5,2)=1，则根据平衡Gold序列产生方法，q=2k+1=5，A［5］对应的m序列A的优选对序列的特征多项式为567H。下面求出由这两个m序列产生的平衡Gold序列。

解45E:fa(x)=x5+x2+1

67H:fb(x)=x5+x4+x2+x+1

由式(2-4-9)、式(2-4-10)得序列B的特征相位生成函数为则处于特征相位的序列B为1110110011100001101010010001011以1+x2作分子，求得此相位上的序列A为1000010101110110001111100110100以{b}为基准，循环移动{a},使{a}的0对准{b}的第一个1;或以{a}为基准，移动{b},使{b}的第一个1对准{a}的0。循环移动{a}使{a}的第一个0对准{b}的第一个1，得到模2和后的平衡Gold序列为111011001110000110101001000101100001010111011000111110011010011110011000001101110101011100010

例2-21由附录1的不可约多项式表可知，n=6的m序列特征多项式1103F产生的序列为A，取k=2、e=gcd(6,2)=2,6/2=3为奇正整数，则根据平衡Gold序列产生方法，q=2k+1=5，则A［5］对应的m序列A的优选对序列的特征多项式为5147H。下面求出由这两个m序列产生的平衡Gold序列。

解

103F：fa(x)=x6+x+1

147H：fb(x)=x6+x5+x2+x+1

由式(2-4-9)、式(2-4-10)得序列B的特征相位生成函数为则处于特征相位的序列B为

01101，00010，00010，11001，01010，01001，11100，00011，01110，01100，01110，10111，111以1为分子，求得序列A的生成函数为得序列A为11111，10101，01100，11011，10110，10010，01110，00101，11100，10100，01100，00100，000A序列首位与B序列相异，其模2和产生的平衡Gold序列如下：10010，10111，01110，00010，11100，11011，10010，00110，10010，11000，00010，10011，111序列中“1”的个数为32个，是平衡Gold序列。将产生平衡Gold序列的步骤归纳如下：（1）按照平衡Gold序列产生的约束条件，找到一对m序列优选对及其对应的特征多项式fa(x)和fb(x)。（2）将B序列作为参考序列，按照式(2-4-9)和式(2-4-10)求出其特征相位及处在特征相位上的序列。（3）求出A序列（可以处在特征相位上，也可以不处在特征相位上）。（4）循环移动A序列，使其首序列起始码元为“0”，然后将其与处于特征相位上的B序列模2和，即可求得一个平衡Gold序列。（5）重复步骤（4）直到得到所有的平衡Gold序列。2.5截短m序列对m序列的截短相当于使原序列在经过N′个状态后发生跳跃，跳过后续的ΔN=N-N′个状态而回到原来的第一个状态。截短序列具体实现的难易程度和状态跳跃点的选择有很大关系，选择跳跃点可用下面的方法。假定要从长度为N=2r-1的m序列｛an｝截取长度为N′<N的截短序列。为此将序列｛an｝左移N′位得位移序列｛an+N′｝。再将原序列和位移序列逐项模2相加得模2和序列｛bn｝。由m序列的移位相加性可知，模2和序列是一个新位移m序列，即｛bn｝=｛an｝+｛an+N′｝=｛an+q｝(2-5-1)在r级线性移位寄存器中除全零状态外，由r个元素组成的N-1个非零状态一定出现且只出现一次。因此总能在新的位移序列｛an+q｝中找到一个从某一位(设为第k+q位)开始由一个1和r-1个0组成的状态，即(2-5-2)因为｛an+q｝是序列｛an｝和｛an+N′｝的模2和，因此，｛an+q｝中的0意味着｛an｝和｛an+N′｝的对应元素相同，｛an+q｝中的1对应于｛an｝和｛an+N′｝中的相应元素相异。由式(2-5-2)就有下列关系:这就是说,在产生m序列的r级线性移位寄存器相继出现的状态中总能找到一对相距N′的状态，它们之间只有一个元素不同，其它r-1个元素均相同。因此，如果选择第二状态(an+N′,an+N′+1,…,an+N′+r-1)作为跳跃点，只要改变一个元素就可以跳到第一个状态，从而可在产生了长度为N′的序列后进行循环。

例2-22基于特征多项式为f(x)=x4+x3+1的4级m序列，产生长度为11的截短m序列。

解对于该m序列，当初始状态为(0001)时，相继出现的15个状态为 000100110101111将该序列循环左移11位，得到新序列:111100010011010将上面两个序列模2和得到111000100110101从模2和序列中找到“1000”状态，即可得到该m序列的“0100”状态与“1100”状态相差11个。也就是说，只要控制该m序列产生器在“1100”状态时不转入其后续的“1000”状态，而是进入“0100”的后续状态“1001”，此时恰好跃过4个状态，而产生所需的11位截短m序列。图2-8

N′=11的截短序列产生器现将产生长为N′的截短序列的步骤归纳如下：(1)列出原m序列｛an｝和左移N′的平移等价序列｛an+N′｝，求出它们的模2和序列｛an+q｝＝｛an｝＋｛an+N′｝。仍以上述4级移位寄存器为例:｛an｝=000100110101111｛an+N′｝=111100010011010｛an+q｝=111000010110101(2)找出｛an+q｝中的10…0状态(共r个元素)。(3)｛an+q｝的10…0状态对应的｛an+N′｝中的状态(例中为11