2024年高中数学新高二暑期培优讲义第02讲 立体几何中的角度、体积、距离问题（学生版）

第第页第02讲立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法(1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OA⊥a，连接PA，则以PA⊥a．则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示)．(2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离．(3)求点面距离的常用方法：①直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．②转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解．③体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解．知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤：(1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设(2)所求角大小为θ．若，则θ即为所求；若，则即为所求．知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形．知识点4、作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，则∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α-l-β的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角．如图③，为二面角的平面角．知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解．【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1．如图，在长方体中，，且为的中点，则直线与所成角的大小为(

)

A． B． C． D．题型二：线面角例2．如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．题型三：二面角例3．如图，在四棱锥中，底面是菱形．

(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若，，且平面平面，求二面角的正切值．例4．四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E为AD的中点，F为PC中点．

(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值．题型四：距离问题例5．在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面PAB的距离．例6．在直角梯形中(如图一)，，，.将沿折起，使(如图二).

(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.题型五：体积问题例7．如图，在正四棱锥中，，，、、分别为中点.

(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.【过关测试】一、单选题1．在二面角中，，，，，且，，若，，，则二面角的余弦值为(

)

A． B． C． D．2．如图，矩形ABCD中，，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为(

)

A． B． C． D．3．在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为(

)A． B． C． D．4．如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是(

)A．B．平面SCDC．直线SA与平面SBD所成的角等于D．直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角.二、填空题5．如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

6．在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________7．如图，在直三棱柱中，，，直线与平面所成的角_________．

三、解答题8．如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．

(1)求证：//平面；(2)求证：平面平面；(3)求点到面的距离．9．如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，∠ACF=∠BCF=90°，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH．

(1)求证：点H为线