人教版高中数学全册教案-08-圆锥曲线方程-12

抛物线的几何性质

一、教学目标

（一）知识教学点

使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质.

（二）能力训练点

从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能

力.

（三）学科渗透点

使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线方程

的关系概念的理解，这样才能解决抛物线中的弦、最值等问题.

二、教材分析

1.重点：抛物线的儿何性质及初步运用.

（解决办法：引导学生类比椭圆、双曲线的几何性质得出.）

2.难点：抛物线的几何性质的应用.

（解决办法：通过儿个典型例题的讲解，使学生掌握儿何性质的应用.）

3.疑点：抛物线的焦半径和焦点弦长公式.

（解决办法：引导学生证明并加以记忆.）

三、活动设计

提问、填表、讲解、演板、口答.

四、教学过程

（一）复习

1.抛物线的定义是什么？

请一同学回答.应为：“平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的

轨迹叫做抛物线.”

2.抛物线的标准方程是什么？

再请一同学回答.应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),

x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0).

下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p>0)出发来

研究它的几何性质.

(二)儿何性质

怎样由抛物线的标准方程确定它的几何性质？以y2=2px(p>0)为例，用小黑板给

出下表，请学生对比、研究和填写.

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(t>0>b>Q

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o<a-S<i

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填写完毕后，再向学生提出问题：和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性

质有什么特点？

学生和教师共同小结:

⑴抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线.

⑵抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点

的连线重合，抛物线没有中心.

⑶抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点.

(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比

较.其结果是应规定抛物线的离心率为L注意：这样不仅引入了抛物线离心率

的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了.

(三)应用举例

为了加深对抛物线的几何性质的认识，掌握描点法画图的基本方法，给出如下例1.

例1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

I+-)

①，:可利-(a-by=4ab.

尸ML》

x=asec3

@a可#W00=1.

解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点

蚂“-2所以可设它的标度方程为/=2p«.

因为点才蛾线上所以(<2际,=2p・2.SPp=2.因lit新院方

程是y2=4x.

后一部分由学生演板，检查一下学生对用描点法画图的基本方法掌握情况.

(D柳特改^»知=土m，=

第一象限内的几个点的坐标，得：

X01234■■■

y022*354■■■

⑵描点作图

描点画出抛物线在第一象限内的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部

分(如图2-33).

例2已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3,m)

到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则准线方

程匕吟.

因为抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离IMF|与到准线的距离

为1明液线的垂用相明所以|MF]=|MKb印5+31号由此

得P=4.

因此，所求抛物线方程为y2=-8x.

又点M(-3,m)在此抛物线上,故成=-8(-3).

.*.m=2&或m=-2-J6.

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m.由学生演板.由题意

如鹤线的方程为了'=令4>>0),见憔点是Q).因点"-3,m)

在抛物线上且IMF|=5,故

解跟｛二同二击

因此，Itm线方程为/=&.值为2#或-2#.

本例小结：

⑴解法一运用了抛物线的重要性质：抛物线上任一点到焦点的距离(即此点

的焦半径)等于此点到准线的距离.可得焦半径公式：设P(xo,

兀询做修，=2—点畤,孙甘/驿网褊,删明=31

这个性质在解决许多有关焦点的弦的问题中经常用到，因此必须熟练掌握.

⑵由焦半径不难得出焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点

弦)，若A(xl,yl)、B(X2,y2)则有|AB|=xl+x2+p.特别地：当AB_Lx轴,抛物

线的通径IAB|=2p(详见课本习题).

例3过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B

两点，且A(xl,yl)、B(x2,y2)(图2-34).

求证：力力■>'，3,

证明：

,「侬0).

4

⑴当AB与x轴不垂直时，设AB方程为:

广(一乡廿Q)

由JS2)楙ky3-2py-kp,-0.

ya-2pK

此方程的两根yl、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有yiy2=-p2.

⑵当ABJLSM时,因为直线AB的方程为*=品所以Fi=p.外=1>

或yl=-p,y2=p,故yly2=-p2.

综合上述有yiy2=-p2

又•••A(xl,yl)、B(x2,y2)是抛物线上的两点，

*,-7?_2[«pB.y?-Zpij.

从喃*网啜虚■挈■.%

P’

本例小结：

⑴涉及直线与圆锥曲线相交时，常把直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变

量，得到关于另一•变量的一元二次方程，然后用韦达定理求解，这是解决这类问

题的一种常用方法.

⑵本例命题1是课本习题中结论，要求学生记忆.

(四)练习

1.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xl,yl)、B(x2,y2)两点，

若xl+x2=6,求IABI的值.

由学生练习后口答.由焦半径公式得：|AB|=xl+x2+p=8

2.证明：与抛物线的轴平行的直线和抛物线只有一个交点.

请一同学演板，其他同学练习，教师巡视.证明：可设抛物线方程

W-3mzMttb.：2P:

y・b

”b.

故抛物线y2=2px与平行于其轴的直线只有一个交点.

(五)全课小结

1.抛物线的儿何性质；

2.抛物线的应用.

五、布置作业

1.在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标.

2.有一正三角形的两个顶点在抛物线y2=2px上