2024年浙江省杭州十三中中考数学二模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年浙江省杭州十三中中考数学二模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1.春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是16℃，哈尔滨的气温是−14℃，则此刻两地的温差是(

)A.30℃ B.16℃ C.14℃ D.2℃2.2024年5.5G技术正式开始商用，它的数据下载的最高速率从5G初期的1Gbps提升到10Gbps，给我们的智慧生活“提速”.其中10Gbps表示每秒传输10000000000位(bit)的数据.将10000000000用科学记数法表示应为(

)A.0.1×1011 B.1×1010 C.3.下列计算正确的是(

)A.a+2a=3a B.(a+b)2=a2+4.中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.5.一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3.随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为(

)A.12 B.13 C.166.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，如图，∠1+∠2=129°，∠3=102°，则∠4的度数为(

)A.57° B.54° C.52° D.51°7.已知−2<a<−1，则下列结论正确的是(

)A.a<1<−a<2 B.1<a<−a<2 C.1<−a<2<a D.−a<1<a<28.如图，扇形的圆心角为120°，点C在圆弧上，∠ABC=30°，OA=2，阴影部分的面积为(

)A.2π3+34B.2π39.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，设BD=a，DC=b，AD=c，给出下面三个结论：

①c2=ab；②a+b≥2c；③若a>b，则a>c．

上述结论中，所有正确结论的序号是(

)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=a1(x−ℎ)2+k与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线y2=a2(x−ℎ)2A.a1=2a2

B.a二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：a3−4a=______．12.如表是小阮同学本周在校体育活动时间统计表(min)，则小阮同学本周五天体育活动时间的中位数是______．星期一星期二星期三星期四星期五656075807013.如图，两个边长相等的正六边形的公共边为BD，点A，B，C在同一直线上，点O1，O2分别为两个正六边形的中心.则tan∠O2AC14.如图在圆O中，AB是直径，弦CD与AB交于点E，如果AE=1，EB=9，∠AEC=45°，点M是CD的中点，联结OM，并延长OM与圆O交于点N，那么MN=______．15.杆秤是我国度量衡“三大件(尺斗秤)”重要组成部分，是中华民族衡重的基本量具.杆秤依据杠杆原理制作而成，一般由秤钩(或秤盘)、秤杆和秤砣三部分组成，秤杆上的刻度叫做“秤星”.如图是小戚同学利用自制杆秤称重的示意图，使用时将货物放在秤盘上，用手提起B(相当于支点)处的秤纽，在秤杆上移动秤砣的位置，当秤杆水平平衡时，可根据秤砣在秤杆上的位置读出货物的质量.如图1所示，称量货物甲时，秤砣在C处秤杆平衡，此时可读出货物甲的质量是40g，则此时：(甲的质量40+秤盘质量)×AB=秤砣质量×BC；如图2所示，称量货物乙时，秤砣在D处秤杆平衡，此时可读出货物乙的质量是60g.根据图中所给数据，可以知道秤盘的质量是______克，这把杆秤的秤星E对应的刻度是______克.

16.如图，点E为Rt△ABC的内心，∠DAB=∠B=90°，AB=3，若DE=AD=AC，则AC的长为______．三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

(1)计算：4cos30°+(π+1)0−12；

(2)18.(本小题6分)

如图，CA=CD，∠BCE=∠ACD，BC=EC．

(1)求证：AB=DE；

(2)若∠A=25°，∠E=35°，求∠ECD的度数．19.(本小题8分)

为了了解本市市民出行情况，某数学兴趣小组对本市市民的出行方式进行了随机抽样调查.根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图．

由图中给出的信息解答下列问题：

(1)求此次调查的市民总人数，并补全条形统计图．

(2)若本市某天的出行人次约为180万，则乘坐地铁或公交车这两种公共交通出行的人次约为______万；

(3)根据调查结果对市民的绿色出行提一条合理化的建议．20.(本小题8分)

如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：

①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹．

(1)在图1中画一个△ADE，使得△ADE∽△ACB，且相似比为1：2．

(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA=22.5°．

21.(本小题10分)

已知周长为a cm(a为定值)的矩形的一边长y(cm)与它的邻边长x(cm)之间的函数图象如图所示．

(1)直接写出a的值和y关于x的函数表达式；

(2)当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？22.(本小题10分)

如图，直线y=kx+b(k,b为常数)与双曲线y=mx(m为常数)相交于A(2,a)，B(−1,2)两点．

(1)求直线y=kx+b的解析式；

(2)在双曲线y=mx上任取两点M(x1,y1)和N(x2,y2)，若23.(本小题12分)制作简易水流装置设计方案如图，CD是进水通道，AB是出水通道，OE是圆柱形容器的底面直径，从CD将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从B处流出且呈抛物线型.以点O为坐标原点，EO所在直线为x轴，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy，水流最终落到x轴上的点M处．示意图已知AB/​/x轴，AB=5cm，OM=15cm，点B为水流抛物线的顶点，点A、B、O、E、M在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为y=a任务一求水流抛物线的函数表达式；任务二现有一个底面半径为3cm，高为11cm的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由.(圆柱形水杯的厚度忽略不计)任务三还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心P在x轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出OP长的取值范围．请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三．24.(本小题12分)

在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P是BC上的一个动点，点F与点B关于AP对称，连结AF，PF，延长AF交射线BC于点E，延长PF交DC或AD于点M，如图1，图2．

(1)如图1，若∠MPC=40°，求∠BAP；

(2)如图2，当BP=2时，求PE的长；

(3)当CEBE=13时，直接写出MPAE答案解析1.A

【解析】解：由题意得两地的温差为16−(−14)=16+14=30(°C)，

故选：A．

根据有理数的减法法则计算即可．

本题考查了有理数的减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．2.B

【解析】解：10000000000=1×1010．

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，3.A

【解析】解：A、原式=3a，故A符合题意．

B、原式=a2+2ab+b2，故B不符合题意．

C、原式=a6，故C不符合题意．

D、原式=a5，故D4.D

【解析】解：A.是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；

C.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项合题意；

故选：D．

根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．

本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5.B

【解析】解：列表如下：1231(1,1)(1,2)(1,3)2(2,1)

(2,2)(2,3)3(3,1)(3,2)

(3,3)共有9种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有3种，

∴两次摸出的小球标号相同的概率为39=13．

故选：B．6.D

【解析】解：如图，

∵AC/​/BD，∠3=102°，

∴∠3=∠MAC=102°，

∵AB/​/CD，

∴∠MAC+∠2=180°，

∴∠2=78°，

∵∠1+∠2=129°，

∴∠1=51°，

∵AE/​/BF，

∴∠1=∠FBM=51°，

∵EF//AB，

∴∠4=∠FBM=51°，

故选：D．

光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，依据平行线的性质求解即可．

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．7.A

【解析】解：∵−2<a<−1，

∴1<−a<2，

∴a<1<−a<2．

故选：A．

根据−2<a<−1，判断出−a的取值范围，进而推出a、−a的大小关系即可．

此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是判断出−a的取值范围．8.B

【解析】解：连接AC，CO，

∵∠ABC=30°，

∴∠AOC=2∠ABC=60°．

又∵OA=OC，

∴△AOC是等边三角形，

∴∠CAO=60°．

又∵∠AOB=120°，

∴∠CAO+∠AOB=180°，

∴AC//OB，

∴S△ABC=S△AOC，

∴S阴影=S扇形OAC=60⋅π⋅22360=23π．

故选：B9.D

【解析】解：①∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠BAD+∠CAD=90°，∠B+∠BAD=90°，

∴∠B=∠CAD，

∵AD⊥BC，

∴∠BDA=∠ADC=90°，

∴△BAD∽△ACD，

∴BD：AD=AD：CD，

即a：c=c：b，

即c2=ab，

故结论①正确；

②设BC的中点为E，连接AE，如下图所示：

∵∠BAC=90°，

∴AE=12BC=12(a+b)，

根据“垂线段最短”得：AE≥AD，

∴12(a+b)≥c，

即a+b≥2c，

故结论②正确；

③∵c2=ab，

∴b=c2a，

又∵a>b，

∴a>c2a，

∵a>0，c>0，

∴a2>c2，

即a>c，

故结论③正确．

综上所述：正确的结论是①②③．

故选：D．

①证△BAD和△ACD相似，再根据相似三角形的性质可对结论①进行判断；

②设BC的中点为E，连接AE10.D

【解析】解：对于y1=a1(x−ℎ)2+k，令y1=0，则a1(x−ℎ)2+k=0，

整理得，(x−ℎ)2=−ka1，

解得，x1=ℎ+−ka1,x2=ℎ−−ka1，

∴DE=x1−x2=ℎ+−ka1−(ℎ−−ka1)=2−ka1，

∵点A是抛物线y1=a1(x−ℎ)211.a(a+2)(a−2)

【解析】解：原式=a(a2−4)，

=a(a+2)(a−2)，

故答案为：a(a+2)(a−2)．

本题首先提取a12.70min

【解析】解：由表知，这组数据为60、65、70、75、80，

所以这组数据的中位数为70min，

故答案为：70min．

根据中位数的定义求解即可．

本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13.3【解析】解：如图，连接O2C，过O2点作O2E⊥BC，垂足为E，设正六边形的边长为a，则O1A=O1B=O2C=a，

在Rt△O2CE中，O2C=a，∠CO2E=30°14.5−2【解析】解：在圆O中，AB是直径，AE=1，EB=9，

∴AB=10，

∴OA=5，

∴OE=4，

∵点M是CD的中点，

∴OM⊥CD，

∵∠AEC=45°，

∴△EOM是等腰直角三角形，

∴PM=22OE=22，

∴MN=ON−OM=5−22，

故答案为：5−22．

由题意可知ON=OA=5，则OE=4，易证得15.4

100

【解析】解：设秤盘质量为x g，秤砣质量为yg根据(甲的质量40+秤盘质量)×AB=秤砣质量×BC代入数据得：

(40+x)×2.5=11y①(60+x)×2.5=16y②，

①÷②得：40+x60+x=1116，

解得：x=4，

将x=4代入①得：44×2.5=11y，解得y=10，

设这把杆秤的秤星E对应的刻度是m克，则有：

2.5×(m+4)=26×10，

整理得：2.5m=250，

解得：m=100

故答案为：4，100．

根据杠杆平衡原理，设秤盘质量为x g，秤砣质量为yg列出方程组解答出x、y值，根据x、y值代入(甲的质量40+秤盘质量)×AB=秤砣质量×BC16.3.75

【解析】解：如图：连接BE、CE、AE，令AC交DE于F，作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，

∵点E为Rt△ABC的内心，

∴∠BAE=∠CAE，

设∠BAE=∠CAE=α，则∠BCA=2α，∠DAE=90°−α，

∴∠DAF=∠ACB=90°−2α，

∵AD=DE，

∴∠DEA=∠DAE=90°−α，

∴∠AFE=180°−∠EAF−∠AEF=90°，

∴∠AFD=∠AFE=90°，

∵DA=AC，

∴△ADF≌△CAB(AAS)，

∴DF=AB=3，

设AC=DE=x，

则EH=EG=EF=x−3，BC=AC2−AB2=x2−9，

∵S△ABC=12AB⋅BC=12×3×x2−9，

∴S△ABC=S△ACE+S△ABE+S△EBC

=12AC⋅EF+12AB⋅EG+12BC⋅EH

=12x×(x−3)+117.解：(1)原式=4×32+1−23

=23+1−23

=1；

(2)原方程去分母得：−3+2(x−4)=1−x，

整理得：2x−11=1−x，

解得：x=4，

检验：当【解析】(1)利用特殊锐角三角函数值，零指数幂，二次根式的运算法则计算即可；

(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x得知后进行检验即可．

本题考查实数的运算及解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键．18.(1)证明：∵∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，

∴∠ACB=∠DCE，

在△ACB和△DCE中，

CA=CD∠ACB=∠DCEBC=EC，

∴△ACB≌△DCE(SAS)，

∴AB=DE．

(2)解：由(1)得△ACB≌△DCE，

∴∠A=∠D=25°，

∵∠E=35°，

∴∠ECD=180°−∠D−∠E=180°25°−35°=120°，

∴∠ECD的度数是120°【解析】(1)由∠BCE=∠ACD，得∠ACB=∠DCE，而CA=CD，BC=EC，即可根据“SAS”证明△ACB≌△DCE，则AB=DE；

(2)由全等三角形的性质得∠A=∠D=25°，而∠E=35°，则∠ECD=180°−∠D−∠E=120°．

此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠ACB=∠DCE，进而证明△ACB≌△DCE是解题的关键．19.99

【解析】解：(1)此次调查的市民总人数：(50+20+10+40+20)÷(1−30%)=200(人)，

200−(50+20+10+40+20)=60(人)，补全的条形统计图如下：

答：此次调查的市民总人数有200人．

(2)180×(50÷200+30%)=99(万人)，

故答案为：99．

(3)希望市民出行少开车，多选择地铁、公交车等公共交通工具(答案不唯一，合理即可)．

(1)利用除公交车出行之外的人数÷(1−公交车出行人数的占比)，即可求出市民总人数，再用市民总人数−除公交车出行之外的人数，即可补全条形统计图；

(2)利用样本估计总体的方法计算求解即可；

(3)答案不唯一，合理即可．

本题考查的是条形统计图和用样本估计总体，能计算出调查的市民总人数是解题的关键．20.解：(1)如图1中，△ADE即为所求作；(答案不唯一)

(2)如图2中，∠ABP=22.5°即为所求作．

【解析】(1)根据相似三角形的判定，以及题目要求画出图形即可；

(2)取格点O，F，连接OF交⊙O于P，连接PB，∠ABP即为所求作．

本题考查作图−相似变换，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21.解：(1)∵周长为a cm(a为定值)的矩形的一边长y(cm)与它的邻边长x(cm)，

∴a=2(x+y)，

∵当x=12时，y=10，

∴a=2(12+10)=44(cm)．

a=44cm，a=2(x+y)，

∴y=22−x；

(2)∵由(1)知，

∴S矩形=xy=x(22−x)=−x2+22x(x>0)，

∴当x=−22−2=11时，【解析】(1)根据矩形的周长公式得出a=2(x+y)，再把P(12,10)代入求出a的值，用x表示出y的值即可；

(2)利用矩形的面积公式得出S矩形与x的函数关系式，求出S的最大与最小值即可．

本题考查的是二次函数的最值，根据题意得出S矩形与22.解：(1)由题意，将B点代入双曲线解析式y=mx，

∴2=m−1．

∴m=−2．

∴双曲线为y=−2x．

又A(2,a)在双曲线上，

∴a=−1．

∴A(2,−1)．

将A、B代入一次函数解析式得2k+b=−1−k+b=2，

∴k=−1b=1．

∴直线y=kx+b的解析式为y=−x+1．

(2)由题意，可分成两种情形．

①M、N在双曲线的同一支上，

由双曲线y=−2x，在同一支上时函数值随x的增大而增大，

∴当x1<x2时，y1<y2．

②M、N在双曲线的不同的一支上，

∵x1<x2，

∴x1<0<x2．

∴【解析】(1)依据题意，将B点代入双曲线解析式可求得m，再将A点代入求出a，最后由A、B两点代入直线解析式可以得解；

(2)由题意，分成两种情形：一种是M、N在双曲线的同一支上，一种是M、N在双曲线的两支上，然后根据图象可以得解；

(3)依据图象，由一次函数值大于反比例函数值可以得解．

本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，解不等式．利用数形结合思想是解题的关键．23.解：任务一：

∵AB/​/x轴，AB=5cm，点B为水流抛物线的顶点，

∴抛物线的对称轴为：x=5．

∴−b2a=5．

∴b=−10a．

把点M(15,0)代入抛物线y=ax2+bx+15得：

15a+b+1=0，

把b=−10a代入15a+b+1=0得：

15a−10a+1=0，

解得：a=−15，

∴b=2，

∴水流抛物线的函数表达式为：y=−15x2+2x+15．

任务二：

圆柱形水杯最左端到点O的距离是15−3=12，

当x=12时，【解析】任务一：易得点B的横坐标为5，那么抛物线的对称轴为：直线x=5，即可得到−b2a=5，那么b=−10a，根据OM的长度可得点M的坐标，代入抛物线解析式后可得a和b的关系式，与b=−10a联立可得a和b的值，即可求得抛物线的解析式；