河南省商丘市商师联盟2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题

2023～2024学年度高二下学期期末联考试卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，集合与常用逻辑用语，不等式，函数．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．命题“”的否定是（）A． B．C． D．3．设随机变量，若，则（）A． B． C． D．4．五人站成一排拍照，其中甲、乙必须相邻且两人均不能站两端，则不同的站法有（）A．48种 B．36种 C．24种 D．12种5．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．对数函数与二次函数在同一坐标系内的图象可能是（）A． B． C． D．7．某人外出，委托邻居给家里盆栽浇一次水，若不浇水，盆栽枯萎的概率为0.8T若浇水，盆栽枯酱的概率为0.2．若邻居浇水的概率为，该人回来时盆栽没有枯萎的概率为0.74，则实数的值为（）A．0.9 B．0.85C．0.8 D．0.758．函数若关于的方程恰有两个不同实数根，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列四个命题中是假命题的为（）A．B．集合与集合是同一个集合C．“为空集”是“与至少有一个为空集”的充要条件D．已知，则是的充分不必要条件10．已知，且，则（）A． B．C． D．11．设随机变量，函数没有零点的概率是，则下列说法正确的是（）附：若，则．A．随机变量的数学期望是1 B．随机变量的方差是2C． D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中项的系数为______．13．已知为偶函数，且在上单调递增，若，则实数的取值范围是______．14．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第次向左跳动的概率为，则____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）（1）已知，求的最小值；（2）求函数的定义域．16．（本小题满分15分）电视剧《庆余年2》自2024年5月16日在CCTV-8和腾讯视频双平台开播以来，其收视率一路飙升，《庆余年2》剧组为了解该剧的收视情况，在喜欢看电视的居民中随机抽取了1000名居民进行调查，其中，男性居民和女性居民人数之比为，且观看本剧的居民比没有观看本剧的居民多800人，没有观看本剧的女性居民有50人．（1）完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为是否观看《庆余年2》与性别有关联？男性居民女性居民总计看过《庆余年2》没看过《庆余年2》50总计1000（2）在这1000名居民中，按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，并从这9人中随机抽取3人采访其观剧感受，记这3人中男性居民的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.82817．（本小题满分15分）脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换．近日埃隆．马斯克宣布，脑机接口公司Neuralink正在接收第二位植入者申请，该试验可以实现意念控制手机和电脑．未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．7.52.2582.504.5012.142.88（1）根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）（2）根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）附：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为18．（本小题满分17分）已知函数为偶函数．（1）求的值；（2）设函数，是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分17分）对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”．（1）若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；（2）设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；（3）若定义在上的函数和的图象均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要不充分条件．2023～2024学年度高二下学期期末联考试卷・数学参考答案、提示及评分细则1．B ，所以．故选B．2．C 命题“”中含有全称量词，故该命题的否定需要将全称量词改为存在量词，且只否定结论，不否定条件，所以该命题的否定为“”．故选C．3．D 由题意知，，解得，所以．故选D．4．C 由题意，首先将甲、乙两人捆绑，有种方法，其次将捆绑后的甲、乙安排在中间2个位置，有种方法，最后将剩余3人全排列，有种方法，所以不同的站法有种．故选C．5．B 的解集为，即恒成立，当时，即，不符合题意；当时，则解得．综上所述，实数的取值范围是．故选B．6．A选项A、B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能；选项C、D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，．不可能；选项C中，由图象与轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．故选A．7．A记为事件“盆栽没有枯萎”，为事件“邻居给盆栽浇水”，由题意可得，由对立事件的概率公式可得，由全概率公式可得，解得．故选A．8．B 作出的图象如下图：可化为，解得或，由图可知无解，故问题等价于有两个不相等实数根，由图象可得．故选B．9．BCD 对于A，当时，，故，A为真命题；对于B，集合与集合不是同一个集合，B为假命题；对于C，不妨设，此时“为空集”，但不满足“与至少有一个为空集”，故充分性不成立，C为假命题；对于D，，解得或2，不妨设，满足，但不能推出，则不是的充分条件，D为假命题．故选BCD．10．BCD 对于A，因为，所以，当且仅当时，等号成立，A错误；对于，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，则，B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，C正确；对于D，，故，当且仅当时，等号成立，D正确．故选BCD．11．ACD 当函数没有零点时，，得，又因为没有零点的概率是，所以，由正态曲线的对称性知，所以，即，故A正确，B错误；又，所以，故C正确；又，所以，所以，故D正确．故选ACD．12．15 的二项展开式的通项，令，得，所以的展开式的项的系数为．13． 因为为偶函数，所以函数的图象关于对称，又在上单调递增，，所以，解得．14． 由题意，得，由，设，则，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，所以15．解：（1）因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为8．（2）对于函数，则即解得或，所以函数的定义域为．16．解：（1）列联表如下：男性居民女性居民总计看过《庆余年2》400500900没看过《庆余年2》5050100总计4505501000零假设为：是否观看《庆余年2》与性别无关联，由列联表中的数据，得，依据小概率值的独立性检验，可以推断成立，因此可以认为是否观看《庆余年2》与性别无关联．（2）按性别比例用分层随机抽样的方法从看过《庆余年2》的居民中随机抽取9人，则男性居民抽取4人，女性居民抽取人，的可能取值为，．所以的分布列为012317．解：（1）选择模型②．（2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有．则所以则关于的经验回归方程为．所以关于的经验回归方程为．由题意，，解得，又为整数，所以．所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人．18．解：（1）由题意知函数的定义域为，因为为偶函数，所以对任意的恒成立，即，即，即对任意的恒成立，所以，解得．（2）由（1）知，，则，令，则，其对称轴为，①当，即时，在上单调递减，所以，由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值．②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，由，解得，或，又，所以．③当，即时，在上单调递增，所以，由，解得，不满足，此时不存在符合题意的值．综上所述，存在，使得函数在区间上的最小值为．19．证明：（1）因为是上的偶函数，故对任意的都有，又是的“从属函数”，所以恒成立，即对任意的成立，故是偶函数．（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，有而，所以，因此，当时，函数是函数的“从属函数”．（3）举反例证明不具备充分性．令，显然在上是严格增函数，因为，所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．因此是严格增函数或严格减