高考数学大题精做专题01三角函数中的性质问题(原卷版+解析)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题01三角函数的性质问题类型对应典例难度等级求三角函数的单调区间典例1☆求三角函数的最值、值域典例2☆☆已知三角函数的最值求参数范围典例3☆☆☆求三角函数的定义域典例4☆判断三角函数的奇偶性典例5☆☆求解三角函数的零点典例6☆☆☆求解三角函数的周期典例7☆☆三角函数的性质与不等式相结合典例8☆☆☆【典例1】【江西省赣州市南康中学2019-2020学年12月月考】已知函数（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值【题后反思】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．【典例2】【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数（1）求函数的最小正周期;（2）求函数在区间上的最小值和最大值.分析：（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成的形式，即可求出函数的最小正周期.（2）由，求出，再根据的单调性可求出函数的最大最小值．【题后反思】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．【典例3】【北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.分析：（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间；（Ⅱ）由，，结合题意得出，即可求出实数的最小值.【典例4】已知函数；（1）求的定义域与最小正周期；（2）求在区间上的单调性与最值.【典例5】【2019年浙江省高考数学试卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.【典例6】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科)试题】已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可；（Ⅱ）根据零点求出的根，利用作差法进行求解即可.【题后反思】本题主要考查三角函数的图象和性质.利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，利用三角函数值的关系是解决本题的关键.【典例7】【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】已知函数其中.（1）若函数的最小正周期为，求的值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.分析：(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据周期公式求出的值；(2)利用求出，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【典例8】【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）对于任意都有恒成立，求的取值范围．分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）的单调递增区间；（3）原问题等价于的最大值小于零.【针对训练】1.【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．2.【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】已知函数，.（1）若是第二象限角，且，求的值；（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.3.【陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2019-2020学年高三上学期第一次联考】已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当，且时，的值域是，求，的值.4.【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)试题】已知函数．求的值；求的最小正周期及单调增区间．5.【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学（文)试题】已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值.6.设函数的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求方程的解集．7.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.8.【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试理科数学试题】设函数．（1）若点是图象的一个对称中心，求；（2）当时，取得最小值，求．9.【陕西省西安市2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题】已知函数，且.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷)】已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第一篇三角函数与解三角形专题01三角函数的性质问题类型对应典例难度等级求三角函数的单调区间典例1☆求三角函数的最值、值域典例2☆☆已知三角函数的最值求参数范围典例3☆☆☆求三角函数的定义域典例4☆判断三角函数的奇偶性典例5☆☆求解三角函数的零点典例6☆☆☆求解三角函数的周期典例7☆☆三角函数的性质与不等式相结合典例8☆☆☆【典例1】【江西省赣州市南康中学2019-2020学年12月月考】已知函数（1）求函数的最小正周期T和单调递增区间；（2）若，且关于x的函数的最小值为，求的值答案：解：（1）则函数的周期，函数的增区间.（2）令可得换元可得，对称轴为【题后反思】本题考查函数的周期性，考查换元法与二次函数的性质，考查正弦函数的性质，解题时注意换元后一定要求得新元的取值范围，否则会得出错误的解．【典例2】【北京市西城区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数（1）求函数的最小正周期;（2）求函数在区间上的最小值和最大值.分析：（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成的形式，即可求出函数的最小正周期.（2）由，求出，再根据的单调性可求出函数的最大最小值．【解析】（1）因为所以函数的最小正周期为．（2）因为，所以，而在上单调递减，在上单调递增，而，所以当，即时，取得最小值，当，即时，取得最大值．【题后反思】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．【典例3】【北京市海淀区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数.（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.分析：（Ⅰ）利用二倍角的降幂公式以及辅助角公式将函数的解析式变形为，然后解不等式，即可得出函数的单调递增区间；（Ⅱ）由，，结合题意得出，即可求出实数的最小值.【解析】（Ⅰ），因为的单调递增区间为，令，得.所以函数的单调递增区间为；（Ⅱ）因为，所以.又因为，的最大值为，所以，解得，所以的最小值为.【典例4】已知函数；（1）求的定义域与最小正周期；（2）求在区间上的单调性与最值.【解析】；（1）的定义域：，最小正周期；（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：.【典例5】【2019年浙江省高考数学试卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域.【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：，函数为偶函数，则当时，，即，结合可取，相应的值为.(2)由函数的解析式可得：.据此可得函数的值域为：.【典例6】【北京市首都师范大学附属中学2019届高三一模数学（理科)试题】已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）已知，是函数的两个零点，求的最小值.分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函数的单调性进行求解即可；（Ⅱ）根据零点求出的根，利用作差法进行求解即可.【解析】（Ⅰ）则函数的最小正周期由，，得，即函数的单调递增区间为，（Ⅱ），是函数的两个零点由得则由得…①，…②则②①得即，则，则当时，取得最小值，最小值为【题后反思】本题主要考查三角函数的图象和性质.利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，利用三角函数值的关系是解决本题的关键.【典例7】【2020届北京市昌平区高三上学期期末数学试题】已知函数其中.（1）若函数的最小正周期为，求的值；（2）若函数在区间上的最大值为，求的取值范围.分析：(1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据周期公式求出的值；(2)利用求出，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【解析】（1）因为.因为的最小正周期为，即所以.（2）因为，所以.若在区间上取到最大值，只需，所以.【典例8】【北京市朝阳区2019-2020学年高三上学期期末数学试题】已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）对于任意都有恒成立，求的取值范围．分析：（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f（x）的最小正周期T；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f（x）的单调递增区间；（3）原问题等价于的最大值小于零.【解析】（1）因为，.所以的最小正周期．（2）由（1）知．又函数的单调递增区间为(Z)．由，，得，．所以的单调递增区间为.（3）因为，所以.所以.所以.当，即时，的最大值为，又因为对于任意恒成立，所以，即.所以的取值范围是.【针对训练】1.【2020届重庆市北碚区高三上学期第一次诊断性考试数学试题】已知函数（1）求函数的单调增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位后得到函数的图象，当时，求函数的值域．答案：解：．（1）由，，解得，．∴函数的单调增区间为，；（2）将函数的图象向左平移个单位，得，再向下平移1个单位后得到函数，由，得，∴，则函数的值域为2.【内蒙古呼和浩特市2019-2020学年高三上学期质量普查调研】已知函数，.（1）若是第二象限角，且，求的值；（2）求的最大值，及最大值对应的的取值.答案：解：（1），，则，则，∵是第二象限角，∴，∴.（2）.当时，取得最大值3，此时，即.3.【陕西省宝鸡中学、西安三中等五校2019-2020学年高三上学期第一次联考】已知函数.（1）当时，求的单调递增区间；（2）当，且时，的值域是，求，的值.分析：（1）当时，利用降幂公式，和辅助角公式化简函数，再求函数的单调递增区间；（2）类似于（1）的化简，先求的范围，再求的范围，再用表示函数的最值，列方程组求解.【解析】（1）当时，.由得：，所以的单调递增区间为；（2）因为，，所以，，又的值域是，所以，.4.【2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)试题】已知函数．求的值；求的最小正周期及单调增区间．【解析】1因为，所以；（2）的最小正周期．令，解得，所以的单调增区间为．5.【湖南省邵阳市2019-2020学年高三第一次联考数学（文)试题】已知函数.（1）求的单调递减区间；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值.【解析】（1）由题意知：化简得：当单调递减时，解得：即函数的单调递减区间为.（2）当在区间上的最小值为时，存在，使得，即，解得：，则时，存在.6.设函数的最小正周期为．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求方程的解集．答案：解：由已知，得故（1）令，解得：，的单调递增区间为，；（2），，，或，即或，所以方程的解集为7.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及其单调增区间;（Ⅱ）当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.答案：解析：（Ⅰ）因为函数的定义域为,所以的递增区间为（Ⅱ）因为,所以当时,所以恒成立,即恒成立,①当时,显然成立;②当时,若对于恒成立,只需成立,所以,综上,的取值范围是8.【辽宁省丹东市2019-2020学年高三总复习阶段测试理科数学试题】设函数．（1）若点是图象的一个对称中心，求；（2）当时，取得最小值，求．【解析】（1），是图象的一个对称中心，，，可得，，（2）由题意可得，，，①时，取得最小值，时，取得极小值，故，，，②①②联立可得，，9.【陕西省西安市2019-2020学年高三上学期11月月考数学试题】已知函数，且.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.分析：（1）由,可求出的值,进而可求得的解析式;（2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出