备考2025届高考数学一轮复习好题精练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题命题点2定值问题_第1页
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命题点2定值问题例2已知抛物线C：y2＝2px经过点P（1，2）.过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.（1）求直线l的斜率的取值范围；（2）设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：1λ＋1μ解析（1）因为抛物线y2＝2px过点（1，2），所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1（k≠0）.由y2=4x，y＝kx+1得k2x2＋（2k依题意，得Δ＝（2k－4）2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，－2）.从而k≠－3.所以直线l的斜率的取值范围是（－∞，－3）∪（－3，0）∪（0，1）.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）.由（1）知x1＋x2＝－2k－4k2，x1直线PA的方程为y－2＝y1－2x1－令x＝0，得点M的纵坐标为yM＝－y1+2x1－同理得点N的纵坐标为yN＝－kx由QM＝λQO，QN＝μQO得λ＝1－yM，μ＝1－yN.所以1λ＋1μ＝1＝x1－＝1k－＝1k－＝2.所以1λ＋1μ方法技巧圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法1.特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.2.两大解法（1）从特别入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.（2）引进变量法，其解题流程为：训练2[2024武汉市四月调研]过点（4，2）的动直线l与双曲线E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，当l与x轴平行时，｜MN｜＝42，当l与y轴平行时，｜（1）求双曲线E的标准方程；（2）点P是直线y＝x＋1上确定点，设直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，若k1k2为定值，求点P的坐标.解析（1）依据双曲线的对称性，可知双曲线E过点（±22，2）和点（4，±23），所以8a2故双曲线E的标准方程为x24－y（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－4）＋2，与双曲线方程联立得y＝k（x－4）+2，x24－y24=1，消去y，得（k2－1）x2－（8k2－4设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1＋x2＝8k2－4kk2－设P（t，t＋1），则k1k2＝（＝（＝k＝k＝（t当t＝4时，不满意k1k2为定值.当t≠4时，若k1k2为定值，则t2+2t－11（t－4）2＝－8（t－1）4（t－

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