安徽省合肥市2024-2025学年高一数学上学期12月月考试卷含解析

Page11考试时间：70分钟满分：100分姓名：______分数：______一、单选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）1.下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（）A.（） B.C.（） D.（）【答案】C【解析】【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个推断即可.【详解】A中，（），故A错误；B中，，故B错误；C中，（），故C正确；D中，（），故D错误．故选：C．2.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据开偶次方根被开方数非负及对数真数大于零确定函数定义域.【详解】由得，所以函数的定义域为.故选:B【点睛】此题为基础题，考查函数定义域的求法.3.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的定义域解除C，由函数的奇偶性解除D，由特别的函数值解除B，结合奇偶性和单调性推断A.【详解】由得，则函数的定义域为，解除选项C；又，所以为偶函数，则图象关于y轴对称，解除选项D；当时，，解除选项B，因为为偶函数，且当时，函数单调递减，选项A中图象符合.故选：A4.已知，，，则下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】由函数的单调性可得.再由的单调性可得.从而可得选项.【详解】因为在R上递减，且，所以.又因为在R上递增，且，所以.所以.故选：D.【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用之比较指数式的大小，属于中档题.5.若是方程的实数解，则属于区间（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】令，首先推断函数的单调性，再依据零点存在性定理推断即可.【详解】令，则在定义域上单调递增，又，，，，所以，所以在上存在唯一零点，即存在使得.故选：C6.已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解，转化为函数与图象由四个交点，由函数函数可知，当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；当时，函数为单调递减函数，；当时，函数为单调递增函数，；结合图象，可知实数的取值范围为.故选：A二、多选题（本大题共2小题，每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）7.己知是定义在奇函数，且时，，则下列结论正确的是（）A.增区间为和 B.有3个根C.的解集为 D.时，【答案】ABC【解析】【分析】依据函数的奇偶性结合条件可得函数的解析式推断D，解方程可推断B，依据二次函数的性质可推断A，解不等式可推断C.【详解】由是定义在的奇函数知，当时，，所以，D错误；由上可知，由可得或或，故B正确；由，时，的对称轴为，时，的对称轴为，结合二次函数的性质知在和上均单调递增，故A正确；由，可得或，解得或，故C正确．故选：ABC．8.给出下列结论，其中不正确的结论是（）A.函数的最大值为B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是C.函数的定义域为，则函数的定义域为D.若函数的值域为，则实数的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】先推断指数型复合函数的单调性，然后依据单调性求解最值推断A，依据对数型复合函数的单调性及真数大于0列出不等式求解推断B，利用抽象函数的定义域求法求解推断C，设函数的值域为，依据对数函数定义域和值域的关系，可得，探讨的取值，结合二次函数的性质，即可推断D.【详解】对于A，令函数，则该函数在上单调递增，在上单调递减，因为减函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，有最小值，无最大值，错误；对于B，令，由知，函数单调递减，由函数（，且）区间上单调递减，则单调递增且，所以，解得，所以的取值范围是，错误；对于C，因为函数的定义域为，所以在中，解得，所以函数的定义域为，错误；对于D，设函数的值域为，因为的值域为，所以.当时，的值域为，符合题意.当时，由，解得.综上，的取值范围为.正确.故选：ABC三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9.已知，，则______.（用、表示）【答案】【解析】【分析】利用对数运算的法则和换底公式求解即可.【详解】因为，则，又，所以.故答案为：10.现定义一种运算“”；对随意实数，，设，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题意得出函数，作出函数的图象如图所示，若函数的图象与轴恰有二个公共点，则方程即恰有二个不同实根，则或或，所以的取值范围是，故答案应填.考点：1、分段函数；2、函数的零点.【思路点睛】本题是一个新定义下的分段函数以及函数零点方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先依据题意得到函数的表达式，即，并作出函数的图象，然后再作出直线的图象，这时只需二图象恰有两个公共点即可，从而可求出实数的取值范围，问题得到解决.四、解答题（本大题共4小题，共50分，第11题10分，第12题12分，其余2题各14分，解答题应写出文字说明、解答过程或演算步骤）11.（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）1【解析】【分析】利用分数指数幂运算法则和对数运算性质即可计算的出（1）（2）的结果.【详解】（1）原式（2）原式12.已知函数.（1）求的定义域；（2）推断的奇偶性并予以证明；（3）求不等式的解集.【答案】（1）（2）奇函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）依据对数函数的性质进行求解即可；（2）依据函数奇偶性的定义进行推断和证明；（3）依据对数函数的单调性进行求解．【小问1详解】要使函数有意义,则，解得，故所求函数的定义域为；【小问2详解】证明：由（1）知的定义域为，设，则,且，故为奇函数；【小问3详解】因为，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．13.已知定义域为的函数是奇函数.（1）求实数的值.（2）试推断的单调性，并用定义证明.（3）解不等式.【答案】13.14.函数在R上为减函数，证明见解析15.【解析】【分析】（1）依据奇函数的性质求解即可；（2）先推断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；（3）先利用奇偶性将不等式化为，再依据单调性解不等式即可.【小问1详解】若函数为奇函数，则，又，则，所以，所以，解得；【小问2详解】，则函数在R上为减函数，证明如下：设，则，因为，所以，即，且，，所以，即，所以函数在上为减函数.【小问3详解】不等式，即，又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，即，解得.所以不等式的解集为.14.塑料袋给我们生活带来了便利，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大的危害，国家发改委､生态环境部等9部门联合印发《关于扎实推动塑料污染治理工作的通知》明确指出，2024年1月1日起，将禁用不行降解的塑料袋､塑料餐具及一次性塑料吸管等.某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为为初始量，为光解系数（与光照强度､湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数，已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.（参考数据：）（1）塑料自然降解，残留量为初始量的，大约须要多久？（2）为了缩短降解时间，该塑料改进工艺，变更了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的，则残留量不足初始量的