山东省滨州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

试卷类型：A高一数学试题2024.7本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡对应位置“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知平面和直线m，n，则下列结论正确的是（）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则2．如图所示，是利用斜二测画法画出的水平放置的四边形OABC的直观图．其中，，则四边形OABC的面积是（）A． B．20 C． D．103．已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．数据3，1，2，4，2的上四分位数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．柜子里有3双不同的鞋，从中随机取出2只．设事件“取出的鞋都是一只脚的”，则（）A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则是（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形7．为了研究我市甲、乙两个智能手机专卖店的销售状况，厂家统计了去年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．根据两店的营业额折线图可知，下列说法错误的是（）A．甲店月营业额的平均值在内B．乙店月营业额总体呈上升趋势C．7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少D．乙店的月营业额极差小于甲店的月营业额极差8．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，“n次中至多有一次正面朝上”．下列说法正确的是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．设z为复数（i为虚数单位），下列结论正确的是（）A．对任意复数，，有B．对任意复数，，若，则C．设，若，则复数在复平面内对应的点位于第一象限D．设，在复平面内z对应的点为Z，满足条件的点Z的集合所构成区域的面积为10．在棱长为2的正方体中，M，N，Q分别是，，的中点，P为四边形（含边界）内一动点，且．则下列结论正确的是（）A．直线AM与直线是异面直线 B．三棱锥的体积为C．点P的轨迹长度为 D．直线平面11．已知中，，，M是AC的中点，动点P在以AC为直径的半圆弧上．则下列结论正确的是（）A．B．最大值为C．在上的投影向量为D．若，且B，M，P三点共线时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若事件A与B互斥，且，，则__________．13．已知圆台的体积为，其上底面圆半径为1，下底面圆半径为4，则该圆台的母线长为__________．14．如图，MN是底部N不可到达的一座塔，M为塔的最高点，某同学为测量塔的高度，在塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为，在点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A、塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得塔顶部M的仰角为，则塔MN的高度约为__________m．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）出口“新三样”指的是电动载人汽车、锂离子蓄电池和太阳能电池，这些产品在中国外贸出口中扮演着重要角色，成为展现中国制造迈向高端化、智能化、绿色化的崭新名片．某学校组织了400名学生参加新能源知识竞赛，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，，，…，，整理得到频率分布直方图如图所示．（1）由频率分布直方图估计样本中学生分数的中位数；（2）已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；（3）已知样本中男生与女生的比例是3∶1，男生样本的平均数为70，方差为10，女生样本的平均数为80，方差为12，请计算出总体的方差．16．（15分）如图，在三棱锥中，，底面ABC．（1）求证：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中点，求直线AM与平面PBC所成角的正切值．17．（15分）5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5．25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒孩子们“珍惜生命、关爱自己”．为此学校将举行心理健康知识竞赛，甲、乙两同学组成“爱我队”参赛，比赛共有两轮，每轮比赛由甲、乙各回答一个问题，已知第一轮甲答对的概率为，甲、乙都答错的概率为，第二轮甲、乙都答对的概率为，并且甲连续两轮都答对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．（1）分别求第二轮甲、乙两同学答对的概率；（2）求“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率．18．（17分）已知锐角三个角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知向量，，且．（1）求A；（2）若的面积，且，求的周长；（3）求的最小值．19．（17分）唐代诗人温庭筀的《新添声杨柳枝词二首》中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情．为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”（如图所示）：棱长为1的水晶正八面体（八个面都是全等的正三角形），中间的球体部分是被挖空的（表面不被破坏），并嵌入了红豆．（1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．（2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片．甲乙两人每人抽取一次（抽取结果互不影响），求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．（3）若点P为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值．高一数学试题参考答案2024.7一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．AC 10．BC 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．0.7 13． 14．12四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）在频率分布直方图，中位数左边和右边的直方图面积应该相等，由于，．因此中位数落在之间．设中位数为x则有，解得，所以样本中学生分数的中位数约为72.5．（2）由频率分布直方图知，分数在的频率为，样本中分数在的人数为（人），样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人），总体中分数小于40的人数为人；（3）总样本的均值为，所以总样本的方差为．16．（15分）（1）证明：因为底面ABC，所以．因为，所以．因为，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PBC．（2）解：取PC的中点D，连接AD，DM，AM，因为，所以，由（1）知平面平面PBC，平面平面，所以平面PBC，所以，则就是AM与平面PBC所成角．设，则，，所以在直角三角形ADM中，，所以直线AM与平面PBC所成角的正切值是．17．（15分）解：设、分别表示甲第一轮、第二轮答对的事件，、分别表示乙第一轮、第二轮答对的事件．则，（1）根据独立性假定，得，所以．又，得，所以第二轮甲、乙两同学答对的概率分别为和．（2）设“甲同学两轮答对1题”，“甲同学两轮答对2题”，“乙同学两轮答对1题”，“乙同学两轮答对2题”．由于在每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．又，所以．所以，，且与，与互斥，与，与分别相互独立．，，，，设““爱我队”在两轮比赛中答对3题”，则，且与互斥，与，与分别相互独立，所以，所以“爱我队”在两轮比赛中答对3题的概率为．18．（17分）解：（1）因为，所以．由正弦定理，得，代入①得：，整理得：．因为，所以．因为，所以．（2）由三角形面积公式，得．由余弦定理，得，因为，所以，两边平方得，所以，解得，所以．又，解得．所以的周长为．（3）因为，所以，由正弦定理和余弦定理得．又因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为．19．（17分）解：（1）设被挖空的球体的半径为r．球心为O，根据题意，当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，此时设四棱锥的高为h，则．所以，正八面体每个面的面积是．由得：．解得．所以．在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，该试验的样本空间共20个样本点，所以．每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型．设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片，所以，从而．设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得