2021年北京市高考数学押题卷12

2021年北京市高考数学押题卷12一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．设集合，，则A． B． C． D．2．已知，则A． B． C． D．3．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A． B． C． D．4．设等差数列的前项和为，若，则A．10 B．9 C．8 D．75．已知半径为2的圆经过点，其圆心到直线的距离的最小值为A． B． C． D．6．某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则A．，且 B．，且C．，且 D．，且7．已知函数，则的值为A． B． C． D．8．在平行四边形中，，，，为的中点，则A． B． C． D．9．已知函数，给出下列四个结论：①函数是周期为的偶函数；②函数在区间上单调递减；③函数在区间上的最小值为；④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与的图象重合．其中，所有正确结论的序号是A．①③B．②③C．①④D．②④10．已知，关于的方程的根为，，关于的方程，根为，．当变化时，的最小值为A． B．8 C． D．16第二部分（非选择题共110分填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．设为虚数单位，则的虚部为______．12．函数的定义域是________．13．代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．14．双曲线的离心率是____________；渐近线方程是____________．15．在△中，，，，则_______；△的面积为_______．解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（本小题13分）在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，其中，求数列的前项和.17．（本小题13分）某公司在2013～2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：年份201320142015201620172018201920202021年生产台数（单位：万台）3456691010年返修台数（单位：台）3238545852718075年利润（单位：百万元）注：年返修率（表示年返修台数，表示年生产台数）（1）从2013～2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；（2）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013～2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望；（3）记公司在2013～2015年，2016～2018年，2019～2021年的年生产台数的方差分别为，，.若，其中表示，，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）（注：，其中为数据，，，的平均数）（本小题14分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，（1）求证：AE∥平面BDF；（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；（3）2AE＝EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为，求P的位置．（本小题15分）已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数在上的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数既有极大值又有极小值．（本小题15分）已知数列是无穷数列，满足.（1）若，，求、、的值；（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是”的充要条件；（3）求证：在数列中，使得.参考答案1．B2．B3．A4．B5．B6．D7．B8．C9．D10．B11．12．13．014．15．，16．（1）；（2）.17．（1）；（2）分布列见解析，；（3）最大值为13，最小值为7.【解析】（1）由图表知，2013～2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.所以从2013～2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为.（2）由图表知，2013～2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，所以的所有可能取值为1，2，3.，，.所以的分布列为123故的数学期望.（3）的最大值为13，最小值为7.18．（1）见解析（2）见解析（3）P在E处．【解析】证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，又∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，在△BCE中，BE＝CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，∴BF⊥平面ACE，又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．（3）如图建立坐标系，设AE＝1，则B（2，0，0），D（0，1，2），C（2，0，2），F（1，0，1），设P（0，a，0），，，设平面BDF的法向量为，且，则由⊥得﹣2x1+y1+2z1＝0，由⊥得﹣x1+z1＝0，令z1＝1得x1＝1，y1＝0，从而设平面BDP的法向量为，且，则由⊥得﹣2x2+y2+2z2＝0，由⊥得2x2﹣ay2＝0，令y2＝2得x2＝a，z2＝a﹣1，从而，，解得a＝0或a＝1（舍）即P在E处．19．（I）；（Ⅱ）.【解析】（I）当时，.所以，所以，因为.所以切线方程为.（Ⅱ）函数的定义域为.因为所以.令，即，解得或.（1）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1－0＋极小值所以当时，取得极小值.所以成立.（2）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以当时，取得极小值.所以成立.（3）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立.（4）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x1＋0－0＋极大值极小值所以当时，取得极大值.所以不成立.综上所述，.20．（1）单调递增区间是，，单调递减区间是；（2）证明见解析.【解析】（1）当时，所以，令得，或.当变化时，的变化情况如下表：所以在上的单调递增区间是，，单调递减区间是.(2)当时，若，则，所以因为，所以若，则，所以令，所以有两个不相等的实根，且不妨设，所以当变化时，的变化情况如下表：因为函数图象是连续不断的，所以当时，即存在极大值又有极小值.21．（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1），，，，则；，则；，则.因此，，，（2）必要性：已知数列中有无数多项是，则数列中存在使得.数列中有无数多项是，数列中存在使得，即数列中存在使得；充分性：已知数列中存在使得，则数列中有无数多项是.假设数列中没有无数多项是，不妨设是数列中为的最后一项，则，若，则由，可得