第9章 第6课时　二项分布、超几何分布与正态分布-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

二项分布、超几何分布与正态分布[考试要求]1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2．借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．1．n重伯努利试验与二项分布(1)n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．(2)二项分布在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p(3)两点分布与二项分布的均值、方差①若随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．2．超几何分布(1)定义在含有M件次品的N件产品中，随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝CMkCN−Mn−kCNn，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，M，N∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－(2)超几何分布的均值若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝nMN3．正态曲线与正态分布(1)我们称f(x)＝1σ2πe−(x−μ)22(2)若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．(3)正态曲线的特点①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；②曲线在x＝μ处达到峰值1σ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．(4)正态变量在三个特殊区间内取值的概率①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．(5)正态分布的均值与方差若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．提醒：正态分布是连续型随机变量，要注意它是用面积表示概率，解决问题一定用到对称性．一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布． ()(2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布． ()(3)超几何分布与二项分布的期望值相同． ()(4)正态曲线与x轴围成的面积随参数μ，σ的变化而变化． ()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×二、教材经典衍生1．(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，则3次中恰有2次抽到黄球的概率是()A．25 B．3C．18125 D．D[袋中装有2个红球，3个黄球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黄球的概率P1＝35，∴3次中恰有2次抽到黄球的概率P＝C322．(人教A版选择性必修第三册P78探究改编)设50个产品中有10个次品，任取产品20个，取到的次品可能有X个，则E(X)＝()A．4 B．3C．2 D．1A[由题意，E(X)＝10×2050＝4.故3．(人教A版选择性必修第三册P87练习T2改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977C[∵μ＝0，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954．]4．(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝2)＝________．310[由题意得P(X＝2)＝C32考点一二项分布二项分布的期望[典例1]小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是23(1)求比赛结束时恰好打了7局的概率；(2)若现在是小明6∶2的比分领先，记X表示结束比赛还需打的局数，求X的分布列及期望．[解](1)恰好打了7局小明获胜的概率P1＝C642恰好打了7局小亮获胜的概率P2＝C641∴比赛结束时恰好打了7局的概率为P＝P1＋P2＝15×25+15×(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X＝2)＝232＝P(X＝3)＝C21×23P(X＝4)＝C31×23P(X＝5)＝C41×23∴X的分布列为X2345P48138E(x)＝2×49＋3×827＋4×1381＋5×8二项分布的性质[典例2](2024·湖南长沙模拟)若X～B100，13，则当kA．P(X＝k)≤P(X＝50)B．P(X＝k)≤P(X＝32)C．P(X＝k)≤P(X＝33)D．P(X＝k)≤P(X＝49)C[由题意，得PX=k即C100k13k23100−k≥C100k−113k−123101−k二项分布问题的解题关键定型①在每一次试验中，事件发生的概率相同．②各次试验中的事件是相互独立的．③在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生定参确定二项分布中的两个参数n和p，即试验发生的次数和试验中事件发生的概率提醒：下列问题能转化为二项分布①条件不变，重复进行试验，一般取球后再放回；②该地区人数多或不知总体，从中抽取几个；③某产品服从正态分布，若干个产品服从二项分布；④用频率表示概率，有时转化为二项分布．[跟进训练]1．某地区鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)．(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及数学期望E(X)；(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？[解](1)依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3．则P(X＝0)＝0.2(1－p)2＝0.2p2－0.4p＋0.2，P(X＝1)＝0.8×1−p2+0.2×C21×p×(1－p)＝0.8(1－p)2＋0.4p(1－p)＝P(X＝2)＝0.2p2+0.8×C＝0.2p2＋1.6p(1－p)＝－1.4p2＋1.6p，P(X＝3)＝0.8p2.X的分布列为X0123P0.2p2－0.4p＋0.20.4p2－1.2p＋0.8－1.4p2＋1.6p0.8p2E(X)＝0×(0.2p2－0.4p＋0.2)＋1×(0.4p2－1.2p＋0.8)＋2×(－1.4p2＋1.6p)＋3×0.8p2＝2p＋0.8.(2)当p＝0.9时，E(X)取得最大值．①一棵B种树苗最终成活的概率为0.9＋0.1×0.75×0.8＝0.96.②记Y为n棵树苗的成活棵数，M为n棵树苗的利润，则Y～B(n，0.96)，E(Y)＝0.96n，M＝300Y－50(n－Y)＝350Y－50n，E(M)＝350E(Y)－50n＝286n，要使E(M)≥200000，则有n＞699.所以该农户为获利不低于20万元，需至少引种700棵B种树苗．【教师备选资源】1．已知随机变量X～B(6，0.8)，若P(X＝k)最大，则D(kX＋1)＝________．24[由题意知，P(X＝k)＝C6k·0.26-k·0.8要使P(X＝k)最大，有C解得235≤k≤285，故k又D(X)＝6×0.8×0.2＝0.96，故D(kX＋1)＝D(5X＋1)＝52D(X)＝24．]2．(2024·湖南株洲模拟)M1，M2是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用M1，另2只服用M2，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用M1有效的小白鼠的只数比服用M2有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用M1有效的概率为12，服用M2有效的概率为1(1)求一个试验组为优类组的概率；(2)观察3个试验组，用ξ表示这3个试验组中优类组的个数，求ξ的分布列和数学期望．[解](1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用M1有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2，Bi表示事件“一个试验组中，服用M2有效的小白鼠有i只”，其中i＝0，1，2.依题意有：P(A0)＝12×12＝14，P(A1)＝2×12×12＝12P(B0)＝23×23＝49，P(B1)＝2×13×23＝49则一个试验组为优类组的概率P＝P(B0·A1)＋P(B0·A2)＋P(B1·A2)＝49×1(2)由题意可知ξ～B3，P(ξ＝0)＝593＝P(ξ＝1)＝C31×P(ξ＝2)＝C32×P(ξ＝3)＝493＝则ξ的分布列为ξ0123P1251008064ξ的数学期望为Eξ＝3×49＝43．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为23和3(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为多少？[解](1)记“甲射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A1，则事件A1的对立事件A1为“甲射击4次，全部击中目标”故P(A1)＝C44所以P(A1)＝1－P(A1)＝1－1681＝所以甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率为6581(2)记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B2，则P(A2)＝C42×P(B2)＝C43×由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝827×27所以两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为18(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di(i＝1，2，3，4，5)，则A3＝D5D4D3(D2D1∪D2D1∪D2D1由于各事件相互独立，故P(A3)＝P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1＋D2D1＋D2D所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451024考点二超几何分布[典例3]某公司采购部需要采购一箱电子元件，供货商对该电子元件整箱出售，每箱10个．在采购时，随机选择一箱并从中随机抽取3个逐个进行检验．若其中没有次品，则直接购买该箱电子元件；否则，不购买该箱电子元件．(1)若某箱电子元件中恰有一个次品，求该箱电子元件能被直接购买的概率；(2)若某箱电子元件中恰有两个次品，记对随机抽取的3个电子元件进行检验时次品的个数为X，求X的分布列及期望．[解](1)设某箱电子元件有一个次品能被直接购买为事件A，则PA＝C93C(2)由已知得10个元件中有2个次品，8个正品，随机抽取3个电子元件进行检验时，次品的个数为X，X可取0，1，2.P(X＝0)＝C83CP(X＝1)＝C82CP(X＝2)＝C81C所以X的分布列为X012P771故E(X)＝0×715＋1×715＋2×115(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布．(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．[跟进训练]2．(2024·重庆模拟)已知一个袋子中装有大小、形状完全相同的3个白球和2个黑球．(1)若从袋中一次任取3个球，设取到的3个球中有X个黑球，求X的分布列及数学期望；(2)若从袋中每次随机取出一个球，记下颜色后将球放回袋中，重复此过程，直至他连续2次取到黑球才停止，设他在第Y次取球后停止取球，求P(Y＝5)．[解](1)X的可能取值为0，1，2，P(X＝k)＝C2kC3所以X的分布列为X012P133故X的数学期望E(x)＝3×25＝6(2)当Y＝5时知第四、五次取到的是黑球，第三次取到的是白球，前两次不能都取到黑球，所以所求概率P(Y＝5)＝1−25×【教师备选资源】(多选)(2023·湖北武汉二调)已知离散型随机变量X～B(n，p)，其中n∈N*，0<p<1，记X为奇数的概率为a，X为偶数的概率为b，则下列说法中正确的有()A．a＋b＝1B．p＝12时，a＝C．0<p<12时，a随着nD．12<p<1时，a随着nABC[对于A选项，由概率的基本性质可知，a＋b＝1，故A正确；对于B选项，由p＝12时，离散型随机变量X～Bn则P(X＝k)＝Cnk12k1−1所以a＝12n(Cn1+Cn3+b＝12n(Cn0+Cn2+所以a＝b，故B正确；对于C，D选项，a＝1−p+pn−当0<p<12时，a＝1−1−2pn2大于0且单调递增，故a随着当12<p<1时，随着n的增大，a考点三正态分布[典例4](1)(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是()A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c的值为________，P(－4≤X≤8)＝________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)＝0.9545)(1)D(2)20.9545[(1)σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，A正确．由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，B，C正确．D显然错误．故选D.(2)由X～N(2，9)可知，正态分布的图象关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.∴P(－4≤X≤8)＝P(2－2×3≤X≤2＋2×3)＝0.9545．]【教师备选资源】对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N0，2n，为使误差εn在[－0.5，0.5]的概率不小于0.9545，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|≤2σ)32[P(|εn－μ|≤2σ)≈0.9545，又μ＝0，σ2＝2n，即P(μ－2σ≤εn≤μ＋2σ)＝P−22n≤εn≤22n≈0.9545，由题意知2σ解决正态分布问题的三个关键点(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率；μ决定正态曲线位置，σ的大小决定正态曲线的稳定与波动大小，即高矮与胖瘦；注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.[跟进训练]3．(1)设两个正态分布N1μ1，σ12(σA．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(多选)(2024·石家庄模拟)若随机变量X～N(1，σ2)，且正态分布N(1，σ2)的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是()A．12－P(X≤B．12－P(X≥C．12P(X≤2)－12P(XD．12－P(1≤X≤(3)为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．经数据分析，高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布X～N(100，17.52)．已知成绩在117.5分以上(不含117.5分)的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为________；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有________人．(若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545)(1)A(2)ABC(3)0.1586511[(1)根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.(2)根据正态分布的性质可知，正态密度曲线关于直线x＝1对称，所以题图中阴影部分的面积为12－P(X≤0)，A正确；根据对称性，P(X≤0)＝P(X≥2)，B正确；阴影部分的面积也可以表示为PX≤2−PX≤02，C正确；阴影部分的面积也可以表示为P(0≤X≤1)，而P(0≤(3)因为数学成绩X服从正态分布N(100，17.52)，则P(100－17.5≤X≤100＋17.5)＝P(82.5≤X≤117.5)≈0.6827，所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率P(X<82.5)＝1−P82.5≤X≤117.52≈1−0.68272＝0.15865．又P(100－17.5×2≤X≤100＋17.5×2)＝P(65≤X≤135)≈0.9545，所以数学成绩特别优秀的概率又P(X<82.5)＝P(X>117.5)＝0.15865，则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是800.15865×0.02275≈11【教师备选资源】(2023·江苏南通一模)已知随机变量X～N(μ，σ2)，有下列四个命题：甲：P(X>m＋1)>P(X<m－2)；乙：P(X>m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；丁：P(m－1<X<m)<P(m＋1<X<m＋2)如果只有一个是假命题，则该命题为()A．甲 B．乙C．丙 D．丁D[因为只有一个假命题，故乙、丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，所以乙、丙一定都正确，则μ＝m，P(X>m＋1)＝P(X<m－1)>P(X<m－2)，故甲正确，根据正态曲线的对称性可得P(m－1<X<m)＝P(m<X<m＋1)>P(m＋1<X<m＋2)，故丁错误．故选D.]超几何分布二项分布区别描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个的取考察对象分为两类每一次试验是伯努利试验已知各类对象的个数联系(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布[典例]某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505g的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505g的产品数量，求Y的分布列．[赏析](1)质量超过505g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12.(2)突破点1：总体一定，不放回抽样，超几何分布质量超过505g的产品数量为12，则质量未超过505g的产品数量为28，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布．P(X＝0)＝C282C402＝63130，P(X＝1)＝C121C281所以X的分布列为X012P632811(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505g的概率为1240＝3突破点2：总体容量大，不放回抽样，视为二项分布从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505g的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B2，P(Y＝k)＝C2k1−3所以P(Y＝0)＝C20×P(Y＝1)＝C21×P(Y＝2)＝C22×所以Y的分布列为Y012P49219抓住超几何分布与二项分布的各自特征，明确两者间的区别与联系是破解此类问题的关键所在．[跟进训练]1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2个黑球，现随机等可能地取出小球．当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ1；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则()A．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)B[依题意知，ξ1的所有可能取值为0，1，2，ξ1～B2，所以E(ξ1)＝2×13＝23，D(ξ1)＝2×13当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ2，则ξ2的所有可能取值为0，1，P(ξ2＝0)＝23×1P(ξ2＝1)＝23×1所以E(ξ2)＝0×13＋1×23＝D(ξ2)＝0−232所以E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)．故选B.]2．(多选)某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，k＝0，1，2，3．则下列判断正确的是()A．随机变量X服从二项分布B．随机变量Y服从超几何分布C．P(X＝k)<P(Y＝k)D．E(X)＝E(Y)ABD[对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；对于D选项，该批产品有M件，则E(X)＝3·5M＝15M，E(Y)＝对于C选项，假若C正确可得E(X)<E(Y)，则D错误，矛盾．故C错误．故选ABD.]【教师备选资源】袋中有大小、质地完全相同的五个小球，小球上面分别标有0，1，2，3，4.(1)从袋中任意摸出三个球，标号为奇数的球的个数记为X，写出X的分布列；(2)从袋中一次性摸两球，和为奇数记为事件A，有放回地摇匀后连摸五次，事件A发生的次数记为Y，求Y的分布列、数学期望和方差．[解](1)由题可得X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝C20CP(X＝1)＝C21C32P(X＝2)＝C22C则X的分布列为X012P133(2)由题易知P(A)＝C31C21C52＝610＝所以P(Y＝k)＝C5k3则Y的分布列为Y012345P3248144216162243所以E(Y)＝5×35＝3，D(Y)＝5×35×课时分层作业(六十八)二项分布、超几何分布与正态分布一、单项选择题1．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为()A．512625B．256625C．113A[由题得最多1人被感染的概率为C404542．北京冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”．“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冰雪运动和现代科技特点．冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作，顶部的如意造型象征吉祥幸福．小明在纪念品商店买了6个“冰墩墩”和3个“雪容融”，随机选了3个寄给他的好朋友小华，则小华收到的“冰墩墩”的个数的平均值为()A．1 B．2C．3 D．1.5B[设小华收到的“冰墩墩”的个数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，3.则P(ξ＝0)＝C33C93＝184；P(P(ξ＝2)＝C62C31C93＝1528所以E(ξ)＝1×314＋2×1528＋3×5213．(2023·山东烟台一模)新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点，近年来备受青睐．某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位：kW·h/100km)情况，随机调查得到了1200个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量ξ～N(13，σ2)，若P(12<ξ<14)＝0.7，则样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有()A．180辆 B．360辆C．600辆 D．840辆A[因为ξ～N(13，σ2)，且P(12<ξ<14)＝0.7，所以P(ξ≥14)＝12×[1－P(12<ξ<14)]＝12×(1－0.7)＝所以样本中耗电量不小于14kW·h/100km的汽车大约有1200×0.15＝180(辆)．故选A.]4．高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形小木块(如图所示)，并且每一排小木块数目都比上一排多一个，一排中各个小木块正好对准上面一排两个相邻小木块的正中央，从入口处放入一个直径略小于两个小木块间隔的小球，当小球从之间的间隙下落时，碰到下一排小木块，它将以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通过间隙，又碰到下一排小木块．如此继续下去，小球最后落入下方条状的格子内，则小球落到第⑤个格子的概率是()A．532 B．5C．316 D．A[由题意知，小球下落过程中共碰撞小木块5次，小球落到第⑤个格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均为12故小球落到第⑤个格子的概率P＝C54×5．经检测一批产品中每件产品的合格率为35，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为XA．X的可能取值为1，2，3，4，5B．P(X＝2)＝CC．X＝3的概率最大D．X服从超几何分布C[对于A，X的可能取值为0，1，2，3，4，5，A错误；对于B，P(X＝2)＝C5对于D，由题意，随机变量X～B5，对于C，随机变量X～B5，35，所以P(X＝k若P(X＝k)取得最大值时，则P则C即1解得2.6≤k≤3.6，k∈N*，则k＝3，故X＝3的概率最大，C正确．故选C.]6．(2023·山东济南高考适应性练习)已知X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．今有一批数量庞大的零件．假设这批零件的某项质量指标ξ(单位：mm)服从正态分布X～N(5.40，0.052)，现从中随机抽取M个，这M个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间[5.35，5.55].若K＝45，试以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为()A．45 B．53C．54 D．90B[由已知可得，P(5.35≤ξ≤5.55)＝P(5.40－0.05≤ξ≤5.40＋3×0.05)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)．又P(μ－σ≤ξ≤μ＋3σ)＝P≈0.6827+0.9973所以K～B(M，0.84)，P(K＝45)＝CM45·0.8445·0.16M-4设f(x)＝Cx45·0.8445·0.16x则fx+1f＝0.16·x+1＝0.16·x+1x−44所以x<3687＝52＋47，所以f(53)>fxf＝0.16·x！x−45！45！x−1所以x>3757＝53＋47，所以f(53)>所以，以使得P(K＝45)最大的M值作为M的估计值，则M为53.故选B.]二、多项选择题7．(2023·福建莆田二模)某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：s)服从正态分布N(8，σ2)，且P(ξ≤7)＝0.2．从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取3个，其中成绩在(7，9)间的个数记为X，则()A．P(7<ξ<9)＝0.8 B．E(X)＝1.8C．E(ξ)>E(5X) D．P(X≥1)>0.9BD[由正态分布的对称性可知：P(ξ≤7)＝P(ξ≥9)＝0.2，故P(7<ξ<9)＝1－0.2×2＝0.6，A错误；X～B(3，0.6)，故E(X)＝3×0.6＝1.8，B正确；E(ξ)＝8，E(5X)＝5E(X)＝5×1.8＝9，故E(ξ)<E(5X)，C错误；因为X～B(3，0.6)，所以P(X＝0)＝C30(0.6)0×(0.4)3＝0.064，故P(X≥1)＝1－0.064＝0.936>8．(2023·新高考Ⅱ卷)在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1)． ()A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为(1－α)(1－β)2B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为β(1－β)2C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1－β)3D．当0<α<0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率ABD[由题意，发0收1的概率为α，发0收0的概率为1－α；发1收0的概率为β，发1收1的概率为1－β.对于A，发1收1的概率为1－β，发0收0的概率为1－α，发1收1的概率为1－β，所以所求概率为(1－α)(1－β)2，A正确．对于B，相当于发了1，1，1，收到1，0，1，则概率为(1－β)β(1－β)＝β(1－β)2，B正确．对于C，相当于发了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，则概率为C32β(1－β)2＋C33(1－β)3＝3β(1－β)2＋(1－β)3，C不正确．对于D，发送0，采用三次传输方案译码为0，相当于发0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，则此方案的概率P1＝C32α1−α2+C33(1－α)3＝3α(1－α)2＋(1－α)3；发送0，采用单次传输方案译码为0的概率P2＝1－α，当0<α<0.5时，P1－P2＝3α(1－α)2三、填空题9．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到95.45%，则需调整生产工艺，使得σ至多为________．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.9545)12[依题可知，μ＝100，根据题意及正态曲线的特征可知，|X－100|<2σ的解集A⊆(99，101)由|X－100|<2σ可得100－2σ<X<100＋2σ，所以100−2σ≥99，100+2σ≤101，解得σ10．某校召开春季运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长，则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人中全是男志愿者”的概率是________；若用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则E(X)＝________．21797[由题意3人全是男志愿者，即X＝0，P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝1)＝C42C31C73＝1835，P(X＝2)＝C41C32C73＝1235记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，则P(A)＝P(X＝0)＝435P(B)＝1－P(X＝3)＝3435P(A|B)＝PABPB＝4四、解答题11．(2024·重庆巴蜀中学模拟)某中学进行90周年校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机地抽取4道来回答，竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得－10分．(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响，记甲的总得分为X，求X的期望和方差；(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为Y，求Y的分布列．[解](1)设甲答对题目的数目为ξ，则ξ～B(4，0.8)，所以X＝10ξ－10(4－ξ)＝20ξ－40，所以E(X)＝20E(ξ)－40＝20×4×0.8－40＝24；D(X)＝400D(ξ)＝400×4×0.8×0.2＝256.(2)设乙答对题目的数目为η，则η服从参数为N＝10，M＝6，n＝4的超几何分布，且Y＝10η－10(4－η)＝20η－40，所以P(Y＝－40)＝P(η＝0)＝C44CP(Y＝－20)＝P(η＝1)＝C43CP(Y＝0)＝P(η＝2)＝C42CP(Y＝20)＝P(η＝3)＝C41CP(Y＝40)＝P(η