2023-2024学年福建省福州市闽清一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州市闽清一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足(1+2i)z=|3−4i|，z的共轭复数为z−，则z⋅z−A.6 B.5 C.4 D.32.已知向量a=(3,4)，b=(1,0)，c=a−tb，若A.73 B.253 C.3 3.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是(

)A.α/​/β，m/​/α，则m//β

B.m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，则α/​/β

C.α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

D.m⊥α，m/​/n，α/​/β，则n⊥β4.一个笼子里有3只白兔，3只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是(

)A.45 B.35 C.125.函数y=1x4−1A. B.

C. D.6.中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台ABCD−A1B1C1D1，上下底面的中心分别为O1和O，若AB=2AA.2023 B.28237.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点，N为棱BC1A.2

B.32

C.1

D.8.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，M是面BCC1B1A.2 B.3+1 C.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如下所示，则(

)A.f(x)的图象关于直线x=6对称

B.f(x)的图象关于点(π6,0)对称

C.f(x)在区间(−π6,π6)上单调递增

D.

10.掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，则(

)A.事件A与B是独立事件 B.事件B与C是互斥事件

C.事件C与D是对立事件 D.D⊆A∩B11.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.直线AD1与直线DP所成角的大小不变

B.平面PBD1⊥平面A1C1D

C.点P到平面A1C1D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是23，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，各家庭是否回答正确互不影响，则甲、乙、丙三个家庭中恰好有13.已知菱形ABCD的边长为2，且∠BAD=60°，将△ABD沿直线BD翻折为△ABD，记AC的中点为M，当△ACD的面积最大时，三棱锥M−BCD的外接球表面积为______．14.如图所示，为了测量某座山的山顶A到山脚某处B的距离(AB垂直于水平面)，研究人员在距D研究所200m处的观测点C处测得山顶A的仰角为30°，山脚B的俯角为15°.若该研究员还测得B到C处的距离比到D处的距离多80m，且∠BCD=60°，则AB=______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，a+bc=sinC−sinBsinA−sinB．

(1)求△ABC外接圆的周长；

(2)若b=1，求16.(本小题15分)

已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，M是DD1的中点．

(Ⅰ)求证：BD1//平面AMC；

(Ⅱ)求证：AC⊥BD1；

(Ⅲ17.(本小题15分)

某大型连锁超市为了解客户去年在该超市的消费情况，随机抽取了100位客户进行调查、经统计，这100位客户去年到该超市消费金额(单位：万元)均在区间[0.2,1.4]内，按[0.2,0.4]，(0.4,0.6]，(0.6,0.8]，(0.8,1.0]，(1.0,1.2]，(1.2,1.4]分成6组，其频率分布直方图如图所示．

(1)求该频率分布直方图中a的值，并估计这100位客户去年到该超市消费金额的平均数x−；(同一组中的数据以这组数据所在范围的组中值作为代表)

(2)为了解顾客需求，该超市从消费金额在区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]内的客户中，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机抽取2人作为“幸运客户”，求“幸运客户”中恰有1人来自区间(0.4,0.6]的概率．18.(本小题17分)

如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，E为AC的中点，将△ACD沿AC翻折使点D至点D′．

(1)求证：平面BD′E⊥平面ABC；

(2)若三棱锥D′−ABC的体积为223，求二面角D′−AB−C的余弦值．19.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x−1)⋅|x−a|−1，a∈R．

(1)若a=0，解不等式f(x)<1；

(2)若函数f(x)恰有三个零点x1，x2，x3答案解析1..B

【解析】解：由(1+2i)z=|3−4i|⇒z=|3−4i|1+2i=32+(−4)21+2i2..B

【解析】解：c=a−tb=(3,4)−t(1,0)=(3−t,4)，

a⊥c，则有3(3−t)+4×4=0，解得3..D

【解析】解：对于A，∵α/​/β，m/​/α，∴m//β或m⊂β，∴A错误；

对于B，∵m⊂α，n⊂α，m//β，n/​/β，∴α/​/β或α，β相交，∴B错误；

对于C，∵α∩β=l，m⊂α，m⊥l，∴无法得到m⊥β，∴C错误；

对于D，∵m⊥α，m/​/n，∴n⊥α，又α/​/β，∴n⊥β，∴D正确．

故选：D．

4..B

【解析】解：设3只白兔为a1，a2，a3，3只灰兔为b1，b2，b3，

则所有基本事件为：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，5..C

【解析】解：∵x4−1≠0，∴x≠±1，∴f(x)的两条渐近线为x=±1，

∵f(0)=−1，∴排除B、D选项，

又f(12)=−1615<−1=f(0)，而A选项中f(126..B

【解析】解：如图，

过A1作A1E⊥AC，垂足为E，则A1E⊥平面ABCD，

过E作EF⊥AB，垂足为F，连接EF，则EF为A1F在底面上的射影，

∵可得A1F⊥AB．

在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，AB=2A1B1=47..C

【解析】解：在平面CDD1C1中，延长CM交C1D1于P，连接PN，交A1D1于Q，

在△PCC1中，D1M//CC1,D1M=128..B

【解析】解：由正方体的结构特征可知，A1C⊥平面BC1D，

因为M是面BCC1B1内一动点，且DM⊥A1C，

所以点M在线段BC1上运动，

所以动线段DM在△BC1D内运动，

动线段DN在△DCC1内运动，动线段MN在△BCC1内运动，

以△BCC1为基准，将△BC1D和△DCC1翻折使其与△BCC1共面，如图所示：

其中△BC1D翻折至△BC1D2，△DC9..CD

【解析】解：函数f(x)的最小正周期为4(2π3−5π12)=π，则ω=2，

由图象可知，A=2

由2×2π3+φ=2kπ+3π2，解得φ=2kπ+π6,k∈Z，

又0<|φ|<π，则ϕ=π6，则f(x)=2sin(2x+π6)．

由f(6)=2sin(2×6+π6)=2sin(12+π6)≠2，

可得直线x=6不是f(x)的对称轴．故选项A错误；

由f(π6)=2sin(2×π6+π6)=2sinπ2=2≠0，

可得点(π6,0)不是f(x)的对称中心．故选项B错误；

由x∈(−π6,π6)，可得2x∈(−π3,π3)，2x+π6∈(−π6,π2)⊆[−π2,π2]，

则f(x)在区间(−π610..AB

【解析】解：掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，

事件C表示事件“点数不超过3”，事件D表示事件“点数大于4”，

对于A，P(A)=36=12，P(B)=26=13，P(AB)=16，

∵P(AB)=P(A)P(B)，∴事件A与B是独立事件，故A正确；

对于B，事件B与事件C不能同时发生，∴事件B与事件C是互斥事件，故B正确；

对于C，事件C与事件D不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错误；

11..ABC

【解析】解：连接A1D，则由正方体ABCD−A1B1C1D1中，

AD1⊥A1D，AD1⊥CD，A1D∩CD=D，A1D，CD⊂平面ABCD，

可得AD1⊥平面A1B1CD，

又DP⊂平面A1B1CD，则AD1⊥DP，

则直线AD1与直线DP所成角的大小不变．故选项A判断正确；

连接A1C1，C1D，BP，BD1，PD1，

由正方体ABCD−A1B1C1D1中，BD1⊥平面A1C1D，

又BD1⊂平面PBD1，则平面PBD1⊥平面A1C1D，

故选项B判断正确；

由A1D/​/B1C，A1D⊂平面A1C1D，B1C⊄平面A1C112..1330【解析】解：根据题意，设乙家庭回答正确这道题的概率为a，丙家庭回答正确这道题的概率为b，

由于各家庭是否回答正确互不影响，

甲、丙两个家庭都回答错误的概率是115，则(1−23)(1−b)=115，

乙、丙两个家庭都回答正确的概率是35，则ab=35，

解可得：a=34，b=413..6π

【解析】解：根据题意可知A′D=CD=2，如下图所示：

当△A′CD的面积最大时，即S△A′CD=12×AD×CD⋅sin∠A′DC=2sin∠A′DC取得最大值，

可得∠A′DC=90°，

由对称性可知∠A′BC=∠A′DC=90°，

可得AC=22，

又因为M为AC的中点，所以MB=MC=MD=2，又BC=CD=BD=2，

由勾股定理可知棱MB，MC，MD两两垂直，

所以三棱锥M−BCD的外接球半径为：14..280【解析】解：设BD=t，则BC=80+t，

在△BCD中，因为CD=200，∠BCD=60°，

由余弦定理可得：t2=2002+(80+t)2−2×200×(80+t)×12，解得：t=760(m)，

则BD=760(m)，BC=840(m)．

过点C作CE⊥AB，

由题意可得：∠ECB=15°，∠ACE=30°，

则sin∠ECB=sin15°=sin(60°−45°)=sin60°cos45°−cos60°sin45°=32×22−12×15..解：(1)因为a+bc=sinC−sinBsinA−sinB，

由正弦定理得a+bc=c−ba−b，

整理得b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc=12，

且A∈(0,π)，则A=π3．

又因为a=2，由正弦定理得△ABC外接圆的半径r=12×asinA=233，

所以△ABC外接圆的周长为2πr=4【解析】(1)根据题意利用正、余弦定理可得A=π3，再结合正弦定理求外接圆半径；

(2)根据题意利用正弦定理和三角恒等变换求sinC16..(本小题满分14分)

(Ⅰ)证明：在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，连结BD交AC于N，连结MN．

因为ABCD为正方形，所以N为BD中点．…(1分)

在△DBD1中，因为M为DD1中点，

所以BD1//MN.…(2分)

因为MN⊂平面AMC，BD1不包含于平面AMC，…(4分)

所以BD1//平面AMC.…(5分)

(Ⅱ)证明因为ABCD为正方形，

所以AC⊥BD.…(6分)

因为DD1⊥平面ABCD，

所以DD1⊥AC.…(7分)

因为DD1∩BD=D，…(8分)

所以AC⊥平面BDD1.…(9分)

因为BD1⊂平面BDD1，

所以AC⊥BD1.…(10分)

(Ⅲ)解：当λ=12，即点P为线段BB1的中点时，平面A1PC1//平面AMC.…(11分)

因为AA1/​/CC1，且AA1=CC1，

所以四边形【解析】(Ⅰ)连结BD交AC于N，连结MN.由此利用三角形中位线定理能证明BD1//平面AMC．

(Ⅱ)由正方形性质得AC⊥BD，由线面垂直得DD1⊥AC，由此能证明AC⊥BD1．

(Ⅲ)当λ=12，平面A17..解：(1)由题可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，

解得a=0.65，

由频率分布直方图可得x−=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，

因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.732万元；

(2)记“幸运客户中恰有1人来自区间(0.3,0.4]”为事件A，

因为区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]频率之比为2：3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，

故从分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分别记为A1，A2，从分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，分别记为B1，B2B3，

从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，

则样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)，(A1,B3)，【解析】(1)由题得，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，求得a=0.65，再利用平均数公式求解；

(2)先利用分层抽样得到分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，再由古典概型的概率公式求解．

18..(1)证明：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴△ABC和△ACD均为等边三角形，∴△ACD′也为等边三角形，

又E为AC的中点，∴BE⊥AC，D′E⊥AC，

∵BE∩D′E=E，BE、D′E⊂平面BD′E，

∴AC⊥平面BD′E，

∵AC⊂平面ABC，

∴平面BD′E⊥平面ABC．

(2)解：过D′作D′M⊥BE于点M，

∵平面BD′E⊥平面ABC，D′M⊂平面BD′E，

∴D′M⊥平面ABC，

由题意知，△ABC是边长为2