苏教版八年级数学下册重难点专题提优训练专题03矩形、菱形、正方形的性质与判定(原卷版+解析)

专题03矩形、菱形、正方形的性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用矩形的性质求角度】 1【考点二利用矩形的性质求线段长】 3【考点三矩形的性质与判定综合问题】 6【考点四利用菱形的性质求角度】 10【考点五利用菱形的性质求线段长】 12【考点六菱形的性质与判定综合问题】 15【考点七利用正方形的性质求角度】 19【考点八利用正方形的性质求线段长】 20【考点九正方形的性质与判定综合问题】 25【过关检测】 29【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．【考点二利用矩形的性质求线段长】例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．【考点四利用菱形的性质求角度】例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【变式训练】1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．【考点五利用菱形的性质求线段长】例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为_____．3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【考点六菱形的性质与判定综合问题】例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；【变式训练】1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．【考点七利用正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【变式训练】1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．【考点八利用正方形的性质求线段长】例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．【变式训练】1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．(1)若正方形的边长为，且，求的长；(2)求证：．【变式训练】1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．(1)求证：四边形是正方形；(2)求的长．2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．(2)如图2，连接．若．①当点E是的中点时，____________；②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（

）A．10 B． C． D．55．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④二、填空题6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为____．10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．三、解答题11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是矩形．12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．(1)求证：；(2)若，求的长．13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：(1)四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；(2)当________°时，四边形为正方形．15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．(1)当时，求证：四边形为菱形；(2)当______时，则四边形为矩形．16．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．(1)求证：四边形是矩形；(2)①若，，则四边形的面积＝．②若，则时，四边形是正方形．17．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，矩形中，，，点P从点A出发沿AB向点B移动（不与点A，B重合），一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿向点D移动（不与点C，D重合）．运动时间设为t秒．(1)若点P，Q均以的速度移动，则___________；___________．（用含t的代数式表示）(2)在（1）的条件下，t为何值时，P，Q间的距离为？(3)若点P为的速度移动，点Q以的速度移动，经过多长时间，使为等腰三角形？(4)若点P，Q均以的速度移动，经过多长时间，四边形为菱形？18．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，为锐角，．动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒．(1)点P在上运动时，______；点P在上运动时，______．（用含t的代数式表示）(2)点P在上，∥时，求t的值．(3)当直线平分的面积时，求t的值．(4)若点Q的运动速度改变为每秒a个单位．当，的某两个顶点与P、Q所围成的四边形为菱形时，直接写出a的值．专题03矩形、菱形、正方形的性质与判定【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一利用矩形的性质求角度】 1【考点二利用矩形的性质求线段长】 3【考点三矩形的性质与判定综合问题】 6【考点四利用菱形的性质求角度】 10【考点五利用菱形的性质求线段长】 12【考点六菱形的性质与判定综合问题】 15【考点七利用正方形的性质求角度】 19【考点八利用正方形的性质求线段长】 20【考点九正方形的性质与判定综合问题】 25【过关检测】 29【典型例题】【考点一利用矩形的性质求角度】例题：（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，过点O作，交于点E，若，则的大小为__________．【答案】##50度【分析】根据矩形的性质，得到，利用三角形外角求出，利用垂直可求出结果．【详解】∵四边形是矩形，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质；灵活运用矩形的性质求解是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）在矩形中，作的平分线交直线于点E，则是____________度．【答案】45或135【分析】根据题意分当的平分线交线段于点E和当的平分线交线段外于点E，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵平分，∴，由题意可分：①当的平分线交线段于点E，如图所示：∴；②当的平分线交线段外于点E，如图所示：∴；综上所述：或；故答案为45或135．【点睛】本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．2．（2022秋·江苏常州·九年级校考期中）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交的延长线于点．连接、．(1)求证：；(2)当四边形是矩形时，若，求的度数．【答案】(1)见详解(2)【分析】（1）根据平行四边形性质得出，推出，再由即可得出结论；（2）根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵点是的中点，∴，在和中，，∴；（2）解：∵四边形是矩形，∴，，，∴，∴，∵，∴，∵四边形为平行四边形，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质、证明是解题的关键．【考点二利用矩形的性质求线段长】例题：（2023秋·陕西西安·九年级陕西师大附中统考期末）如图，矩形的对角线与相交于点，，，则的值为______．【答案】6【分析】利用矩形的对角线平分且相等来进行计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，在中，，，，，．故答案为：6．【点睛】本题考查的是矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，四边形是矩形，点在线段的延长线上，连接交于点，，点是的中点，若，，则的长为______．【答案】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角的性质可得，再结合两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，从而得到，再利用等角对等边的性质得到，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【详解】解：四边形是矩形，，，点是的中点，，，∵，，，，，，在中，，．．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出是解题的关键．2．（2021春·重庆巴南·九年级校考期中）如图，在矩形中，是对角线，、分别平分、，交边、于点、．(1)若，，求的长．(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）由已知可求得的长及，由勾股定理求得的长，再由含30度角直角三角形的性质即可求得结果；（2）由矩形的性质及角平分线的意义易得，从而问题解决．【详解】（1）解：四边形是矩形，，，，；平分，，，∴；由勾股定理得，；（2）证明：四边形是矩形，，，，，、分别平分、，，，，，．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识，灵活运用这些知识是关键．【考点三矩形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，，平分交于点D，分别过点A、D作、，与相交于点E，连接．(1)求证：；(2)求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据、证明四边形为平行四边形，即可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出，，得出，，先证出四边形是平行四边形．再证明四边形是矩形即可．【详解】（1）证明：∵、，∴四边形是平行四边形，∴；（2）证明：∵，平分，∴，，∵，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，由等腰三角形的性质得出，，是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级校考期末）如图，将的边延长到点E，使，连接交边于点F．(1)求证：；(2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)矩形，见解析【分析】（1）先根据平行四边形的性质得出，，再由得出，根据平行线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质定理进而可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得，，，再由，可得，进而可判定四边形是平行四边形，然后再证明即可得到四边形是矩形．【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∵，．∵，∴．∵，∴，，在与中，，∴（ASA）；∴，，在与中，∴（SAS）；（2）四边形是矩形，理由：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．【点睛】此题主要考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．2．（2022秋·吉林长春·九年级长春市解放大路学校校考期末）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，，．(1)求证：四边形是矩形；(2)连接，若，，平分，则平行四边形的面积为______．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据已知条件先证明四边形为平行四边形，再根据即可得证；（2）由平分，可求得，在中，，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求得，再求出，由已知进而即可求得即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵，∴，即，∵，，四边形为平行四边形，又∵，∴平行四边形是矩形．（2）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，在中，，，，∴∴，∴，∴，∴，故答案为；．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，熟练以上知识点是解题的关键．【考点四利用菱形的性质求角度】例题：（2021·四川眉山·校考模拟预测）如图，菱形中，已知，则的大小是____________．【答案】##140度【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．【详解】解：∵菱形中，，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质．熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江西九江·九年级统考期末）如图，在菱形中，交对角线于点E，若，，则________．【答案】3【分析】利用含30角的直角三角形的性质求出，利用等角对等边求出，即可解决问题．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，，，，，在中，，，，故答案为：3．【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等，解题的关键是综合运用上述知识解决问题．2．（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）如图，在菱形中，与相交于点，的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为______．【答案】【分析】根据菱形的性质，得到，，再根据垂直平分线性质，得到，从而得到，最后利用三角形外角性质即可求出的度数．【详解】解：连接，四边形是菱形，，，，，，垂直平分，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握菱形的基本性质是解题关键．【考点五利用菱形的性质求线段长】例题：（2021春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，菱形的周长是16，，则对角线的长是_____________．【答案】4【分析】由于四边形是菱形，是对角线，根据，而，易证是等边三角形，从而可求的长．【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵菱形的周长是16，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明是等边三角形．【变式训练】1．（2022秋·山东青岛·九年级统考期末）如图，在菱形中，，，是中点，交于点，连接，则的长为______．【答案】【分析】连接，则为等边三角形，利用等边三角形的性质，可得出的长，由，可得出，进而可求出的长．【详解】解：连接，则为等边三角形，如图所示．是中点，，，，．又，，，即：，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质，找出为等边三角形是解题的关键．2．（2022秋·辽宁辽阳·九年级辽阳市第一中学校考阶段练习）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点O，E为中点，F为中点，连接，则的长为_____．【答案】【分析】取的中点H，连接，根据菱形的性质可得，从而得到，进而得到，再由勾股定理，即可求解．【详解】解：如图，取的中点H，连接，∵四边形是菱形，，∴，∴，∵点H是的中点，点F是的中点，∴，∴，∵点E是的中点，点H是的中点，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．3．（2022秋·陕西榆林·九年级校考期末）如图，已知四边形是菱形，且于点，于点．(1)求证：；(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质，得，；根据于点，于点，则，即可；（2）根据菱形的性质，得，根据，，勾股定理，求出，即可求出菱形的面积．【详解】（1）证明，如下：∵四边形是菱形，∴，，∵于点，于点，∴，∴，∴．（2）∵四边形是菱形，∴，∵，，∴，∴，∴菱形的面积为：．【点睛】本题考查菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，勾股定理，全等三角形的知识．【考点六菱形的性质与判定综合问题】例题：（2022春·甘肃平凉·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，对角线、交于点，平分，过点作，交的延长线于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求的长；【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）先证明得到进而证明四边形是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）先根据菱形的性质和勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可．【详解】（1）证明：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；（2）解：∵四边形是菱形，∴，∴在中，由勾股定理得，∴，∵，点O为的中点，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．【变式训练】1．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）如图，平行四边形ABCD的对角线，相交于点O，且，，．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行四边形的性质和菱形的判定证明即可；（2）由菱形的性质可得，，，可求，，即可得出答案．【详解】（1）解：证明：，，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，．，平行四边形是矩形，．．平行四边形是菱形（2）由（1）得：四边形是矩形，四边形是菱形，，，，，，．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质等知识；灵活运用有关性质是解题的关键．2．（2022秋·河南郑州·九年级校考期末）如图，平行四边形中，，，，点是的中点，点是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)①直接写出：当______时，四边形是菱形（不需要说明理由）；②当______时，四边形是矩形，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)①4；②7，理由见解析．【分析】（1）证明，推出，根据平行四边形的判定即可得出结论；（2）①当四边形是菱形时，证明是等边三角形，可得，进而可得的长度；②过A作于M，求出，可得，然后证明四边形是矩形，即可得到的长度．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵G是的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形；（2）解：①当时，四边形是菱形，理由：∵，，，∴，，，当四边形是菱形时，有，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：4；②当时，四边形是矩形，理由：过A作于M，∵，，∴，∴，当四边形是矩形时，有，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，故答案为：7．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，矩形的判定和性质等知识，注意：菱形的四条边都相等，矩形的四个角都是直角．【考点七利用正方形的性质求角度】例题：（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在正方形中，点为边上一点，与交于点．若，则的大小为______度．【答案】65【分析】由三角形的外角性质可知：要求，只要求，由正方形的轴对称性质可知：，即可求出．【详解】解：四边形是正方形，具有关于对角线所在直线对称的对称性，，，，又是的外角，，故答案为：65．【点睛】本题综合考查正方形的对称性质和三角形外角性质，解题关键是利用正方形的对称性快速得出结论．【变式训练】1．（2021秋·山西太原·九年级太原市外国语学校校考阶段练习）如图，正方形中，，则_____．【答案】##度【分析】根据正方形的性质得出，根据已知条件可得，进而根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，掌握正方形的性质是解题的关键．2．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，四边形ABCD是正方形，以BC为边在正方形内部作等边，连接PA，则__________．【答案】【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出是等腰三角形，从而求出的度数，进而求出的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，是等边三角形，∴，，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质，利用等边对等角求角的度数，是解题的关键．【考点八利用正方形的性质求线段长】例题：（2021春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在正方形中，是对角线上一点，过点作，交于点，，，则___________．【答案】【分析】作出如图的辅助线，证明，推出，，再证明，可推出为等腰直角三角形，求得长，设，由勾股定理建立方程即可求的长．【详解】解：连接、，过点E作于点M，如图所示，∵四边形为正方形，∴，，，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∵，，∴，∵，即，∴，设，在中，，∴，解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．【答案】【分析】延长、交、于、，由正方形的性质，得到，再由等腰三角形的性质及正方形的性质得到，，由勾股定理即可得出结论．【详解】解：如图，延长、交、于、．四边形为正方形，，，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理．求出，的长是解答本题的关键．2．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛第七中学校考开学考试）如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转90°到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为______．【答案】【分析】连接，根据垂直平分，即可得出，设，则，，再根据中，，即可得到的长．【详解】解：如图所示，连接，由旋转可得，，∴，，又∵，∴H为的中点，∴垂直平分，∴，设，则，，∴，∵，∴中，，即，解得，∴的长为，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3．（2022秋·四川内江·九年级校考期中）如图，正方形的边长为4，点E是的中点，平分交于点F，将绕点A顺时针旋转得，求的长．【答案】的长为．【分析】利用勾股定理计算出，再根据旋转的性质得到，，，，于是可判断点G在的延长线上，接着证明平分得到，然后计算就可得到的长．【详解】解：∵正方形的边长为4，点E是的中点，∴，∴，∵将绕点A顺时针旋转得，∴，，，，而，∴点G在的延长线上，∵平分交于点F，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理．【考点九正方形的性质与判定综合问题】例题：（2022秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图所示，在正方形的边的延长线上取点，连接，在上取点，使得，连接，过点作，交于点．(1)若正方形的边长为，且，求的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【分析】由正方形的边长为，在中，由，即可求得的长，然后由勾股定理求得的长，又由，即可求得的长；先在上截取，然后证得≌，由全等三角形的对应角相等、同角的余角相等，即可求得，进而得出．（1）解：四边形是正方形，且边长为，，，在中，，，，，；（2）证明：在上截取，连接，，，，，，在和中，，≌，，，

，，，，，，，，．【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解题时注意掌握辅助线的作法，构造全等三角形是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）如图，点是正方形内部的一点，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，，的延长线相交于点E.若正方形的边长为10，．(1)求证：四边形是正方形；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)的长是14．【分析】（1）由，得，由旋转得，，即可证明四边形是正方形；（2）根据勾股定理列方程，求得符合题意的的值，即可求得的长为14．【详解】（1）证明：∵，∴由旋转得，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形；（2）解：∵正方形的边长为10，，∴，∵，∴，∵，∴，解得或（不符合题意，舍去），∴，，∴，∴BE的长是14．【点睛】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用等知识与方法，正确理解和运用旋转的性质是解题的关键．2．（2022春·四川泸州·八年级统考期末）如图，点E是正方形的边上不同于C，D的任意一点，延长至点F，使．分别过点E，F作的垂线，相交于点G．(1)如图1，连接，、与有何关系？请说明理由．(2)如图2，连接．若．①当点E是的中点时，____________；②当点E不是的中点时，的值与①相比，有变化吗？请说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)①；②不变化，理由见解析【分析】（1）证明即可得到；（2）先证明四边形是正方形，延长，相交于点H．①当点E是的中点时，四边形的边长等于，然后根据求解即可；②设四边形的边长为b，根据求解即可．【详解】（1）∵四边形是正方形，∴．在和中，∴，∴；（2）∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形．①∵E是的中点，∴，∴．故答案为：．②不变化，设四边形的边长为b，．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，整式的加减，数形结合是解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1．（2022秋·广西河池·九年级校考阶段练习）如图，以正方形的一边向正方形外作等边，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，是等边三角形，∴，∴，∴，同理可得：∴故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在菱形中，，，且，连接交对角线于点F，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由菱形的性质和可证明是等边三角形，继而得出，，再由等边三角形三线合一的性质得出，通过证明，可得，再利用三角形内角和进行求解即可．【详解】∵四边形是菱形，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，同理，，∵，∴，∴，∵，∴，∵，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．证得是等边三角形是解题的关键．3．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在矩形中，、交于点O，于点E，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故C正确；故选：C．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．4．（2022秋·河南郑州·九年级校考期中）如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，若菱形的面积为12，则的长为（

）A．10 B． C． D．5【答案】B【分析】在中先求得的长，根据菱形面积公式求得长，再根据勾股定理求得长，即可得到．【详解】解：，，四边形是菱形，，，，（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），，，由得：，，，，，故选B．【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，解题的关键是推导得出．5．（2023秋·山东潍坊·八年级校考期末）已知四边形是平行四边形，再从①，②，③，④四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形是正方形，现有下列四种选法，其中不正确的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．②④【答案】B【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答．【详解】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二、填空题6．（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）已知菱形中，对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积__________．【答案】120【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．【详解】解：四边形是菱形，，，，，，，菱形的面积；故答案为：120．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的面积公式是本题的关键．7．（2022秋·吉林白城·九年级统考期中）如图，将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，则______【答案】【分析】先求出，再利用四边形的内角和求解即可．【详解】解：将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了四边形的内角和为，旋转的性质，矩形的性质，其中掌握旋转的性质是解题的关键．8．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在矩形中，点是对角线上一点，过点作，分别交，于点，，连接，．若，，图中阴影部分的面积和为8，则矩形的周长为_____．【答案】【分析】作于，交于，根据矩形的判定和性质，易得，根据三角形的面积及勾股定理即可求解．【详解】解：作于，交于，如图所示：则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，，，，，，，，，，，且，，且，，，，，，，，，，矩形的周长，故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是证明．9．（2022秋·全国·九年级期末）如图，点E在边长为5的正方形边上，交的延长线于F，连接，过点A作的垂线，与分别交于点H、G．若，则的长为____．【答案】【分析】连接，首先证明出，得到，然后得到垂直平分，，，则，，在中利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示，连接，∵∴∴又∵∴，∴，又∵，∴H为的中点，∴垂直平分，∴，设，则，，∴，∵，∴中，，即，解得，∴的长为，故答案为：．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．10．（2022秋·甘肃庆阳·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2023次，点B的落点依次为，则的横坐标为___________．【答案】【分析】连接，根据条件可以求出，画出第次、第次、第次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转次，图形向右平移，由于，因此点向右平移（即），即可到达点，根据点的坐标就可求出点的横坐标．【详解】解：连接，如图所示：∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，画出第次、第次、第次翻转后的图形，如图所示：由图可知：每翻转次，图形向右平移，点B的纵坐标保持不变，∵，∴点向右平移即到点，结合图形，根据等边三角形的性质可求出的坐标为，∴的坐标为，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力，发现“每翻转次，图形向右平移”是解决本题的关键．三、解答题11．（2022秋·江西抚州·九年级校考期末）已知：在平行四边形中，对角线交于点O，E、F分别是对角线上两点，且．(1)求证：；(2)若，求证：四边形是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质推出，证明，即可推出结论；（2）根据全等三角形的性质得到，证明，得到，证得四边形是平行四边形，结合推出，即可证得平行四边形是矩形．【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∴平行四边形是矩形．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．12．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考开学考试）已知，如图，在菱形中，为对角线，E是上的点，分别连结，并延长交于点F，交于点G．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】(1)根据SAS证明后,再证明后，即可证明．(2)连接交于点O,由菱形的性质得出,结合，证明是等边三角形，继而得出,由直角三角形斜边.上中线的性质得出，即可求出的长度.【详解】（1）证明：如图1，∵四边形是菱形，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：如图2，连接交于点O，∵四边形是菱形，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识是解决问题的关键．13．（2022秋·广东茂名·九年级茂名市第一中学校考期中）如图，中，，是边上的中线，分别过点A，C作的平行线交于点E，连接交于点O，求证：(1)四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，再证四边形平行四边形，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论；（2）由菱形的性质得，则，即可解决问题．【详解】（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形．在中，为边上的中线，∴．∴平行四边形是菱形；（2）解：∵，平行四边形是菱形，∴，，∴，∴；在中，为边上的中线，∴，∴，∴四边形的面积【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质．14．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）如图，在中，，为的中点，，．(1)试判断四边形的形状，并证明你的结论；(2)当________°时，四边形为正方形．【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析；(2)【分析】（1）根据平行可以证明四边形是平行四边形，由直角三角形的性质可求得，进而得出四边形为菱形（2）根据题意可知当四边形为正方形时，等腰直角三角形的三线合一性即可求得【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下：∵，∴四边形为平行四边形∵，为的中点∴∴平行四边形为菱形（2）解：若四边形为正方形∴∵为的中点∴∴是等腰直角三角形∴故答案为：【点睛】本题考查了菱形的判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记判定定理和性质定理是解题的关键．15．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在中，，，，点为边上一点，连接，交于点．(1)当时，求证：四边形为菱形；(2)当______时，则四边形为矩形．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，可得为等边三角形，继而可得到，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得；（2）当时，为矩形，理由：若为矩形则有，再根据，，则可得，继而可得【详解】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边，∵，∴为等边三角形，，，即：，∴平行四边形为菱形；（2）当时，为矩形，理由如下：若为矩形得：，∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛