高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.4直线、平面平行的判定及性质(真题测试)(原卷版+解析)

专题8.4直线、平面平行的判定及性质（真题测试）一、单选题1．（山东·高考真题（文））在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行2.（2023·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（）A．假设，，那么B．假设，，，那么C．假设，，那么D．假设，，，，那么3.（2023·全国高考真题（理））设，β为两个平面，则∥β的充要条件是（）A．内有无数条直线与β平行B．内有两条相交直线与β平行C．，β平行于同一条直线D．，β垂直于同一平面4.(2023·北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．(2023·山东省莱西市第一中学高一期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（

）A．若，，，则B．若，，且，，则C．若，，则D．若，，，则6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（）A． B．C． D．7．(2023·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（

）A． B．C． D．8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题9．(2023·湖南省临澧县第一中学二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（

）A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点10.（2023·全国·高三专题练习）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（

）A． B．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC11．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设，β为两个平面，下列选项中是“”的充分条件的是（）A．异面直线a，b满足∥，∥B．α内有两条相交直线与平面β均无交点C．α，β与直线l都垂直D．α内有无数个点到β的距离相等12．(2023·辽宁锦州·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，点P，Q，R分别在棱，，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（

）A．任意点P，都有B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形C．存在点P，使得平面APQRD．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为______．14．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，且，，则；④若，为异面直线，且，，，，则．其中正确命题的序号是______．15．(2023·山西长治·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.16．(2023·陕西·西安中学三模（文））在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．19．（2023·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．20．(2023·全国·高考真题（文））如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．21．(2023·全国·高考真题（文））如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求四面体的体积.22．(2023·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．专题8.4直线、平面平行的判定及性质（真题测试）一、单选题1．（山东·高考真题（文））在空间，下列命题正确的是（）A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D【解析】【详解】试题分析：A选项直线可能平行；B选项平面可能相交；C选项两个平面可能相交；D选项正确.2.（2023·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（）A．假设，，那么B．假设，，，那么C．假设，，那么D．假设，，，，那么答案：C分析：根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D【详解】选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误；选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误；选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误；选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．故选：C3.（2023·全国高考真题（理））设，β为两个平面，则∥β的充要条件是（）A．内有无数条直线与β平行B．内有两条相交直线与β平行C．，β平行于同一条直线D．，β垂直于同一平面答案：B【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．4.(2023·北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．5．(2023·山东省莱西市第一中学高一期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（

）A．若，，，则B．若，，且，，则C．若，，则D．若，，，则答案：D【解析】分析：根据线面垂直与面面垂直的性质和判断定理逐项分析即可求出结果.【详解】对于A：若，，,与可能平行，也可能异面故，故A错误.对于B：若，，且，，当时，平面与可能平行，也可能相交，故B错误.对于C：若，，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误.对于D：若，，，则，故D正确.故选：D.6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，则，所以，，因为平面，平面，所以，平面；对于B选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，所以，，，因为平面，平面，所以，平面；对于C选项，连接，如下图所示：因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，所以，，，因为平面，平面，所以，平面；对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，因为、分别为、的中点，则，若平面，平面，平面平面，则，在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行.故选：D.7．(2023·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】分析：利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.【详解】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；对于B选项，如下图所示，连接，因为、分别为、的中点，则，在正方体中，且，故四边形为平行四边形，所以，，，平面，平面，平面，同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；对于C选项，如下图所示：在正方体中，若平面平面，且平面平面，则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，因此，平面与平面不平行，C不满足条件；对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：因为且，则四边形为平行四边形，则，平面，平面，所以，平面，同理可证平面，，所以，平面平面，若平面平面，则平面平面，这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.故选：B.8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：过作平面与平面平行，则在平面与平面的交线上，即可求出.【详解】如图，取中点，中点，连接，所以，正方体中，易得，所以，因为平面，平面，所以平面，因为为中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，所以平面平面，因为平面，所以平面，又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，可得,则当在中点时，取得最小值为，当在两端时，取得最大值为，所以长度的取值范围是.故选：D.二、多选题9．(2023·湖南省临澧县第一中学二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（

）A．F为的中点 B．F为的中点 C．F为的中点 D．F为的中点答案：ACD【解析】分析：取棱的中点，说明与共面，证明平面平面，即可得．【详解】如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，故选：ACD．10.（2023·全国·高三专题练习）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（

）A． B．DE∥平面ABFGC．平面BDE∥平面AFH D．BE∥平面DGC答案：BC【解析】分析：还原为原正方体如图，结合异面直线的定义判断A；利用线面平行的判定定理判断B、D；利用面面平行的判定定理判断C.【详解】还原为原正方体如图所示，由图可知，与异面，故A错误；因为，平面，所以平面，故B正确；因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，而，平面，所以平面平面，故C正确；因为，与平面相交，所以与平面相交，故D错误.故选：BC.11．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设，β为两个平面，下列选项中是“”的充分条件的是（）A．异面直线a，b满足∥，∥B．α内有两条相交直线与平面β均无交点C．α，β与直线l都垂直D．α内有无数个点到β的距离相等答案：BC【解析】分析：AD选项可举出反例，BC选项可以通过，面面平行的判定及线面垂直的性质进行证明.【详解】A选项，如图，直线BC为a，直线EF为b，平面ADHE为，平面CDHG为β，满足∥，∥，而，β为相交平面，A错误；B选项，设α内两条相交直线为均与平面β无交点，即∥β，n∥β，又，且为相交直线，故α∥β，B正确；C选项，α，β与直线l都垂直，不妨设l与α内有两条相交直线均垂直，则在平面β内存在相交直线与l都垂直，且m∥a，n∥b，因为α，所以m∥α，同理可知n∥α，由于为相交直线，故可知α∥β，C正确；D选项，α内有无数个点到β的距离相等，这无数个点可能来自于同一条直线，此时不能推导出α∥β，D错误.故选：BC12．(2023·辽宁锦州·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，点P，Q，R分别在棱，，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（

）A．任意点P，都有B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形C．存在点P，使得平面APQRD．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形答案：AC【解析】分析：根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.【详解】对于A：由直四棱柱，，所以平面平面，又因为平面平面，平面平面，所以，故A正确；对于B：若四边形为平行四边形，则，而与不平行，即平面与平面不平行，所以平面平面，平面平面，直线与直线不平行，与矛盾，所以四边形不可能是平行四边形，故B不正确；对于C：当时，为时，满足平面，故C正确.对于D：假设存在点，使得为等腰直角三角形，令，过点作，则，在线段上取一点使得，连接，则四边形为矩形，所以，则，，显然，若由，则且四边形为平行四边，所以，无解，故D错误；故选：AC.三、填空题13．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为______．答案：4【解析】分析：根据线面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可.【详解】设的中点分别为，连接，根据三角形中位线定理，可得：，，所以有，因此四边形是平行四边形，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，因此平行四边形的周长为，故答案为：14．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，且，，则；④若，为异面直线，且，，，，则．其中正确命题的序号是______．答案：②④【解析】分析：作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①；根据线面垂直的性质定理可以判断②；根据面面平行的判定定理可以判断③④.【详解】如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误；垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确；一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误；如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确.故答案为：②④.15．(2023·山西长治·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.答案：【解析】分析：由线面平行的性质可得、且、，易得为平行四边形，结合有为矩形，进而设，由已知求、关于的表达式，即可得面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可.【详解】由题设，面，又面，面面，所以，同理可证，故，又面，又面，面面，所以，同理可证，故，故为平行四边形，又，即，则为矩形，若，则，又，所以，，又面积为，所以，故当时.故答案为：.16．(2023·陕西·西安中学三模（文））在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.答案：【解析】分析：作出过点平行于平面的平面与平面的交线，确定动点P的位置，再借助三角形计算作答.【详解】在正方体中，取的中点M，N，连，如图，因点E、F分别是棱BC，的中点，则，平面，平面，则有平面，显然为矩形，有，，即有为平行四边形，则，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面AEF，则有平面，又点P在平面，平面平面，从而得点P在线段MN上（不含端点），在中，，，等腰底边MN上高，于是得，所以线段长度的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.四、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明答案：G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面，证明见解析【解析】分析：根据平行四边形可可得线线平行，由线线平行可证明线面平行，进而可证明面面平行.确定点的位置.【详解】证明：如图所示：取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．证明：连接DE．因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，所以，且，则四边形是平行四边形，故．又平面，平面所以平面．因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，则且，四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．又平面，平面，，所以平面平面．18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面平面．答案：(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】分析：（1）连接交于点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.（1）证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.（2）证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.19．（2023·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：（1）当时，；（2）点在平面内．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.【详解】（1）因为长方体,所以平面,因为长方体,所以四边形为正方形因为平面,因此平面,因为平面,所以；（2）在上取点使得,连,因为,所以所以四边形为平行四边形，因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形，，所以四点共面，因此在平面内20．(2023·全国·高考真题（文））如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.【解析】【详解】试题分析：证明由可得是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面体的体积试题解析：（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以因为在平面内的正投影为，所以所以平面，故又由已知可得，，从而是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故由题设可得平面，平面，所以，因此由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得所以四面体的体积21．(2023·全国·高考真题（文））如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点