2020-2021学年新教材人教A版必修第二册 直线与平面平行作业2

2020-2021学年新教材人教A版必修第二册直线与平面平行

作业

一、选择题

1、在正方体ABCO-ABCIO中，E为棱CD上一点,且CE=2DE,/为棱人4

的中点，且平面8防与°鼻交于点G,则与G与平面A6CO所成角的正切值为

（）

72V2572572

A.12B.6c.12D.6

2、如图，各棱长均为。的正三棱柱AB。-4旦£,加、N分别为线段48、B、C

上的动点，且MN〃平面ACG4,M,N中点S轨迹长度为6,则正三棱柱

ABC-A4cl的体积为（）

A.6B.C.3D.26

3、已知“，b,c分别表示三条直线，a表示平面，给出下列四个命题

①若a〃a,blla,贝；］〃//%②若bua,a!Ih9贝

③若aJ_c,b±cf贝fja//》；④若a_La,b±at则a//。.

其中正确命题的个数有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

4、已知m,n是两条不重合的直线，a,P是不重合的平面，下面四个命题中正确

的是（）

A.若mua,n//a,则m//n

B.若m_Ln,mJ-P,则

C.若ac0=n,m//n,则m//a且m//0

D.若m，a,mlP,则

5、如图，记长方体被平行于棱BIG的平面EFG”截去右上部分

后剩下的几何体为Q,则下列结论中不正确的是（）

A.EH//FG

B.四边形瓦GH是平行四边形

c.Q是棱柱

D.Q是棱台

6、下列说法正确的有（）

A.正三棱锥的三个侧面重心所确定的平面与底面平行

B.设m为圆锥的一条母线，则在该圆锥底面圆中，有且只有一条直径与m垂直

C.对于任意一个正棱柱，都存在一个球，使得该正棱柱的所有顶点都在此球面上

D.设AB,CD分别为圆柱上？下底面的弦，则直线AB,CD间距离等于该圆柱母线

长

7、正方体4BO。一点石，尸分别是'4，4G的中点，则所与所成

角的余弦值为（）

_LJ.

A.0B.5c.4D.3

8、在长方体AgCQ中，A8=8C=1,A4,=色E>F,p,Q分别为棱

AB,AO,DR,网的中点，则下列结论正确的是（）

A.ACIBPB.平面EFPQ

也

C.8C"/平面EFPQD.直线4°和AC所成角的余弦值为4

9、已知四棱锥S-舫。所有的棱都相等，过8□与SC平行的平面与SA交于点E,

则座与8所成角的大小是（）

A.30。B.45。&60。D.90。

10、如图，在正方体AB。。—中，M,N,尸分别是的中点，

有下列四个结论：

①AP与CM是异面直线；

②AP,CN,皿相交于一点；

③MNIIBD、.

④MN//平面BBRD.

其中所有正确结论的编号是（）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

11、如果直线皿直线n,且m〃平面a,那么n与a的位置关系是（）

A.相交B.n//aC.nuaD.n//a或nca

12、如图直三棱柱ABC-4gG中，点M,N分别为48和的中点，则三棱

锥A-MNC体积与三棱柱ABC-A4G体积之比为（）

A.1：4B.1：5c.i：6D.1：7

二、填空题

13、正四棱柱ABCO-AgGD中，AB^AD^l,E为四中点，若点P满足

—>—>

AP^APD,且BP〃平面AER,则4=.

14、在长方体ABC°-A4G3中，E,尸分别为棱CG,42的中点，平面跳万

AG

与侧棱A4的交点为G,则4G.

15、如图，在矩形ABCO中，BC=2AB=2,N为BC的中点，将AABN沿AN

翻折成（片纪平面AB8）,M为线段的中点，则在AABN翻折过

程中给出以下四个结论：

①与平面片AN垂直的直线必与直线CM垂直；

为

②线段CM的长为2.

好

③异面直线CM与'与所成角的正切值为3.

④当三棱锥。一AN片的体积最大时，三棱锥D-ANB,外接球的表面积是4万.

其中正确结论的序号是.（请写出所有正确结论的序号）

16、已知棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E,F,M分别是线段AB、AD、AA的

中点，又P、Q分别在线段AB、AD上，且AP=AQ=x（0<x<l）.设平面MEFCI平面

MPQ

=1,现有下列结论：

①1〃平面ABCD；

②1_LAC；

③直线1与平面BCCB不垂直；

④当x变化时，1不是定直线.

其中不成立的结论是.（写出所有不成立结论的序号）

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，PA，矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中

点.

（1）求证:MN〃平面PAD.

（2）若PD与平面ABCD所成的角为45",求证：MN1平面PCD.

18、（本小题满分12分）如图直三棱柱ABC-A4c中AC=2A4,,ACLBC,D、

£分别为AC、AB的中点.

求证：（1）AD_L平面BCD；

（2）4"〃平面8CO.

19、（本小题满分12分）如图，已知三棱锥A-BPC中，AP'PCACJ.BC,M为

AB的中点，D为PB的中点，且△外仍为正三角形.

（1）求证：平面APC；

（2）若BC=4,AB=10,求三棱锥D-BCM的体积.

参考答案

1、答案C

解析根据平面.CD//平面4耳G。，可知所求角为假设正方体棱长为6,

求解出D'G和g2,从而得到结果.

详解

因为平面ABCD〃平面4片GQ

所以gG与平面ABCO所成角即为用G与平面A5GA所成角

可知BG与平面所成角为NO4G.

设AB=6,则AF=3,DE-2

平面BEFC面=GE且8产〃面CDD£,可知BF//GE

AFDG3DG

则ABDE，即62nDG=1,2G=5

一D。_5_572

teallnLZ/-DJL/IURIGV/-

在放BR6>/2

MAG中，12

5」

故用G与平面ABC。所成角的正切值为12

本题正确选项：c

点睛

本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，

再利用直角三角形求得结果.

2、答案D

解析设AA，86],CG的中点分别为。,E,",判断出MN中点S的轨迹是等边三角形

。所的高，由此计算出正三棱柱的边长，进而计算出正三棱柱的体积.

详解

设AA，54，CC|的中点分别为O,E,F,连接。由于MN//平面

ACGA,所以A“=CN.当A"=CN=°时，MN中点S为平面ACG4的中心，

即的中点（设为G点）处.当4"=CN=缶时，此时MN的中点S为84的中

点.所以S点的轨迹是三角形。所的高EG.由于三角形。即是等边三角形，而

EG=Ji,所以”=2.故正三棱柱的体积为4~.

故选：D

点睛

本小题主要考查线面平行的有关性质，考查棱柱的体积计算，考查空间想象能力，考查

分析与解决问题的能力，属于中档题.

3、答案B

解析根据线线平行、线面平行有关知识对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.

详解

①，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以①错误.

②，直线a可能在平面a内，故②错误.

③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，故③错误.

④，垂直于同一平面的两条直线平行，故④正确.

所以正确的命题个数有1个.

故选：B

点睛

本小题主要考查线线平行，线面平行有关命题的真假性判断，属于基础题.

4、答案D

解析根据空间中线线、线面以及面面位置关系，逐项判断即可.

详解

由m,n是两条不重合的直线，a,P是不重合的平面，知：

在A中，若mua,n//a,则m与n平行或异面，故A错误；

在B中，若m，n,m_L£则n//p或nup,故B错误；

在C中，若acB=n,m//n,则m//a且m/犀或m//a且mup或mua且m/不，

故C错误；

在D中，若111_101,mJ-P,则由面面平行的判定定理得a/单，故D正确.

故选：D.

点睛

本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关的定理和概念即可，属于常考题型.

5、答案D

解析详解：：，Bq//AR,EH//B]J.又...BC//平面EFGH,

4Gu平面始BCC],平面EFGHPl平面B£//FG,...EHIIFG，

故A对；又•••,•••四边形是平行四边形，EH=同理

BC=FG,故EH=FG.故四边形EFG”是平行四边形.故B对；把平面角母法4，

平面DCGHA看做底面，其余各面是平行四边形，故Q是棱柱，故C对，D错.

考点：1.直线与平面平行的性质定理；2.空间中直线与直线的位置关系.

6、答案ABC

详解：解：对于A选项，正三棱锥的底面是正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形（三

线合一），根据重心的性质可得三个侧面的重心将此正三棱锥三个侧面等腰三角形的中

AGAHAI2

线分为2：1的比例，如图1,即：GE~HF~IJ~,所以GH//EF,又EFu平

面BCD,平面BC£>,故G"//平面3CO,同理得印〃平面BCD,由于

GHp\HI=Ht所以平面G4///平面BCD；故选项A正确；

对于B选项，如图2,PC为母线"J2°为圆锥的高，连接CO,即CO是PC在底面

的射影，过。作℃,至，根据平面的性质得，过。作℃的垂线有且只有一条，故

B选项正确；

对于C选项，由于正棱柱的中心到正棱柱的各个顶点的距离相等，故满足球心到球面上

的任意点的距离相等且等于半径，故正棱柱的中心就是其外接球的球心，故C选项正确;

对于D选项，如图3,A。或3c均不是圆柱的母线，故D选项错误.

故选：ABC

点睛

本题考查空间几何体的结构特征与点线面的位置关系，解题的关键在于熟练掌握各简单

几何的结构特征，并在解题的过程中，注意数形结合，做出相应的图象或者反例的图象,

即可得答案.

7、答案A

BC

解析连接叫i,证明EFHBG,//CB1,再根据因1CBt，可得所-J-

即可得到EF与所成角的余弦值.

详解

解：连接BG

A8C£）-A4G。1是正方体，

・•・DA,//CB1nBC、±CB,

因为点后，尸分别是8片，用G的中点

即E尸与成直角，

则Eb与％所成角的余弦值为°

故选：A

点睛

本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题.

8、答案ACD

解析A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面

平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角

的余弦值.

详解

A.如图所示，

因为AB=BC=1,所以四边形A5CD是正方形，所以ACJ.BD,

又因为几何体为长方体，所以。平面ABCD,所以

又因为所以AC_L平面8叩，

又因为BPu平面所以AC_L3P,故结论正确；

B.如图所示，

假设8”平面由。，因为「Qu平面由Q,所以片DIP。，

显然BQ,P°不成立，故假设错误，所以结论错误；

c.如图所示，

连接见吗由条件可知即〃即，尸尸〃明明〃阴,所以FPig,

又因为gn即=89NP=5，所以平面明。//平面EFPQ,

又因为8C|U平面8CQ,所以BC"/平面EFPQ,故结论正确；

D.如图所示，

连接C4，叫，因为DA,//%所以4。和AC所成角即为N4C4或其补角，

_4+2_4_V2

A

由条件可知：40=2,蝴=2,40=下，所以c°sN4c2-2.A/24,故结论正

确.

故选：ABD.

点睛

本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体

几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平

移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角.

9、答案A

解析要求异面直线BE与8所成角，又AB//CD,根据异面直线所成的角的定义可知

N4BE就是BE与CD所成角，而SC//平面8DE,由线面平行的性质定理可得

SCHOE,再结合°是的中点，可得E是SA的中点，在正△&山中即可求出N4BE

的大小.

详解：设ACClBO=O,连接0E,

由SC//平面8£）石，SCu平面SAC,平面SACD平面8DE=OE,

所以SC//OE,由。是BD的中点，得E是斜的中点，

因为AB//C0,所以乙钻石就是仍与8所成角，

因为ASAB为正三角形，所以NABE=30°.

故选：A.

点睛

本题主要考查求异面直线所成的角，同时考查线面平行的性质定理，属于中档题.

10、答案B

解析利用异面直线的概念，以及线面平行的判定定理，逐项判定，即可求解.

详解：-----------«

-.MP//AC,MP^AC二ARCM是相交直线，设APcCW=G,

则Ge平面A。％且Ge平面GCDD1,又平面AO'Ac平面C{CDD]=DDX,

所以AP,CM,DR相交于一点，故①不正确，②正确；

设ACC|BD=O,连ON,OD\,则有°N//D]M,ON=D]M,所以四边形为

平行四边形，则加“//°A,所以③不正确；

又W平面阴°Ru平面期OQ,所以MN//平面BBQQ,则④正确.

故选：B

点睛

本题主要考查了空间中的点，线，面的位置关系的判定，考查了学生的空间想象能力与

逻辑推理能力.

11、答案D

解析利用直线与平面平行的判定定理和直线与平面平行的性质进行判断即可.

详解：•,直线m〃直线n,且m//平面/

•'1当n不在平面a内时，平面a内存在直线m〃m=n//m，，

符合线面平行的判定定理可得n〃平面a,

当n在平面a内时，也符合条件，

n与a的位置关系是n//a或nu%故选D.

点睛

本题主要考查线面平行的判定定理以及线面平行的性质，意在考查对基本定理掌握的熟

练程度，属于基础题.

12、答案C

解析根据中点以及直三棱柱的特点将三棱锥A一MN。的体积等价转换为容易计算的

三棱锥的体积，从而可得两几何体的体积之比.

详解

11

-=-以

一—匕「MN。=V—AMN~2A咖2-

因为“是的中点，所以A

又因为你”平面8℃片，所以9-CBN=%-CBN,

一一，RC//一一A~,匕一CBN=%-A8C=%-A8C=彳匕冏G-A8C

又因为平面A3C,所以3111,

1

7匕

r=

V/-

,VA,-MNC6

所以所以体积比为1：6.

故选：C.

点睛

本题考查空间几何体体积的计算与几何体体积之间的关系，难度一般求解几何体体积

之比时，注意转换几何体的顶点简化计算.

13、答案:

解析先猜想点P为A。的中点，取A2的中点尸，连接即、PF,再证明BP//平面

AED'.结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形6。户£为平行四边形，从而

BP//EF,然后由线面平行的判定定理可证得3尸//平面AE%

详解：如图所示，分别取A2、A。的中点尸、P,连接防、PF,此点P即为所求.

证明如下：

•・F、P分别为A2、A。的中点，

FP=DD

:.FP//D]D2'

•.•E为B耳中点，

BE=-BB.

2,

▽D、D//BB、

:.FP//BE,FP=BE,

，四边形BFFE为平行四边形，

:.BPHEF9

•••BP①平面AEDI,所u平面BPFE,

.•.族//平面4E。.

由于P为A£＞的中点，

2=-

所以2.

故答案为：2.

点睛

本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，

熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，

属于中档题.

14、答案3

解析如图，分别取棱。鼻，AA的中点N,M,连接AN,根据线面平行的性

质可得

BEHFG,可判断G是"A的三等分点.

详解：如图，分别取棱。。，A4的中点N,M,连接AN.2用，

则D,M//AN//BE,所以RM//BE

­.­BE//平面A。。A,则BE//FG.

AG

---=3o

因为尸为棱AA的中点，所以6为4加的中点，所以4G.

故答案为：3.

点睛

本题考查线面平行的性质，属于基础题.

15、答案①②④

解析①CM〃平面片AN,则可判断；②通过线段相等CM=NE,可求出线段NK的

长；②异面直线CM与N与所成角为NENA,求出其正切值即可；④找出球心，求出

半径即可判断其真假.从而得到正确结论的序号.

详解：如图，取A4的中点为E,A。的中点为产，连接EN,EM,FN,男产，

则四边形CNEM为平行四边形，直线CM〃平面所以①正确；

CM=NE=1+—=—

'SI2,所以②正确；

因为CMHEN,异面直线CM与'片的所成角为NEN",

tan/EA"=-

2,所以③错误；

当三棱锥口-4Vq的体积最大时，平面B]AN与底面ABCO垂直，

可计算出4°=但A8|=i,Ak+qo'A,所以乙3。=90。，

同理NAND=90°,

所以三棱锥。一4V耳外接球的球心为厂，半径为1,外接球的表面积是4万，④正确.

故答案为：①②④.

点睛

本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度,

长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目.

16、答案④

解析详解：连接BD,BD,：AF=A,Q=x,；.PQ〃BD〃BD〃EF,则PQ〃平面MEF,

又平面MEFC1平面MPQ=1,，PQ〃1,I//EF,

...1〃平面ABCD,故①成立；

又EFJ_AC,AllAC,故②成立；

•.T〃EF〃BD,故直线1与平面BCCB不垂直，故③成立；

当X变化时，1是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立.

即不成立的结论是④.

17、答案（1）证明见详解；（2）证明见详解.

（2）首先利用线面垂直的判定定理证明平面PCD,再根据MN//AE即可证出.

详解：（1）取PD的中点E，连接EN,

vM,N分别是AB,PC的中点，

.•.AM//C。且AM=-CD,

2

EN//CD^EN=、CD,

2

:.AM//EN且AM=EN,

四边形AMNE为平行四边形，

AEJ/MN,

又：A£u平面PAD,肱Vz平面PAD,

.•.MN//平面PAD.

（2）若PD与平面ABCD所成的角为45°,

PA1矩形ABCD所在平面，可得PA1AD

则以=4）,所以AE_L尸D,

又ABCD为矩形，则CD_LA。，

由PA1平面ABCD,则Q4_LCD,

ADC\PA=A,

\CD八平面尸4）,

•••AEu平面？AD,

:.CDA.AE,

PDC\AD^D,

.•.AE，平面PCD,

•••AE//MN，,MN1平面PCD.

点睛

本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理，考查

了逻辑推理能力，属于基础题.

解析

18、答案（1）见解析；（2）见解析.

（D由判断定理,BC1AD,CD1AD,则ADJ_平面BCD.

（2）AiE//0D,而ODCBCDAAiE//5?®BCD

试题解析：

（1）•.•直三棱柱ABC-ABG中CC」平面ABC,又BCU平面ABC

ACCilBC,XVAC1BC,ACACC1=C,AC,CCC平面AACC

...BC_L平面AACC,而ADU平面AACC.,BCLAD①

1TC

又该直三棱柱中AA」AC,CC-AC由已知AA产式AC=AD,则NAiDA="y

24

兀7t

同理NGDC=—,则NADC=—,即CD_LAD