人教A版选择性必修第一册：第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（中）（学生版+解析版）

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（中）

一、单选题

1.（2020•江苏省平潮高级中学高二月考）如图，在平行六面体ABC。-A4GA中，E为

AA的中点，设通=£，AD=b,A^=c,则元=()

A.QH—b—cB.a—b+c

22

C.〃—b—cD.—Q—h+c

22

2.(2021•南京市第十三中学高二开学考试)两平面夕的法向量分别为2=(3,-l,z)

，v=(-2,-y,l)f若C尸，贝!Jy+z的值为()

A.-3B.6C.-6D.-12

3.（2021•江西省分宜中学高二月考（理））已知A、B、。三点不共线，点。是平面ABC

外一点，则在下列各条件中，能得到点“与A、B、。一定共面的是（）

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM^-OA--OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA-OB-OC

4.(2021•四川省大竹中学高二月考(理))如图，在平行六面体ABCO-ABG2

1UUIXI

中，AB=AD=1,A4,=y/2,^BAAl=^DAA,=45。,2&4£)=60。，则|AC||=(

A.1B.73C.9D.3

5.(2021•浙江高二期末)如图，正三角形ACS与正三角形AC。所在平面互

相垂直，则二面角3-CD-A的余弦值是()

A.-B.巫C.2D.好

2235

6.(2020•沈丘县第一高级中学高三月考(文))三棱锥尸-ABC满足：

PA=PB=PC,ZAPB=90°,ZAPC=ZBPC=60,则直线Bl与BC所成角

的余弦值为（）

「V3

3

7.（2021•河北秦皇岛一中高二月考）在棱长为1的正方体ABCD-A?CZ>'中，已知点P

是正方形A4力力内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面A42方所成角的正弦值

和异面直线AP与。。'所成角的余弦值相等，则线段OP长度的最小值是（）

A,显B,也4

u.---D.-

2333

8.（2022•全国高三专题练习）如图所示，在正方体ABCD-A4CQ中，尸为线段BG

上的动点，给出下列四个结论：①如长度为定值；②三棱锥P-A用2的体积为定值；

③任意点P,都有D尸，4C；④存在点只使得4尸1平面ABQ其中正确的是（）

A.①③B.②④C.②③D.①④

二、多选题

9.（2021•全国高二课时练习）定义向量的外积：ZxB叫做向量♦与书的外积，它是一个

向量，满足下列两个条件：（1）a1（axb）,bY（axb）,且£、B和构成右手系（三个

向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；（2）的模辰斤=同卡卜山«6

（（阴表示向量的夹角）.如图所示，在正方体A3。-中，有以下

四个结论中，不正确的有（）

A.鬲xXg与西方向相反

B.ABxAC=BCxAB

C.6|前与正方体表面积的数值相等

D.（鬲x通）•丽与正方体体积的数值相等

10.（2021•重庆市黔江新华中学校高三月考）在长方体438-4瓦£2中，AB=2,AD=3,

A4=l,以。为原点，以面，DC,西分别为了轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐

标系，则下列说法正确的是（）

A.BD^=（-3,-2,l）

B.异面直线AQ与BR所成角的余弦值为拽1

C.平面4G。的一个法向量为（-2,-3,6）

3

D.二面角G-A。-R的余弦值为:

11.（2021•汕头市澄海中学高二月考）如图，在正方体中，M=3,

点M,N分别在棱A3和8月上运动（不含端点），若D\M1MN,下列命题正确

的是（）

A.MN±AtMB.跖V_L平面RMC

3

C.线段脚长度的最大值为wD.三棱锥体积不变

12.（2021•江苏高二期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方

形，为等边三角形，平面平面ABCD,点M在线段P8上，AC,交于点

E,则下列结论正确的是（）

A.若BD〃平面MAC,则M为尸3的中点

B.若“为PB的中点，则三棱锥4c的体积为必

3

7T

C.锐二面角3-PD-A的大小为§

D.若丽=4的，则直线MC与平面3D尸所成角的余弦值为g

三、填空题o

13.（2021•吉林东北师大附中高一期末）如图，M是四面体Q4BC的棱BC的中点，

点N在线段OA1上，点尸在线段AN上，且MN=；ON,AP=：AN,用向量丽，丽，/Ij\

而表示赤，则丽=-

B

14.（2021•全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有.

①若向量2,B与空间任意向量都不能构成基底，则£/区；

②若非零向量b,2满足“，石，bVc，则有£/不；

_.__._.1—.1—.1—.

③若。4，OB>OC是空间的一组基底，^OD=—OA+—OB+—OC,则A,B,C,。四

点共面；

④若向量Z+B,b+c，c+a，是空间一组基底，则£,b,之也是空间的一组基底.

15.（2020•浙江金华第一中学高二期中）在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖席（反e〃ao）

是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角AABC中，/，为斜边理上的高，AB=3,

AC=4,现将△A5D沿/〃翻折VAB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖般，则二面角

笈-AC-。的余弦值是

B'

16.（2021•江苏高三其他模拟）如图，在直角梯形ABQ）中，ABHCD,ABLAD.已知

CD=2AB=2AD=2a.将AABD沿直线BD翻折成^BD,连接4c.当三棱锥4-BCD的

体积取得最大值时，异面直线AC与所成角的余弦值为；若此时三棱锥

A-BCD外接球的体积为46",则a的值为.

四、解答题

17.（2021•全国高二课时练习）已知点。是正AABC平面外的一点，若

OA=OB=OC^AB=1,瓦/分别是A3、OC的中点，试求OE与所所成角的余弦

值.

B

18.(2020•江苏省姜堰第二中学高三月考)一副标准的三角板如图1中，NABC为直角，

ZA=60°,NDEF为直角,DE=EF,且BC=DF,把BC与OF重合，拼成一个三棱锥，

如图2.设M是AC的中点，N是BC的中点.

(1)求证：平面EMN；

(2)在图2中，若AC=4,二面角E-8C-A为直二面角，求直线与平面ABE所成角

的正弦值.

19.(2020•江苏省高邮中学高二月考)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形,

S4工平面ABC。，AD^SA=2,AB=1,点E是棱SD的中点.(用空间向量法)

(1)证明：SC1AE；

(2)求异面直线CE与3S所成角的余弦值.

20.(2021•河南高二期末(理))如图，在正四棱柱ABC£>-4gGA中，AD=2,M=5

，点P在棱CG上，且平面8£>P.

cP

(1)求答1的值；

(2)若GP>CP,求二面角4-8。一P的余弦值.

21.(2021•重庆巴蜀中学高三月考)已知在四棱锥尸-ABCD中，平面上4。，平面ABCD,

且A3CD是正方形.若PD=PA=历,PC=®.

(1)求四棱锥尸-ABCD的体积；

(2)在线段尸8上是否存在一点Q满足：二面角8-AC-Q的余弦值为巫？若存在，请求

19

出黑的比值人若不存在，请说明理由.

22.(2021•江苏省漂水高级中学高二月考)如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩

形，PA_L平面A5cD,E是PD的中点，过BC作平面3CEF交平面PAD于EH

(1)证明：歹是R4的中点；

(2)设二面角O—AE—C为60°,AP=1,AD=43,求三棱锥E-ACD的体积.

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（中）

一、单选题

1.（2020•江苏省平潮高级中学高二月考）如图，在平行六面体ABCD-中，E为

AR的中点，设丽=£，AD=b,M=则丽=（）

-1--

A.aH—b—cB.a-—1。7•+-c

22

一1一一-17*一

C.a—b—cD.—a—b+c

22

【答案】D

【详解】

在平行六面体A3Cr>-48]GR中，ABCD是平行四边形，于是得恁=诟+亚=Z+B，

.1___.1.1一

又4R//AO,且而E为4A的中点，则

从而得醺=福+还="+/

所以而=通_/=（"+；历_（£+很）=_£_；B+".

故选：D

2.（2021•南京市第十三中学高二开学考试）两平面a,夕的法向量分别为2=（3,-1,z）,

工=（-2,-丁,1）,若贝D+z的值为（）

A.—3B.6C.—6D.—12

【答案】B

【详解】

因为eJ_6,所以73=0,即（3,T,z）.（_2,_y,l）=0,所以3x（—2）+（—l）x（—y）+zxl=0,

解得y+z=6,

故选：B.

3.（2021•江西省分宜中学高二月考（理））已知A、B、C三点不共线，点0是平面ABC

外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、3、C一定共面的是（）

_____,1____„1____1_________,_____.1____1_____________

A.OM=-OA+-OB+-OCB.OM=-OA——OB+OC

22233

C.OM=OA+OB+OCD.OM=2OA-OB-OC

【答案】B

【详解】

右x+y+2=1,且OAf=xOA.+yOB+zOC,

贝=x次+y砺+（l—x_y）玄，则加一反=尤（如一芯）+y（漏一反）,

即由'=xE+y而，所以，点M、A、B、C共面.

对于A选项，:+1+!片1,A选项中的点M、A、B、C不共面;

222

对于B选项，•.•g-g+l=l,B选项中的点AT、A、B、C共面；

对于C选项，•jl+l+lwl,C选项中的点M、A、B、C不共面；

对于D选项，•.•2-1一1力1，D选项中的点M、A、B、C不共面.

故选：B.

4.（202i•四川省大竹中学高二月考（理））如图，在平行六面体48c。-a4a，中,

L|UUIT|

AB=AD=\,A4,=V2,ZBAA^==45",ZBAD=60°,则RG卜（

A.1B.73C.9D.3

【答案】D

【详解】

在平行六面体ABCO-ABCIR中，

^AC=AB+AD,AQ=AC+AA^=AB+AD+AA；,

由题知，AB^AD=\,A4,=y/2,ZBAA,=ZDAAX=^5°,ZBAD=600,

所以M=|码=1,阳卜&,而与而的夹角为Zfi4£>=60。，

通与福的夹角为/B4A=45°,而与福的夹角为/AA。=45。，

所以

--------2

AC.

=（通+而+Z^）2

=\AB\+|AD|+|回+2ABAD+2ABAA.+2ADAA,

=l+l+2+2xlxlxcos600+2xlx也xcos450+2xlxy/2xcos45°

所以|嘲=3

B

故选：D.

5.（2021•浙江高二期末）如图，正三角形AC3与正三角形ACQ所在平面互

相垂直，则二面角的余弦值是（）

3-CD-AAC

D

D..

1RV2RA/3

2235

【答案】D

【详解】

如图示，取4C中点色连结儆DE,在正三角形ACB与正三角形ACD中，

BELAC,DELAC,因为面ACB，面ACZ7,面AC3n面ACD=AC,所以跳11面/〃C

以£为原点，而为x轴正方向，亚为y轴正方向，丽为z轴正方向，建立空间直角坐标

系，设/信2,则

£（0,0,0）,D,0,0）,C（0,1,0）,A（0,-1,0）,B（0,0,V3）,

平面ACD的一个法向量为丽=（0,0,6）

而。2=仅，-1,右）,。£）=（右,-1,0）,设〃=（x,y,z）为面BCD的一个法向量，则:

_y+6z=0

n-CB=0nn不妨令尸1,则;7=（1,g』）

HDC=0-y+>/3x=0

设二面角B-CD-A的平面角为。，则。为锐角，

所以cos6=|cos/EB,布=|巴2|=|/厂|=g.

'/|£B||/z|V3xV55

故选：D

6.（2020•沈丘县第一高级中学高三月考（文））三棱锥尸-ABC满足：PA=PB=PC,

ZAPB=90°,ZAPC=ZBPC=60,则直线上4与3c所成角的余弦值为（）

【答案】A

如图，结合题意绘出图像:

p

B

设PA=PB=PC=a,

因为ZAPB=90°,ZAPC=ZBPC=60%

所以AB=y/la，CA=CB=a,

因为AB?=AC2+Cfi2,所以ZACB=90。，

BC1PABC1（PCG4）=BC1PCBC1CA|BC|^C|cos60c=1a2,

设直线上4与BC所成角为e,

____J_^2

则cos0=兽生=21=1,直线丛与BC所成角的余弦值为y，

|BC|>|PA|a^a2

故选：A.

7.（2021•河北秦皇岛一中高二月考）在棱长为1的正方体ABCE>-AB'C'/y中，已知点尸

是正方形A/D力内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面A428所成角的正弦值

和异面直线AP与DC所成角的余弦值相等，则线段。尸长度的最小值是（）

A.逅B.巫C.逅D.-

2333

【答案】C

【详解】

解：以。为坐标原点，DA,DC,DD'

所在直线为无，V,z轴建立空间直角坐标系，

可设尸（x,O,z）,0<x<l,0<z<l,

由A（1,O,O）,C（0,1,1）,

©（0,0,0）,

AP=（x-l,0,z）,忠=（0,1,1）,ZM=（1,0,0）,

设直线AP与平面A4E3所成角为夕和异面直线AP与DC'所成角为a,

COS6Z=COS<AP,DC>=-------,'

J后夜卡+.-1)2'U<Z7<1

sin0=|cos<AP,DA>\=1~X0<x<l,

W+(%-l)2

由sin9=cosa,可得2=0(1-％),

贝I]IDP\=ylx2+z2=7X2+2(1-X)2=^3(.r-1)2+|,

当X时，线段。尸长度的最小值为四.

33

故选：C.

8.(2022•全国高三专题练习)如图所示，在正方体中，尸为线段上

的动点，给出下列四个结论：①如长度为定值；②三棱锥尸-A瓦Q的体积为定值；

设正方体488-A8GR的棱长为1，以点。为坐标原点，DA,DC、所在直线分别

为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则4(1,0,0)、3(1,1,0)、c(o,l,o)、以0,0,0)、A(1,0,1)、4(1,1,1)、G(0,1,1)、A(0,0,1),

设点尸其中OVtML

对于①，|。尸|=J产+1+(1-r)2=,2产一2/+2不是定值,①错误;

对于②，在正方体ABCO-A4C2中，AB//CA且AB=CR,

所以，四边形ABG2为平行四边形，则8C//AA，

•••8G①平面ABQ1,AQu平面ABQ1,则BQ〃平面ABQ],

・•・PeBC-则点尸到平面A瓦，的距离为定值，而AA瓦2的面积也为定值，

所以，三棱锥尸-A氏2的体积为定值，②正确；

对于③，石=(一1,1,一1),加=«,1,1T),所以，DPA^C=-t+l-l+t=O,

因此，对任意点尸，都有。尸，AC,③正确；

对于④，AP=('-1，1，T)，AB1=(0,1,1),ADt=(-1,0.1),

=1-^=0,这样的'不存在，所以，不存在点八使得平面A及，，④错误，

故选：C.

二、多选题

9.(2021•全国高二课时练习)定义向量的外积：ZxB叫做向量£与B的外积，它是一个

向量，满足下列两个条件：(1)G1(GXZ?),b±(axb),且£、石和构成右手系(三个

向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致)；(2)向3的模人*困内近夕6

(仅日表示向量入B的夹角).如图所示，在正方体ABCO-AMQ中，有以下四个结论中,

不正确的有（）Di

A.鬲xX?与西方向相反/j/

B.ABxAC=BCxAB：

C.6|反^正|与正方体表面积的数值相等

D.（福'x丽）•丽与正方体体积的数值相等A'B

【答案】ABD

【详解】

/选项，根据向量外积的第一个性质可知函X形与函的方向相同，故4错，

6选项，根据向量外积的第一个性质可知而义衣与而x通的方向相反，

不可能相等，故方错，

C选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形A3CD的面积为

|BCxAC|=|BC|x|AC|xsinp则61就x*|与正方体表面积的数值相等，故61对，

〃选项，丽x而与丽的方向相反，贝。（福x丽）.丽＜0,故〃错，

故选：ABD.

10.（2021•重庆市黔江新华中学校高三月考）在长方体中，帅=2,AD=3,

M=1.以。为原点，以丽，DC,函分别为X轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐

标系，则下列说法正确的是（）

A.BD^=（-3,-2,l）

B.异面直线4。与8。所成角的余弦值为等

C.平面的一个法向量为（-2,-3,6）

D.二面角G-4。-2的余弦值为彳

【答案】ACD

【详解】

解：在长方体ABCD-A4GD]中，AB=2,AD=3,A4]=l,

以。为原点，以用，DC，西分别为X轴，y轴，Z轴正方向建立空间直角坐标系，

对于A•••3（320）,R（0,0,l）,.•.西=（一3,-2,1）,故A正确;

对于B,A（3,0,1）,0（0,0,0）,丽=（一3,0,-1）,西=（一3,-2,1）,

设异面直线4。与82所成角为。，

则异面直线4。与BD,所成角的余弦值为：

噜，故B错误;

cosa=

|丽H瓯710-5^4

对于c,q（0,2,1）,瓯=（3,0,1）,Dq=（0,2,1）,

设平面4G。的一个法向量为7=(x,y,z),

衣竺=3x+z=°,取z=6,得平面ACQ的一个法向量为(-2,-3,6),故C正确;

则

万DC]=2y+z=0

对于D,平面AG。的一个法向量为〃=(-2,-3,6),

平面A2n的一个法向量为加=(0,1,0),

二面角Q-AD-O,的余弦值为:

m-rn3

=—故D正确.

H-R9

11.(2021•汕头市澄海中学高二月考)如图，在正方体A5CQ-4月CQ中,AAi=3,点

M,"分别在棱四和阴上运动(不含端点)，若DtM1MN，下列命题正确的是(

A.MN±A.MB.MNJ■平面RMC

3

C.线段即长度的最大值为D.三棱锥G-AQ"体积不变

【答案】ACD

【详解】

在正方体A8CD-A8IGR中，以点。为原点，射线仅1,DC,勿分别为x,y,

非负半轴建立空间直角坐标系，如图:

4(3,0,3),4(0,0,3),C(0,3,0),5(3,3,0),设欣3,y,0),M3,3,z),y,ze(O,3),

D^M=(3,y,-3),MN=(O,3-y,z),而2M

则"加=y(3-y)-3z=』f(37),

对于A选项：硕=(O,y,—3),则碇・丽=y(3—y)—3z=O=m_L旃，MN±A^M,

A正确；

对于B选项：CM=(3,y-3,O),CM-MN=(y-3)(3-y)=-(3-y)2<0,即CM与仞V不垂直，

从而腑与平面〃比不垂直，B不正确；

对于C选项：丽=(0,0,z),则线段廨长度I丽l=z=g[-(>-5)2+/4工，当且仅当y=]

时取“=”，C正确；

对于D选项：不论点〃如何移动，点〃到平面42G的距离均为3,而％一4。阳=%-

_1oo_9

一3°乙4呼1-2'

三棱锥c-ARM体积为定值，即D正确.

故选：ACD

12.(2021•江苏高二期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A3CD是边长为2的正方

形，△24。为等边三角形，平面PAD_L平面ABCD,点M在线段PB上，AC,BD交于点、

E,则下列结论正确的是()

A.若BD〃平面MAC,则M为尸3的中点

B.若M为依的中点，则三棱锥M-上4c的体积为W

3

C.锐二面角8—PD—A的大小为(\亍

D.若丽=4两，则直线MC与平面3DP所成角的余弦值为:\/__---'户小殴/

【答案】ABDD

【详解】

解：对于A,连接ME,当PD//平面M4c，根据线面平行的性质可得ME〃尸D,从而得

到Af为尸8的中点.故A正确；

为尸B的中点，.,・%-PAC=~^B-PAC=~^P-ABC，

取AD中点/，连接PF,因为△24。为等边三角形，所以尸尸_LAD,又平面R4D_L平面

ABCD,

------------------0c

由面面垂直性质可得尸/_L底面ABCD,

•••%-ABc=gs“Bc.尸尸=；x；x2x2xG=¥^,VM_PAC=与,所以5正确.

连接5分，因为尸方_L底面A5CD,又5月U平面A3CD,所以PF_LBF,

在RtAPBF中，PB=，尸b2+BF?=d3+5=M=BD,PA=AD=2,

取依中点。，连接5Q,AQfs.BQLPD,AQ1PDf

\/1E/

------------------0c

•••4Q3为锐二面角B-PD-A的平面角，

在△AQ5中，AB=2,BQ=yjBD2-DQ2=7（2^）2-12,

AQ=y]AD2-QD2=^22-12,由余弦定理可得

cos4QB心+管瞪2:等,所以NAQB*?,故C错误.

对于。，建立空间直角坐标系尸-孙Z,

p(o,o,D(I,o,0),

aq

因为丽=4的,所以

二.丽=(1,-2,我,而=(1,。,-扬麻=(公,

n-BP=Ox-2y+y/3z=0

设平面PBZ＞的法向量为=(x,y,z))则即l，取z=l,

ii-PD=0x-y/3z=0

解得x=y=6，所以为=(A/3,A/3,1),

----->MC•n5

cos〈MC㈤_424

用~137

MC一+—+一-V3+3+1

16416

故。正确.

故选：ABD.

三、填空题

13.(2021•吉林东北师大附中高一期末)如图,M是四面体QMC的棱3c的中点，点N

13

在线段加上，点尸在线段AN上，旦MN-AP=/N,用向量次,林，云表

示而，则赤=

、1—►1—►1—►

【答案】-OA+-OB+-OC

444

【详解】

由题意而

小+*西小+泠丁二

B

-OA+-OB+-OC

444

-1—.1—.1—.

故答案为：—OA+—OB+—OC

444

14.（2021•全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有.

①若向量B与空间任意向量都不能构成基底，则Z//B;

②若非零向量a,b<c满足日B_LC,则有a〃c;

_.__._.I—.1—.1—.

③若OA，OB>0c是空间的一组基底，MOD=—OA+—OB+—OC,则A,B,C,£）四

点共面；

④若向量Z+B,力+3c+a,是空间一组基底，则2，b,"也是空间的一组基底.

【答案】①③④

【详解】

对于①:若向量£,B与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即万〃5,

故①正确；

对于②：若非零向量2,b,工满足bic,则2与"不一定共线，故②错误；

__-.1—.1—.1—.

对于③：若丽,OB，而k是空间的一组基底，且0。=3。4+§05+］。（7,

_____1__.___1_____,___1__、1__»

贝！］而一砺=§（砺一砺）+§（玄一丽），^AD=-AB+-AC,

可得到A,5,C,。四点共面，故③正确；

对于④：若向量£+b+c>c+a>是空间一组基底，则空间任意一个向量万，

存在唯一实数组（x,y,z）,使得

d=x（日+5）+y（5+e）+z（^+a）=（x+z）^+（x+y）5+（y+z）^,

由％y,z的唯一性，则X+Z,尤+y,y+z也是唯一的

则b,2也是空间的一组基底，故④正确.

故答案为：①③④

15.（2020•浙江金华第一中学高二期中）在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖席（加々7。0）

是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角AABC中，/〃为斜边理上的高，AB=3,

AC=4,现将△ABD沿4?翻折VABN）,使得四面体AB'CD为一个鳖磬，则二面角

9-AC—。的余弦值是

AA

【答案】昱

4

【详解】

解：在直角AABC中，"为斜边灰上的高，AB=3,AC=4,

则BC=5,AD=y,B£>=|,CD=y,

即在四面体ABC。中，AD=y,B,D=|,CD=y,AB'^3,AC=4,

则BN><8,

要使四面体力如'。为鳖席，根据三角形中大边对大角，

可知需要8'C_L平面助5’,止匕时//必'，AADC,/施'C,NAB，。为直角，

满足四面体46'"为一个鳖席，

则B'C=yJCD2-B'D2=V7，

如图在长宽高分别为力,gm的长方体中作出四面体救'G

如图，以〃为坐标原点建立空间直角坐标系，

则。（0,0,0）,《0,00，。（昌,|,0）210,1,01,

丽（0,0（）比=["|,O]M=[O,|,O）MC=（"O,O）,

设向量加=（%,%,zj为平面ACD的一条法向量，向量3=（%2，%*2）为平面ACQ的一条法向

量，

m-DA=—z,=0

51

则，可取根=

m-DC=V7%1+看％=0

同理可取〃=（0,12,9）,

m-n--xl2

costm,n9

4

14H即义15

9

又因―*面角AC-。锐角,

所以二面角B'-AC-D的余弦值是也.

4

故答案为：立.

4

16.（2021•江苏高三其他模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABLAD.已知

CD=2AB=2AD=2a.将AABD沿直线BD翻折成^tBD,连接A,C,当三棱锥A-BCD的

体积取得最大值时，异面直线AC与3D所成角的余弦值为；若此时三棱锥

A-BCD外接球的体积为4岛，则a的值为.

4

【答案】—；6

6

【详解】

在直角梯形ABCD中，AB//CD,ABLAD,CD=2AB=2AD=2a,

；.BD=0a，BC=瓜,BD2+BC2=CD2,即BCLBD,

当平面AOBL平面3co时，三棱锥A-BCD的体积取得最大值，

取中点£,8中点色连接AE,EF,则

•..平面平面BCD,且平面ADBc平面3co=⑷，平面BCD,

EF//BC,BC1.BD,：.EF±BD,

以£为坐标原点，分别以EB、EF、己4所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则8（1。,0,0）,D（-*a,0,0）、A（°，O，g。），C（^a,^2a,0）

BD=^—\/2a,0,0^,A[C=--6---a〕

2)

设异面直线AC与8。所成角为。,

2

则cos6=|cos网，而六-a

41a•6a6

即异面直线AC与所成角的余弦值为立；

6

显然FD=FB=FC=a,又5=J榕+团=

所以点尸是三棱锥A-BCD外接球的球心，且球半径R=a.

由§»兀,解得a=V3.

17.（2021•全国高二课时练习）已知点。是正AABC平面外的一点，若

OA=OB=OC^AB=1,瓦?分别是A3、OC的中点，试求OE与所所成角的余弦

值.

【详解】

设OA=a,OB=b,OC=c,则=B,c=LQ=g，忖=帆=卜|=1，

OE=^a+b),BF=^c-b,

一一一2

加叫（叫."=；"+那一a-b-b

——a-c+—b'C-a-b~b

2(22

1

=——x1x14x1-1-1

222222

2

所以cos（朝，丽）

因为异面直线成角的范围是（0段,所以异面直线数与斯所成角的余弦值大于等于0,

2

故异面直线0E与跖所成角的余弦值为1.

18.（2020•江苏省姜堰第二中学高三月考）一副标准的三角板如图1中，NABC为直角,

ZA=60°,NDEF为直角,DE=EF,S.BC=DF,把8C与。尸重合，拼成一个三棱锥，

如图2.设M是AC的中点，N是BC的中点.

图】图2

（1）求证：8cd.平面EMN；

（2）在图2中，若AC=4,二面角为直二面角，求直线与平面ABE所成角

的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）".

4

【详解】

（1）证明：设BC中点为N,连结MN,EN.

是AC的中点，N是8C的中点，AMNIIAB,

VAB1BC,：.MNIBC,

VBELEC,BE=EC,N是BC的中点，:.ENLBC,

又MNIBC,MNcEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,

：.BCL^-^EMN.

（2）由（1）可知：EN±BC,MNIBC,

为二面角E-BC-C的平面角

又二面角E-BC—C为直二面角NENM=9。。

以NM,NC,NE分别为x,V,z,如图建立空间直角坐标系N-孙z.

VAC=4,贝ijAB=2、BC=2也,NE=-Ji

由E（0,0,括｝,M（1,O,O）,则由=（1,0,-括）

又网0,-6,0）,A（2,一如,0）,£（0,0,73）,

则丽=（0,血@,丽=（2,0,0）

设m=（x,y,z）为平面ABE的一个法向量，

可」而_LBE[m-BE=0,

贝川一一，即an一一

m±BA\m-BA—0

设=（0,1,-1）为平面的一个法向量

设直线9与平面4狙所成的角为《0464^

m-EMV3y/6

sin0-cos<m,EM>

|m||W2A/2-4

所以直线EM与平面4洱所成的角的正弦值为远.

4

19.(2020•江苏省高邮中学高二月考)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形,

SAL平面ABCD,AD=S4=2,AB=1,点E是棱SO的中点.(用空间向量法)

(1)证明：SCLAE-,

(2)求异面直线CE与3s所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)姮.

5

【详解】

如下图，构建以A为原点，通，而，旃为X、八2轴正方向的空间直角坐标系，则A(0,0,0),

8(1,0,0),£>(0,2,0),5(0,0,2),C(l,2,0),"(0,1,1),

(1)元=(1,2,-2),/=(0,1,1),

SC-AE=lx0+2xl+(-2)xl=0,BPSC1AE,

・・・SC.LAE.

(2)CE=(-1,-1,1),BS=(-1,0,2),

•*.CE-BS-(—1)(—1)+0+1x2=3,又|CE卜^(—I)2+(—I)2+12=A/3,

|BS|=7(-1)2+02+22=V5,

COS<CE,BS>=CE:吧=—>0,故异面直线CE与BS所成角的余弦值为姮；

|CE\\BS|55

20.(2021•河南高二期末(理))如图，在正四棱柱ABCO-AAGD中，AD=2,/见=5

,点尸在棱CG上，且A/1平面50P.

（1）求若的值；

（2）若C/>”,求二面角4一3。-尸的余弦值.

【答案】（1）答案见解析；（2）

【详解】

解：（1）如图，以点。为原点，DA，DC,函的方向分别为%>,z轴的正方向,

建立空间直角坐标系。一-z,设CP=f（0VY5）,

则点£>（0,0,0）,5（2,2,0）,A（2,0,5）,尸（0,2j）.

则平=（一2,2,-5）,DP=（O,2,t）.

因为4尸_1平面应)P,

所以“，丽，

所以石•丽=(_2,2j_5).(O,2j)=4+(”5/=0,

解得f=1或f=4.

当t=l时，CP=1,C1P=4,霁=4；

当/=4时，CP=4,CtP=l,号=!.

CP4

(2)因为CjP>CP,由(1)知