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§5-2

微积分学基本定理一问题的提出二变上限积分及其导数三牛顿—莱布尼茨公式问题提出一、问题的提出由上一节知道,如果物体以v=v(t)作变速直线运动,另一方面,这段路程可表示为于是有上述关系式表示速度函数在区间[T1,T2]上的定积分等于则它在时间间隔[T1,T2]内经过的路程为定积分v(t)的原函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量.变上限积分二、变上限积分及其导数考察定积分记变上限积分上的一点，

一个取定的上定义了一个函数，值，定积分有一个对应值，所以它在变上限积分的性质：证：b(1)

上连续，则变上限积分

定理１如果在xyoa由积分中值定理得推论证则的导数解

例2求解：原式=

例

1例3解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.定理2（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数就是一个原函数.在上的之间的联系.N-L公式定理3（微积分基本公式）证三、牛顿—莱布尼茨公式一个原函数，则。令令牛顿—莱布尼茨公式．微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.又可写成它的任意一个原函数在区间上的增量.例4

原式解例5

求

解解

面积πx0

成的平面图形的面积.

例6

y例7定积分解3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学

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