八年级上册数学《因式分解》常考题型分类（解析版）

1.(辽宁·丹东市八年级期末)下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是()A.am+bm=m(a+b)B.a²+2a+4=(a+2)²C.a²+a+1=a(a+1)+1D.(a+1)(a-1)=a²-12.(山东·宁阳县八年级阶段练习)下列式中，是因式分解的()A.a+b=b+aB.4x²y-8xy²+1=4xy(x-y)+1C.a(a-b)=a²-abD.a²-2ab+b²=(a-式.3.(广东·深圳八年级期中)下列从左到右的变形中，属于因式分解的是().A.(m-n)(m+n)=m²-n²B.a²-4=(a-2)(a+2)4.(浙江七年级阶段练习)若多项式x²+mx-45可因式分解为(x-5)(x+9),则m的值为()A.—1B.0C.1D.2∵∵2x²+bx+c=2x²-2x-4,∴b=-2,c=-4,∴2b-c=2×(-2)-(-4)=0故选B.【点睛】本题考查了因式分解，以及多项式与多项式的乘法计算，熟练掌握因式分解与乘法运算是互为逆运算的关系是解答本题的关键。题型2提公因式法【解题技巧】如果一个多项式的各项含有公因式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法挖掘隐含公因式：有时，公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完。A.5a²b(b-a)B.5a²b²(b-a)C.5ab(b-a)D.120a³b³(b²-a²)【答案】A【分析】先把5a²b(b-a)变形为-5a²b(a-b),-120a³b³(a²-b²)变形为-120a³b³(a+b)(a-b),再根据确定公因式的方法确定公因式即可得出答案.【详解】解：因为5a²b(b-a)=-5a²b(a-b),-120a³b³(a²-b²)=-120a³b³(a+b)(a-b),所以代数式15a³b³(a-b),5a²b(b-a),-120a³b³(a²-b²)中的公因式是5a²b(b-a).故选：A.【点睛】本题主要考查了公因式，熟练应用公因式的概念进行求解是解决本题的关键.2.(陕西靖边·八年级期末)用提公因式法分解因式6xy+3x²y-4x²yz³时，提取的公因式是()A.xyB.2xzC.12xyD.3yz【答案】A【分析】根据公因式的定义求解即可.故多项式6xy+3x²y-4x²yz³各项的公因式是xy.故选A.【点睛】本题主要考查公因式，掌握公因式的定义是解题的关键。3.(陕西碑林·)将提公因式后，另一个因式是()A.a+2bB.-a+2bC.-a-bD.a-2b【分析】首先提取公因,可得-¹ab(a+2b),提公因式,后，另一个因式是a+2b,故选：A.【点睛】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次号，使括号内的第一项的系数成为正数.4.(吉林省九年级月考)分解因式：ab²-5b³=●【答案】b²(a-5b)【分析】直接提公因式b²即可分解.【点睛】此题主要考查了提公因式法因式分解，正确找出公因式是解题关键。5.(湖南郴州·)因式分解：3m(a-b)-9n(a-b)=【分析】根据因式分解的定义，观察该多项式存在公因式3(a-b),故3m(a-b)-9n(a-b)=3(a-b)(m-3n).【点睛】本题主要考查用提公因式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握提取公因式法.6.(辽宁大东·八年级期末)分解因式：x²-16x=【分析】直接提取公因式x,进而分解因式得出答案.【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式。题型3运用公式法【解题技巧】若多项式各项没有公因式，则根据多项式特点，选用平方差公式或完全平方公式.利用完全平方公式分解因式时，要求被分解的多项式的形式满足完全平方公式的形式。首、末项必须是单项式平方的形式，准确地找到中间项时正确分解的关键，中间项的符号决定了分解结果的运算符号。1)平方差公式的应用1.(浙江杭州·)下列各式在整式范围内可以用平方差公式分解因式的是()A.a²+b²B.-a²+b²C.-a²-b²D.a²-4b【分析】能用平方差公式进行因式分解的式的特点是：两项平方项；符号相反.【详解】解：A、a²+b²两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意；B、-a²+b²符合平方差公式的特点，可用平方差公式分解因式，符合题意；C、-a²-b²两平方项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项不合题意。A.-a²-9B.a²-9C.a²-4bD.a²+9【分析】直接利用平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b),进而分解因式判断即可.选B.3.(河南汝州·八年级期末)下列不能使用平方差公式因式分解的是()A.-16x²+y²B.b²-a²C.-m2-n2D.4a2-49n2B、b²-a²=(b+a)(b-a),故此选项不符合题意；C,-m²-n²=-(m²+n²),不能利用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；D、4a²-49n²=(2a+7n)(2a-7n),故此选项不符合题意；故选C.4.(重庆九年级)分解因式：a⁴-a²b²=.【分析】因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式，本题可以先提取公因式，然后再利用平方差公式化简，即可得到正确答案。【详解】解：a⁴-a²b²=a²(a²-b²)=a²(a+b)(a-b)【点睛】本题考查因式分解的化简，根据相关知识点解题是关键。5.(吉林长春·七年级期末)分解因式：1-m²=【分析】利用平方差公式分解因式即可.【详解】解：1-m²=(1—m)(1+m)故答案为：(1—m)(1+m)【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构是解题的关键，注意因式分解要彻底.6.(江西九江·七年级期末)若m²-n²=10,且m-n=2,则m+n=【答案】5【分析】将m²-n²按平方差公式展开，再将m-n的值整体代入，即可求出m+n的值。【详解】解：m²-n²=(m+n)(m-n)=10,∵m-n=2,∴m+n=5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查平方差公式，解题的关键是熟知平方差公式的逆用.2)完全平方公式的应用能用完全平方公式进行因式分解的有()A.②③④B.①③④C.②④D.①②③【答案】C【分析】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案.【详解】解：x²-xy+y²与x²-6xy-9y²不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解；-x²+2xy-y²=-(x²-2xy+y²)=-(x-y)²,故②能用完全平方公式进行因式分解；故④能用完全平方公式进行因式分解；故选：C.【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关3.(广东八年级专题练习)下列各式中能用完全平方公式法分解因式的是()A.4x²+4x+4B.-x²+4x+4C.x⁴-4x²+4D.-x²-4【分析】根据完全平方公式逐项判断即可得.D、-x²-4不满足完全平方公式，此项不符题意；故选：C.【点睛】本题考查了利用完全平方公式法分解因式，熟记完全平方公式是解题关键。4.(湖南涟源·七年级月考)因式分解4m²-12m+9=【答案】(2m-3)²【详解】解：4m²-12m+9=(2m)²-2×2m×3+3²=(25.(湖南九年级月考)分解因式：2a³b-4a²b²+2ab³=6.(四川内江八年级开学考试)分解因式：x³-4x²+4x=3)综合应用1.(鹤壁八年级期中)下列各式中：①x²-2xy+y²;;③-4ab-a²+4b²;④4x²+9y²-12xy;⑤3x²-6xy+3y²,能用完全平方公式分解的个数有()【详解】解：在;-4ab-a²+4b²;用公式法分解因式的是()A.①③④⑤B.②③④C.②④⑤D.②③④⑤【详解】①-4x²-y²不能用公式法因式分解；③a²+2ab-b²不能用公式法因式分解；能用公式法因式分解；∴能用公式法分解因式的是②④⑤故选C.【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知乘方公式的特点.3.(雅安天立学校八年级月考)下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有()A.4x²+1B.9a²b²-3ab+1D.-x²-y²【答案】C【分析】利用平方差公式，完全平方公式判断即可.【详解】解：A.4x²+1,两个平方项，符号相同，不能因式分解；B.9a²b²-3ab+1,有两个平方项，没有二倍项，不能因式分解；能用完全平方公式分解；D.-x²-y²,两个平方项，符号相同，不能因式分解；故选：C.【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键。4.(山东在平·七年级期末)下列各式：①-x²-y²;;③a²+ab+b²;④-x²+2xy-y²;用公式法分解因式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可.【详解】解：①-x²-y²=-(x²+y²),因此①不能用公式法分解因式；,因此②能用公式法分解因式；③a²+ab+b²不符合完全平方公式的结果特征，因此③不能用公式法分解因式；④-x²+2xy-y²=-(x²-2xy+y²)=-(x-y)²,因此④能用公式法分解因式；,因此⑤能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有②④⑤,故选：B.【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是应用的前提.ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)2xy+y²-1+x²=x²+2xy+y²-1=(x+y)²-1=(x+y+1)(x+y-1)x²-6x-7.a(a-b)-c(a-b)=0,∴△ABC是等腰三角形.2.(浙江·八年级专题练习)先阅读材料：=(a²b-3a²)+(2b-6)=(b-3)(a²+2)=(x²-y²)+(3x+3y)=(x+y)(x-y)+3(x+y)=(x+y)(x-y+3)【点睛】本题考查了因式分解，理解例题中的分组分解法是解题的关键.3.(广东揭阳·八年级期末)阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法组分解.例2:“三一分组”:2xy+x²-1+y²解：原式=x²+2xy+y²-1=(x+y)²-1=(x²-xy)+(5x-5y)=x(x-y)+5(x-y)=(x-y)(x+5);②m²-n²-6m+9=(m-3)2-n²【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a²+2【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握提取公因式的技巧和完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)4.(山西吕梁·八年级期末)阅读以下材料，并解决问题：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式的因式分解.具体过程如下：例1:x²-4y²-2x+4y=(x²-4y²)-(2x-4y)..............=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y).............=(x-2y)(x+2y-2)....................分成两组分别分解提取公因式完成分解像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”,预见下一步能继续分解，直到完成(1)材料例1中，分组的目的是(2)若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适?;2a+a²-2b-2ab+b²=【分析】(1)阅读材料可知分组须有“预见性”,预见下一步能继续分解，即可求解；(2)根据分组分解的方法，依据下一步利用公式进行分组；(3)根据分组分解法因式分解即可求解.分组后能出现公因式，分组后能应用公式x²-y²+x+y=(x²-y²)+(x+y),=(x-y)²-4=(x-y+2)(x-y-2).解：原式=(x+7)(x-1)①(分组分解法)4x²+4x-y²+1;②(拆项法)x²-6x+8;③(十字相乘法)x²-5x+6=(2)先利用完全平方公式对等式a²+b²+c²-4a-4b-6c+17=0的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出a,b,c的值，然后求和即可得出答案.解：①4x²+4x-y²+1∴(a²-4a+4)+(b²-4b+4)+(c²-6c+9)=0,..a+b+c=2+2+3=7.∴△ABC的周长为7.(5)x³-9x+8.(2)运用公式法进行因式分解.(3)先化简，再运用十字相乘法进行因式分解.(5)先分组，再提公因式进行因式分解.解：(1)-2x³+16x²-24x=-2x(x-2)(x-6).=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).=(x²-x-2)(x²-x-6)(x+y)³-x³-y³=(x+y)²(x+y)-x³-y³=x³+x²y+xy²+y³+2x²y+2xy²=3xy(x+y).x³-9x+8=x³-x-8x+8=x(x+1)(x-1)-8(x-1)【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法是解决题型5十字相乘法1.(江西抚州·八年级期中)分解因式：4x³+2x²-2x=【分析】先提公因式法再用十字相乘法因式分解即可.【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握提公因式和十字相乘法进行因式分解是解题的关键。2.(贵州铜仁·七年级期中)整式乘法与因式分解是方向相反的变形.如何把二次三项式ax²+bx+c(a≠0)分解因式呢?我们已经a₁a₂x²+(q₁c₂+a₂c₁)x+G₁C₂=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂).我们发现，二次三项式ax²+bx+c(a≠0)的二次项的系数a分解成a₁a₂,常数项c分解成Gc₂,并且把a,a₂,c,C₂,如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到aq₁c₂+a₂C,如果a₁c₂+a₂C₁的值正好等于ax²+bx+c的一次项系数b,那么ax²+bx+c就可以分解为(a₁x+c₁)(a₂x+c₂),其中aq₁,c₁位于图的上一行，a₂,c₂位于下一行.像这种借助画十字交把常数项-6也分解为两个因数的积，即-6=2×(-3);然后把1,1,2,-3按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(-3)+1×2=-1,恰好等于一次项的系数-1,于是x²-x-6就可请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：x²+x-6=请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：①2x²+5x-7=;②6x²-7xv+2v²=对于形如ax²+bxy+cy²+dx+ey+f的关于x,y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4.将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq+np=b,pk+pj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则，则原式=(mx+py+j)(nx+qy+k),请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：①分解因式3x²+5xy-2y²+x+9y-4=;②若关于x,y图1的二元二次式x²+7xy-18y²-5x+my-24可以分解成两个一次因式的积，求m的值。图3图4图3图4(3)(3x-y+4)(x+2y-1)②43或-78果即可.(3)①把x²项系数3写成3=1×3,把y²项系数-2写成-2=2×(-1),常数项-4写成-4=(-1)×4满足条件，写出分解结果即可.-24=(-3)×8满足条件，写出分解结果，计算即可.①把二次项系数2写成2=1×2,-7=-1×7,满足1×7+(-1)×2=5,所以2x²+5x-7=(2x+7)(x-1).②把x²项系数6写成6=2×3,把y²项系数2写成2=-1×(-2),满足-2×2+(-1)×3=-7,所以6x²-7xy+2y²=(2x-y)(3x-2y).①把x²项系数3写成3=1×3,把y²项系数-2写成-2=2×(-1),常数项-4写成-4=(-1)×4满足条件，所以3x²+5xy-2y²+x+9y-4=(3x-y+4)(x+2y-1).②把x²项系数1写成1=1×1,把y²项系数-18写成-18=-2×9,常数项-24写成-24=3×(-8)或故m的值为43或-78.【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，读懂阅读3.(广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中)阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由(x+p)(x+q)=x²+(p+q)x+pq,得x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q);利用这个式可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解.例如：将式x²+3x+2因式分解.分析：这个式的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2【分析】(1)仿照例题的方法，这个式的常数项-18=-9×2,一次项系数7=-2+9,然后进行分(2)仿照例题的方法，这个式的常数项-8=-4×2,-8=-2×4,-8=-1×8,-8=-8×1,然后进行计算(3)仿照例题的方法，这个式的常数项8=(-2)×(-4),一次项系数-6=-2+(-4),然后进行分解计算即可.=x²十(-2+9)x十(-2)×9=(x-2)(x+9).p=-4+2=-2,p=-2+4=2,p=-1+8=7,p=-8+1=-7,(x-2)=0或(x-4)=0,【点睛】本题考查因式分解-十字相乘法，理解并掌握x²+(p+q题的关键.4.(四川·八年级期中)由整式的乘法运算法则可得(ax+b)(cx法.如：将二次三项式2x²+7x+3的二项式系数2与常数项3分别进行适当的分解，如图2,则2x²+7x+3=(x+3)(2x+1).(3)(2x+4y-3)(x+2y-2)=(2x+4y-3)(x+2y-2).xp例题把x²+3x+2分解因式.(2)(y²+y)²+7(y²+y)-18.=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)((1)根据x²+(p+q)x+pg=(x+p)(x+q)的形式的分解即可；(1)x²-7x+12=(y²+y+9)(y+2)(y-1).用.在分解因式时，要分解到不能再分解为止.6.(绵阳市·八年级专题练习)阅读下面材料完成分解因式.=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).(1)x²+10x+24(2)3(a-4b)(a+3b)(2)仿照题意进行分解因式即可.=x²+(6+4)x+24=(x+4)(x+6);=3(a-4b)(a+3b).1.(广东河源·八年级期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法.但有x²-4y²-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种分解因式的方法叫分组分解法.利(2)将x²-y²-2y+2x整理成(x-v)(x+y+2)即可求解；=(x-y+4)(x-y-4);=(x-y)(x+y+2)=45.∴a(a-b)-c(a-b)=0,的形状是等腰三角形.=(x-y+4)(x-y-4).(3)△ABC三边a、b、c满足a²+c²+2b²-2ab-2bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.(2)△ABC三边a,b,c满足a²-ab-ac+bc=0,判断△ABC的形状.【答案】(1)(3x-y+4)(3x-y-4);(2)等腰三角形或等边三角形(2)首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a,b,c的关系，判【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关4.(河北河间·初二期末)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x²-4y²-2x+4y,我们细心观察这个式就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式的分解因式了，过程为：x²-4y²-2x+4y=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2),这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题.(1)分解因式：a²-9-2ab+b²;(2)△ABC三边a、b、c满足a²-4bc+4ac-ab=0,判断△ABC的形状.【答案】(1)(a-b+3)(a-b-3);(2)△ABC的形状是等腰三角形；【分析】(1)先根据完全平方公式进行分解，再根据平方差公式分解即可；(2)先从a²-ab中提取公因式a,从4ac-4bc中提取公因式4c,再提取它们的公因式a-b,最后根据a-b=0,判断出△ABC是等腰三角形.【解析】(1)a²-9-2ab+b²=(a-b)²-3²=(a-b+3)(a-b-3)∴a(a-b)+4c(a-b)=0,∴(a-b)(a+4c)=0,∵a+4c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC的形状是等腰三角形.【点睛】本题主要考查因式分解及应用，熟练运用分组分解法是关键.5.(山东章丘·初二期末)阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解.如x²-4y²—2x+4y,细心观察这个式，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式的分解因式.具体过程如下：x²—4y²—2x+4y=(x²—4y²)一(2x—4y)=(x+2y)(x—2y)一2(x—2y)=(x—2y)(x+2y—2).像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法.利用分组分解法解决下面的问题：(1)分解因式：x²—2xy+y²-4:(2)c满足a²—ab—ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.【答案】(1)(x-y+2)(x-y-2);(2)等腰三角形，理由【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可.(2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把∴(a-b)=0或(a-c)=0,∴a=b或a=c,∴△ABC为等腰三角形.故答案为等腰三角形.等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可.=(3a+2b)²-(5m-n)²=(3a+2b+5m-n)(3a+2b-5m+n)(2)由2a²+b²+c²-2a(b+c)=0可得：2a²+b²+c²-2ab-2ac=0题型7利用因式分解求值1.(广东·平洲一中八年级阶段练习)已知a=b+2,则代数式3a²-6ab+3b²+2022的值为()A.2020B.2024C.2021D.2034=3×2²+2022=20342.(甘肃·临泽二中八年级期末)已知a-b=3,ab=2,则a²b-ab²的值为【分析】将a²b-ab²提取公因式ab,再将a-b=3,ab=2代入进行计算求解.=6.【点睛】本题主要考查了代数式求值，理解提取公因式法是解答关键。3.(贵州·仁怀市周林学校八年级期末)若a+2b=3,a-2b=2,则a²-4b²=【分析】利用平方差公式分解因式求解即可.【点睛】本题主要考查平方差公式在因式分解里的运用，熟练运用平方差公式是解题关键.4.(河南太康·期中)已知a=2019x+2016,b=2019x+2017,c=2019x+2018,则多项式a²+b²+c²-ab-bc-ac的值为●【分析】根据a=2019x+2016,b=2019x+2017,c=2019x+2018,可以得到a-b、a-c、b-c的值，然后故答案为：3.【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答.【答案】-3【分析】先根据a-b=3,b-c=-4,求出a-c=-1,再将多项式分解因式代入求值即可.∴a²-ac-b(a-c)=a(a-c)-b(a-c)=(a-c)(a-b)=-1×3=-3,【点睛】此题考查多项式的化简求值，掌握多项式的因式分解的方法：分组分解法和提公因式法是解题的关键.6.(淮北期中)若x=2018,y=2019,z=2020,求2x²+2y²+2z²-2xy-2xz-2yz的值。-y)²+(x-z)²+(y-z)²,再代入计算即可.=(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²=(-1)²+(-2)²+(-1)²=6.【点睛】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的运用；熟练掌握完全平方公式是解题的关键。题型8因式分解的应用解题技巧：因式分解知识方法应用与人们日常生活紧密联系，解决应用型问题，常用提公因式法、运用公式法等，并且我们要注意需符合实际要求。1.(江苏南京·初一期中)如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是a、b,长方形纸片乙的长和宽分别为a和b(a>b).现有这三种纸片各6张，取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成的不同正方形的个数为丙【答案】3【分析】根据正方形的面积结合因式分解进行拼图即可解决问题。【解析】解：如图所示：丙乙丙乙丙乙甲乙丙乙丙丙乙甲乙甲乙甲甲乙甲乙丙乙共有3种不同的正方形.故答案为3.2.(乳山市期中)【阅读材料】解：将“x+y”看成整体，令x+y=A,则原式=A²+2A+1=(A+1)².再将“A”还原，原式=(x+y+1)².【问题解决】(1)因式分解：1+5(x-y)+4(x-y)²;(2)因式分解：(a+b)(a+b-4)+4;(3)证明：若n为正整数，则代数式(n+1)(n+2)(n²+3n)+1的值一定是某个整数的平方.【分析】(1)将x-y看做整体，利用十字相乘法因式分解即可得；(3)先计算(n+1)(n+2)得n²+3n+2,再将n²+3n看做整体因式分解得原式=(n²+3n+1)²,继而由n²+3n+1为正整数可得答案.【答案】解：(1)原式=(x-y+1)[4(x-y)+1]=(1+x-y)(1+4x-4y).(2)原式=(a+b)²-4(a+b)+4=[(a+b)-2(3)原式=∴代数(n+1)(n+2)(n²+3n)+1的值一定是某个整数的平方.过程的例题.例：若m²+2mn+2n²—6n+9=0,求m和n为什么要对2n²进行了拆项呢?聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题。相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请写出你的解题过程.(1)若x²—4xy+5y²+2y+1=0,求x的值；(2)已知a、b、c是等腰△ABC的三边长，且满足a²—10a+b²—12b+61=0,求此三角形的周长.【答案】(1)(2)△ABC的周长为16或17.【答案】(1);(2)先利用分组法分解因式，求得ab的值，再根据等腰三角形确定边长，最后求出周长即可.【解析】(1)∵x²—4xy+5y²+2y+1=0,∴x²-4xy+4y²+y²+2y+1=0.(2)∵a²—10a+b²—12b+61=0,∴a²—10a+25+b²—12b+36=0,∵a、b、c是等腰△ABC的三边长，∴当a=c=5时，△ABC的周长为5+5+6=16,当b=c=6时，△ABC的周长为5+6+6=17,故△ABC的周长为16或17.【点睛】本题考查了分组法分解因式以及等腰三角形的周长，注意拆项是分组法分解因式的关键。4.(河南郑州初二期中)阅读理解：对于一些次数较高或者是比较复杂的式进行因式分解时，换的过程.解：设a²-2a=A原式=(A-1)(A+3)+4(第一步)