2021届数学新高考小题 (二十八)

2021届新高考“8+4+4”小题狂练(28)

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={1,3"},B={a,b},若=则AU8=()

人{I'"B.国A"1$}邛有

【答案】C

【解析】

【分析】

由=求出。=一1,b=；,由此能求出4U8.

【详解】•.•集合A={1,3"},B={a,b},AcBI

a=—\,b，

3

A={1,g},B={-1,1}.

：,A\JB={-}91,1).

故选：C.

【点睛】本题考查并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于容易题.

2.若实数x>y,贝I]()

Xy

A.log(,5x>log05yB.|x|>|^|C.Y>孙D.2>2

【答案】D

【解析】

【分析】

根据对数的单调性可知％<y,并且x、y都大于o,A选项不成立；当x、y都是负数的时候，绝对值符

号是相反的，可判断B错误；举反例，x=o的时候选项c就不成立了；根据指数函数的单调性可判断选项

D中x>y成立.

【详解】A.对数函数的底数是在o到1之间，所以是减函数，因此％<y,并且要保证真数>o,因此不

成立;

B.取x=—l,y=T,显然不成立；

C.当x=0时，式子不成立；

D.指数函数的底数大于1,所以是增函数，即有*<丁，因此成立；

故选：D.

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，结合了对数函数、指数函数的单调性，考查学生的逻辑推理能力,

属于中档题.

3.设随机变量X~N（〃,7）,若P（X<2）=P（X>4）,则（）

A.〃=3,O（X）=7B.〃=6,£）（%）=V7

C.〃=3,£）（%）=77D.〃=6,D（X）=7

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正态分布及尸（X<2）=P（X>4）可知期望与方差.

【详解】因为随机变量X~N（〃,7）,且尸（X<2）=P（X>4）,

2+4

所以由对称性知〃=三一=3,

由正态分布X~N（〃,7）知方差O（X）=7.

故选：A

【点睛】本题主要考查了正态分布N（〃,b2）中，的含义，属于容易题.

4.设xeR,则“|x+l|<2”是“怆了<0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

解出不等式根据充分条件和必要条件定义分别进行判断即可.

【详解】由题解k+”<2,解得：—3<X<1,解lgx<0可得：0<x<l；

则一3v工v1不能推出0vxv1成立，0vxv1能推出一3vx<1成立,

所以卡+1|<2”是“lgx<0"的必要不充分条件，

故选：B.

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，

属于基础题.

5.设x>y>0,x+y=l,若"(J,"=%闺肛，c=log；x,则实数叫人，c的大小关系是

()

A.a<b<cB.h<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

【答案】c

【解析】

【分析】

利用指数函数、对数函数的性质直接求解.

【详解】vx>y>0,x+y=l,

八111

/.一1>।1,0<xy<1i,—>—>->1,

xxyyx

a=(―)'>(-)°=1,

xx

0=11>c=log!x>log!y=-\

———>

yyy

,实数a,b.c的大小关系为b<c<a.

故选：C.

【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力,

属于中档题.

6.设a、£为两个不同的平面，/、阳为两条不同的直线，且/ua,加u△，则下列命题中真命题是()

A.若/则。，月B.若/，加，则

C.若a_L£,贝D.若&//夕，则〃/加

【答案】A

【解析】

【分析】

利用平面与平面垂直的判定定理，平面与平面垂直、平行的性质定理判断选项的正误即可.

【详解】由a,力为两个不同的平面，/、加为两条不同的直线，且/ua,mu/3,知：

在A中，11/3,则满足平面与平面垂直的判定定理，所以A正确；

在3中，若/_L〃z,不能得到/也不能得到所以得不到故3错误；

在。中，若a_L尸，则/与加可能相交、平行或异面，故C不正确；

在。中，若a//〃，则由面面平行的性质定理得///£,不一定有〃/“，也可能异面，故。错误.

故选：A-

【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，是中档题.

7.函数/(%)=(3V+3-)但国的图象大致为()

【答案】D

【解析】

【分析】

先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。

【详解】解：函数的定义域为卜卜声0},*)=(3'+3一)闻乂=〃力,

则函数/(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除B,

当％>1时,/(%)>0,排除A,

当0<%<1时，/(x)<0,排除C,

故选：D.

【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。

8.已知一组数据点（小凶），（9，%），（&，％），…，（3，%），用最小二乘法得到其线性回归方程为

7

y=-2x+4，若数据再，々，毛，…与的平均数为1，则Z%=（）

1=1

A.2B.11C.12D.14

【答案】D

【解析】

【分析】

7

根据（元歹）在回归直线上，代入求歹，再求Z%.

/=1

【详解】Vx=l-且何可在线性回归直线y=—2x+4上，

y=-2x+4=-2x1+4=2,

7_

则ZK=7）=7x2=14.

/=1

故选：D.

【点睛】本题考查回归直线方程的应用，意在考查基础知识，本题的关键是知道回归直线必过样本中心点

（网

9.用平面夕截一个球，所得的截面面积为了，若a到该球球心的距离为1,则球的体积为（）

A.^B.粤C./D.等

【答案】B

【解析】

【分析】

求出小圆的半径，利用球心到该截面的距离为1,小圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求出球的

体积.

【详解】用一平面去截球所得截面的面积为7,则截面圆的半径为1,

已知球心到该截面的距离为1,则球的半径为「=五,

,球的体积为：9乃/=双身.

33

故选：B.

【点睛】本题考查球的小圆的半径，球心到该截面的距离，球的半径之间的关系，考查计算能力，是中档

题.

2/(%)+/(工2)

10.在y=3工，y~log3x,y=x,y=，四个函数中，当0＜玉vx2Vl时，使/士上电

2

恒成立的函数的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件结合凸凹函数的定义进行判断即可.

【详解】满足/（土也）＞/3）+/3）为凸函数,

22

分别作出四个函数在（0,1）上的图象，

由图象知，在四个函数中，只有y=log3》是凸函数，其余三个为凹函数，

故选：B.

【点睛】本题主要考查函数图象的判断，结合凸凹函数的定义，利用数形结合是解决本题的关键，属于中

档题.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

11.某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升

学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：

40%

40%—40%

32%’

35%—35%

30%―30%

25%

—25%

20%—20%

15%—15%

10%—10%

5%

5%

0%

不上线率

一本二本艺体0%•本二本艺体不上线率

达线率达线率达线率达线率达线率达线率

2016年高考数据统计

2019年高考数据统计

则下列结论正确的是()

A.与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加

B.与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍

C.与2016年相比，2019年艺体达线人数相同

D.与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据柱状图给定的信息，作差比较，即可求解.

【详解】依题意，设2016年高考考生人数为X,则2019年高考考生人数为1.5尢,

由24%・L5x—28%・x=8%•尤>(),所以A项正确；

7

由(40%15x-32%・x)+32%-x=—,所以B项不正确；

8

由8%」.5x—8%-x=4%・x>(),所以C项不正确；

由28%4.5x-32%-x=10%-x>0,所以D项正确.

故选：AD.

【点睛】本题主要考查了统计图表的识别和应用，其中解答中熟记柱状图表表示的含义是解答的关键，属

于基础题.

12.已知空间中两条直线。，Z?所成的角为50°,P为空间中给定的一个定点，直线/过点P且与直线。和

直线〃所成的角都是伙0°<”,90。)，则下列选项正确的是()

A.当，=15°时，满足题意的直线/不存在

B.当。=25°时，满足题意的直线/有且仅有1条

C.当8=40。时，满足题意的直线/有且仅有2条

D.当6=60°时，满足题意的直线/有且仅有3条

【答案】ABC

【解析】

【分析】

为了讨论：过点。与所成的角都是8（0°效890°）的直线/有且仅有几条，先将涉及到的线放置在同一

个平面内观察，只须考虑过点。与直线％、々所成的角都是。（0°效890°）的直线/有且仅有几条即可，再

利用cos6=cos用•cos%进行角之间的大小比较即得.

【详解】过点。作bj/b,则相交直线q、4确定一平面a.4与仿夹角为50°或130。，

设直线Q4与4、乙均为夕角，

作43_1_面1于点B,8。_1_4于点（7,BD上b］于点D，

记Z-A.OB—a,NBOC-0-,（仇=25°或65°）,则有cos0-cos仇•cos0-,.

因为0啜匕90°,所以。效Jcosecos%.

当％=25。时，由（^i：osecos25°,得25°效B90°；

当%=65。时，由喷电os。cos65°,得65。颗J990°.

故当8＜25°时，直线/不存在；

当6=25°时，直线/有且仅有1条；

当25°＜。＜65°时，直线/有且仅有2条；

当。=65°时，直线/有且仅有3条；

当65°＜。＜90。时，直线/有且仅有4条；

当6=90。时，直线/有且仅有1条.

故A，B,C均正确，O错误.

故选：ABC.

【点睛】本题考查线面角大小的判断，处理技巧上，将直线〃转化成共面直线非常关键，考查了数形结合,

分类讨论的数学思想，属于中档题

13.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数

1x为有理数

二4PlM她成为狄利克雷函数，则关于/(X)，下列说法正确的是()

0,x为无理数

A.VXGRJ(/(X))=1

B.函数/(x)是偶函数

C.任意一个非零有理数T，/(x+7)=/(x)对任意xeR恒成立

D.存在三个点A(M,/(西)),502，/(/)),。(工3，/*3))，使得AABC为等边三角形

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

依次判断每个选项：/(X)G{0,1},故/(/(初=1；判断/(一x)=〃x),为偶函数；判断

/(x+T)=/(%)；取A(*,o],8(O,l),C_冬0为等边三角形，得到答案.

【详解】VXGG{0,1}=A正确;

L-x为有理数Lx为有理数

〃一力=<=/(%),偶函数,3正确;

0,-x为无理数10/为无理数

l,x+T为有理数[x为有理数

小+7)=<=/(x),C正确;

0,x+T为无理数'0,x为无理数

易知B(0,1),C三点构成等边三角形，O正确;

故选：ABCD

【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数性质的应用能力.

三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上

14.命题“VxeR,/一万xzo”的否定「，是.

［答案】三叫)wR,X；-万/<0

【解析】

【分析】

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

【详解】命题为全称命题，则命题的否定为万Xo<O,

故答案为：3x0eR,Xg-^x0<0.

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于容易题.

15.已知“X)为偶函数，当xWO时，〃x)=四二“，则曲线在点(1,0)处的切线方程是.

X

【答案】y=一%

【解析】

【分析】

由己知求得函数f(x)在(0,+8)上的解析式，求其导函数，得到((1),再由直线方程点斜式得答案.

【详解】•••/(X)为偶函数，且当％,0时，/。)=如⑹，

X

.••当》>。时，一x<o,则/(幻=，(一幻=也，

-XX

f(1)=—1.

曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程是y-0=-lx(x-l),

即x+y—1=0.

故答案为：x+y—l=O.

点睛】本题考查函数解析式的求解及常用方法，利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，是中档题.

16.甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的

名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名“；对乙说“你

当然不会是最差的''从以上回答分析，丙是第一名的概率是.

I

【答案】

3

【解析】

【分析】

根据提示可知丙、丁、戊获得第一名的概率时一样的，故可求其概率.

【详解】:•甲和乙都不可能是第一名，

，第一名只可能丙、丁或戊，

又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，

...这三个人获得第一名是等概