2022-2023学年人教A版选择性必修第二册等比数列的概念

等比数列的概念

基础练7=(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但

不全的得2分，有选错的得0分)

1.已知等比数歹！J｛an｝中，a3=1,a5=2,则首项ai=()

A.(B.；C.坐D.0

*23

Ia3=aiq=1

【解析】选B.设等比数列的公比为q,贝U，解得q2=2,

曾5=aiq4=2

所以ai=±=|.

4乙

2.数列｛a"满足：an+i=Xan-l(nGN*,VO,XGR),若数列｛an-1｝

是等比数列，则X的值是()

A.1B.2C.2D.-1

【解析】选B.数列｛a「1｝为等比数列=

Hn+1-1AJHH-2

r=r=q，

an-1an-1

__f^=q

即：九an-2=qan-q,怛成立，可知：j=九=2.

[-2=-q

3.在正项等比数列｛a"中,a4,加6为方程x2-100x+9=0的两根,

则aio-a25-a4o=()

A.9B.27C.64D.81

【解析】选B.由已知得a4-a46=9=a3,

因为｛%｝是正项等比数列，所以a25=3,

所以anya25-a40=a?5=27.

2

4.已知数列｛a/满足ai=1,an+ian,nWN*,则an=()

⑵n-1⑵n

A.©B.©

-(F-1D.(T

2an+i2

【解析】选A.因为an+1=gan,所以q==3.

n1

所以an=aiq_=gj

5.已知等比数列｛an｝的公比为q,若a2,as的等差中项为4,a5,a8

的等差中项为8表，则logJ的值为0

A.-；B.；C.-2D.2

a+a=8,

【解析】选A.由已知得125

a5+a8=16-

aiq+aiq4=8,

所以

aiq4+a,q7=16y/2,

解得q二媳，所以log^qulog2表=log2-I2£-~\■

222

6.(多选题)下面说法错误的是()

A.若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为

等比数列

B.等比数列的首项不能为零，但公比可以为零

C.常数列一定为等比数列

D.任何两个数都有等比中项

【解析】选ABCD.A.错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一

个常数时，该数列才是等比数列.B.错误，当公比为零时，根据等比

数列的定义，数列中的项也为零.C.错误，当常数列不为零数列时，

该数列才是等比数列.D.错误.当两数同号时才有等比中项，异号时

不存在等比中项.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7.在等比数列｛an｝中,a?=2,a4—4,则a6=.

|aiq=2,

【解析】设公比为q,由条件知

口仃=4,

解得q2=2,故近=aiq5=aiq-q4=2x22=8.

答案：8

8.已知各项都为正数的数列｛aj满足ai=1,a„-(2an+i-l)an-2an

+1=。•则a3=；｛an｝的通项公式为.

【解析】由题意可得a2=g,a3=1.

由a；-(2an+1-1居-2an+1=0,得

2an+i(an+l)=an(an+1).

因为｛%｝的各项都为正数，所以丁.故｛%｝是首项为1,公比为

dn乙

I的等比数列，因此an=*.

11

答案：aan=Q(n£N*)

三、解答题(每小题10分，共20分)

9.已知数歹U｛aj为等比数歹U,an>0,ai=2,2a2+a3=30.

⑴求％；

(2)若数歹｛bn｝满足bn+i=bn+an,bi=a2,求bs.

【解析】(1)设公比为q,由题意得2aiq+aiq2=30,

所以4q+2q2=30,所以q2+2q-15=0,

所以q=3或-5.因为an>0,所以q=3.

n-1n

所以an=aiq=2-3-i(n£N*).

n-

(2)因为bi=a2,所以bi=6.又bn+i=bn+an,所以bn+i=bn+2-3

所以bz=bi+2x30=6+2=8,ba=bz+2x31=8+6=14,

23

b4=b3+2x3=14+18=32,b5=b4+2x3=32+54=86.

10.(2018•全国卷I)已知数列｛aj满足ai=1,nan+i=2(n+1)an,

设bn二个•

⑴求bi,b2,b3；

(2)判断数列｛bj是否为等比数列，并说明理由；

(3)求｛aj的通项公式.

2(n+1)

【解析】(1)由条件可得an+i=-an.

将n=1代入得，a?=4ai,而由=1,所以，a2=4.

将n=2代入得，a3=3a2,所以，a3=12.

从而bi=1,b2=2,b3=4.

(2)数列｛1｝是首项为1,公比为2的等比数列.理由如下：

an+1Q

由条件可得=—，即bn+l=2bn,又bl=1,

n+1n

所以数列｛bn｝是首项为1,公比为2的等比数列.

(3)由⑵可得詈=241,所以an=m2n-L

=提升练分钟70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.已知｛an｝为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8,则ai+aio=()

A.7B.5C.-5D.-7

【解析】选D.由题意得

a4+a7=aiq3+aiq6=2,

｛a5a6=a1q4xaiq5=ajq9=-8,

[q3=-2,[q3=-|,

所以J或彳2

⑶=1，ai=-8,

所以ai+aw=ai(l+q9)=-7.

2.已知等比数歹1」出｝中，a2=-4,a5=；,则公比q=()

A.-2B.-gC.；D.2

3

【解析】选B.因为a5=a2q3,即g=-4q,解得q=.

3.已知数列｛aj是等比数列，ai=1,且4ai,2a2,a3成等差数列,

贝!]a2+a3+丽=()

A.7B.12C.14D.64

【解题指南】先根据已知条件解出公比，再根据等比数列通项公式求

结果­

【解析】选C.因为4ai,2a2,a3成等差数列，所以4a2=4ai+a35W

为ai=1所以4q=4+q2,解得q=2,

所以az+ag+a4=2+22+23=14.

n

4.已知数列｛aj的前n项和Sn=a-l(a#O,aGR),那么数列｛a4)

A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.要么是等差数列，要么是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

【解析】选C.当a=1时，该数列的各项为0,此时为等差数列，但

不是等比数列；

当中1时，由Sn=an-1得,

an=Sn_Sn-]=an_1_an-1+l=(a_l)an-i(nN2),此式对n=l也成

立，

所以辽=-——不=a(n>2)，此时｛aj是等比数列，但不是等

an-1(a-1)a"

差数列.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5•已知数列⑶｝的前n项和Sn=2an-1,则该数列的通项公式an=

【解析】由Sn=2a「1得：Sn+l=2an+l-1,

所以“+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an,即an+i=2an^.Si=2ai-1,则ai

=1.由此可得，数列｛an｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则an

=2n-1.

答案：2n-'

6.已知数列｛aj的通项公式为an=3n-1,则数列｛aj中能构成等

比数列的三项可以为.（只需写出一组）

【解析】因为数列｛%｝的通项公式为an=3n-1,所以数列｛aj中

的项依次为2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35......

易得T4所以2,8,32能构成等比数列.

答案：2,8,32

7.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关,

前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关

六而税一,并五关所税,适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有

人持金出五关，第1关收税金1，第2关收税金!，第3关收税金1,

第4关收税金!，第5关收税金1,5关所收税金之和，恰好1斤重,

设这个人原本持金为x,按此规律通关第8关1则第8关需收税金

为x.

【解析】第1关收税金：;X；

第2关收税金：;[1-0X=*X；

第3关收税金：;1mx二击x；…，可得第8关收税金：£

x,即

1

72x-

答案：*

8.各项均为正数的等比数列｛aj中,a2-ai=1.当a3取最小值时，数

列｛an｝的通项公式an=

【解析】设等比数歹I」的公比为q(q>0),

1

由a2-ai=1,得ai(q-1)=1,所以ai=

q-1

a3=aiq^^

(q>o)，

q-1~+~

qq

_j_i1

而-q2+qM2+4，①

当q=2时，①式有最大值1,

所以当q=2时，a3有最小值4.

止匕时二二一=—^—=1.

q-12-1

n

所以数列｛an｝的通项公式为an=2-i(n£N*).

答案：2n-'(nEN*)

三、解答题(每小题10分，共30分)

9.设数列⑸｝的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+i=4an+2.

⑴设b『an+i-2an,证明：数列｛%｝是等比数歹U；

(2)求数列｛a。｝的通项公式.

【解析】⑴由已知，有ai+a2=4ai+2,所以a2=3ai+2=5,故bi

=a2-2ai=3.

-

又an+2—Sn+2Sn+1—4an+1+2-(4an+2)=4an+14an,于是an+2

2an+i=

2(an+i-2an),即bn+i=2bn.

因此数列｛&｝是首项为3,公比为2的等比数列.

(2)由⑴知等比数列｛悦｝中,5=3,公比q=2,

所以an+1-2an=3x2n」.于是,

因此数列［册是首项为;,公差为1的等藜列，

an1/331

吩=2+(n-1)X4=4n'4•

所以an=(3n-1>2-2.

10.已知Sn是公差不为0的等差数列｛an｝的前n项和，S5=35,由，

34,ai3成等比数列.

(1)求数列｛a。｝的通项公式；

(2)求数列的前n项和Tn.

【解析】⑴因为s5=5a3=35,所以a3=7,

设｛a"公差为d,因为由，如,a”成等比数列,

2

所以a；=aiai3,即(7+d)=(7-2d)(7+10d),

解得d=0(舍)或2,因为a3=ai+2d=7,

所以ai=3,所以an=2n+1.

n(2n+4)

(2)由(1)知Sn=----5-----=n(n+2),

所以Tn=2(Y-3

n-1n+111

3

42(n+1)(n+2)

Sn+n

H.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且an=^—,nGN*.

⑴若数列｛an+t｝是等比数列，求t的值；

(2)求数列｛a。｝的通项公式；

(3)记bn=」一+二一，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

+1+1

【解析】(1)①当n=1时,

Si+1Hl+1

由ai=,得ai=1；

②当n>2时，an=Sn-Sn-1=2an-n-2an7+(n-1)卸an=