第10章　高考研究在线10　从高考概率与统计试题探寻高考改革动向-备战2025年高考数学一轮复习（解析版）

概率与统计是高考考查学生数学建模素养和数据分析素养的重要载体，在高考中占有非常重要的地位．概率统计命题方向主要有以下两类：一是概率计算问题；二是统计案例问题．近年来新高考加大了相互独立事件和条件概率的考查力度，由于该部分知识也恰是新教材中扩充的内容，切合了新课标对教学的要求，指引师生在后续的备考中要关注教材改版前后内容的变化，同时兼顾知识间的渗透与融合．命题点一立足统计本质、注重知识交融[典例1](2023·新高考Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c)．假设数据在组内均匀分布．以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率p(c)＝0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)；(2)设函数f(c)＝p(c)＋q(c)．当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值．[解](1)由题图知(100－95)×0.002＝1%＞0.5%，所以95＜c＜100，设X为患病者的该指标，则p(c)＝P(X≤c)＝(c－95)×0.002＝0.5%，解得c＝97.5.设Y为未患病者的该指标，则q(c)＝P(Y＞c)＝(100－97.5)×0.01＋5×0.002＝0.035＝3.5%.(2)当95≤c≤100时，p(c)＝(c－95)×0.002＝0.002c－0.19，q(c)＝(100－c)×0.01＋5×0.002＝－0.01c＋1.01，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝－0.008c＋0.82；当100＜c≤105时，p(c)＝5×0.002＋(c－100)×0.012＝0.012c－1.19，q(c)＝(105－c)×0.002＝－0.002c＋0.21，所以f(c)＝p(c)＋q(c)＝0.01c－0.98.综上所述，f(c)＝−由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增，作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]上的最小值f(c)min＝f(100)＝－0.008×100＋0.82＝0.02.概率主要研究随机现象，统计主要研究数据，进行数据分析．将两者巧妙地融合是历年来高考命题的思想之一，高考曾将频率分布直方图与二项分布、超几何分布、正态分布融为一体考查，本题又将频率分布直方图与分位数、函数建模巧妙地融为一体，给出了新的命题动向．关注知识间的内在联系，研习高考命题思路，提升备考技能．[跟进训练]1．(2023·镇海中学、历城二中等九校联考)某学校从全体师生中随机抽取30位男生，30位女生，12位教师一起参加社会实践活动．(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率，求X的分布列及数学期望；(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30人，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．[解](1)X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8)．P(X＝0)＝C30×(1－0.8)3＝P(X＝1)＝C31×0.8×(1－0.8)2＝P(X＝2)＝C32×0.82×(1－0.8)＝P(X＝3)＝C33×0.83＝0.5故X的分布列为X0123P0.0080.0960.3840.512所以E(X)＝3×0.8＝2.4.(2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”，则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为C30所以P(k)＝C30kC所以由Pk+1Pk解得k<88774所以P(12)>P(11)>P(10)＞…，P(12)>P(13)>P(14)>…，故当k＝12时，P(k)最大．命题点二考查数据分析、渗透原理论证[典例2](2022·新高考Ⅰ卷改编)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：组别卫生习惯不够良好良好病例组4060对照组1090附：χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828(1)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，能否认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．PBAPBA①证明：R＝PA②利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A|B)的估计值，并利用①的结果给出R的估计值．[解](1)零假设为H0：患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯无差异．χ2＝nad−bc2a+bc+da+cb+d＝200×40×90−60×10依据小概率值α＝0.010的独立性检验，推断H0不成立，即认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．(2)①证明：R＝PBAP由题意知，证明P＝PA左边＝PABPA右边＝PABPB左边＝右边，故R＝PA②由已知P(A|B)＝25，P(A|B)＝1又P(A|B)＝所以R＝PAB新教材与老教材相比，对核心概念、重要公式等都做了必要的拓展、补充或证明，平时备考需进一步加强对核心概念的认知和基本理论体系的建立．如本题(2)问与我们平时的备考不同，一是题干长，二是涉及条件概率，而且还是证明问题．本题看似麻烦，实则容易，由已知条件和所求R的值两个等式可分别利用条件概率公式展开相乘化简，即可得证；然后结合互斥、对立事件概率之间的关系就可以轻而易举地解答出最后一问．[跟进训练]2．(2024·浙江名校联盟模拟)人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ.根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩X人，在Ⅱ时期内生孩Y人，(不考虑多胞胎)生男生女的概率相等．X服从0－1分布且P(X＝0)＝15.YY012Ppp＋qp－q现已知一个家庭在Ⅰ时期内没生孩子，则在Ⅱ时期内生2个孩子的概率为124；若在Ⅰ时期内生了1个女孩，则在Ⅱ时期内生2个孩子的概率为16；若在Ⅰ时期内生了1个男孩，则在Ⅱ时期内生2个孩子的概率为112，样本点中Ⅰ时期内生孩人数与Ⅱ(1)求Y的期望与方差；(2)由数据zi(i＝1，2，…，n)组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为a∶b，分别为xi(i＝1，2，…，k)与yi(i＝1，2，…，m)，k＋m＝n，总体样本点与两个分层样本点均值分别为z，x，y，方差分别为S02，S1[解](1)由分布列知：p＋(p＋q)＋(p－q)＝1，即p＝13设事件Ai(i＝1，2，3)分别表示Ⅰ时期内没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩，事件B表示Ⅱ时期内生2个孩子，则P(B|A1)＝124，P(B|A2)＝16，P(B|A3)＝又P(A1)＝15，P(A2)＝P(A3)＝45×所以P(B)＝P(B|A1)P(A1)＋P(B|A2)P(A2)＋P(B|A3)P(A3)＝p－q＝13－q即124×15+16×2综上，Y的分布列如表所示：Y012P16713E(Y)＝0×13＋1×67120＋2×13120D(Y)＝13×0−31402＋(2)由题意S＝＝而上式＝＝1n[kS12+kx−＝knS12+又k＋m＝n，且a∶b＝k∶m，上式＝aa+bS12+综上，S02＝aa+bS12+x由题设知，E(X)＝45，D(X)＝425，E(Y)＝3140，D(Y则总体均值z＝27×4综上，题设样本总体的方差为27×425【教师备选资源】从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记Ai表示事件“第i次摸到红球”，i＝1，2，…，7.(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记P(A1A2A3)表示A1，A2，A3同时发生的概率，P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率．①证明：P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)；②求P(A3)．[解](1)由条件概率公式可得P(A2|A1)＝PA1A