第12讲 直线与圆、圆与圆的位置关系（十大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义

第第页第12讲直线与圆、圆与圆的位置关系【题型归纳目录】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标题型三：切线与切线长问题题型四：弦长问题题型五：判断圆与圆的位置关系题型六：由圆的位置关系确定参数题型七：公共弦与切点弦问题题型八：公切线问题题型九：圆中范围与最值问题题型十：圆系问题【知识点梳理】知识点一：直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：(1)直线与圆相交，有两个公共点；(2)直线与圆相切，只有一个公共点；(3)直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断直线SKIPIF1<0与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线SKIPIF1<0与圆C有公共点．有两组实数解时，直线SKIPIF1<0与圆C相交；有一组实数解时，直线SKIPIF1<0与圆C相切；无实数解时，直线SKIPIF1<0与圆C相离．(2)几何法：由圆C的圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0与圆的半径SKIPIF1<0的关系判断：当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与圆C相交；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与圆C相切；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与圆C相离．知识点诠释：(1)当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．(2)当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．(3)当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．知识点二：圆的切线方程的求法1、点SKIPIF1<0在圆上，如图．法一：利用切线的斜率SKIPIF1<0与圆心和该点连线的斜率SKIPIF1<0的乘积等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．法二：圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离等于半径SKIPIF1<0．2、点SKIPIF1<0在圆外，则设切线方程：SKIPIF1<0，变成一般式：SKIPIF1<0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出SKIPIF1<0．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：(1)过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0；(2)过圆SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0的切线方程是SKIPIF1<0．知识点三：求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径SKIPIF1<0，圆心到直线的距离SKIPIF1<0，弦长SKIPIF1<0具有的关系SKIPIF1<0，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．知识点四：圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系：(1)圆与圆相交，有两个公共点；(2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点；(3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：(1)代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．(2)几何法：设SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0，两圆的圆心距为SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，两圆相交；当SKIPIF1<0时，两圆外切；当SKIPIF1<0时，两圆外离；当SKIPIF1<0时，两圆内切；当SKIPIF1<0时，两圆内含．知识点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小．也可利用代数法，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定．因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．(1)两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；(2)两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；(3)两圆相交时，只有2条外公切线；(4)两圆内切时，只有1条外公切线；(5)两圆内含时，无公切线．【典例例题】题型一：不含参数(含参数)的直线与圆的位置关系例1．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断例2．圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定例3．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能例4．圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的位置关系为(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能例5．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为(

)A．相交 B．相切 C．相离 D．与SKIPIF1<0的值有关例6．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则下列说法错误的是(

)A．对SKIPIF1<0，直线恒过一定点B．SKIPIF1<0，使直线与圆相切C．对SKIPIF1<0，直线与圆一定相交D．直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为SKIPIF1<0例7．直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与圆C：SKIPIF1<0的位置关系为(

)A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交例8．已知直线SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为(

)A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定题型二：由直线与圆的位置关系求参数、求直线与圆的交点坐标例9．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0没有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围是(

)A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0例10．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交，则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．过点SKIPIF1<0的直线中，被圆SKIPIF1<0截得的弦最长的直线的方程是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例12．已知圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则实数SKIPIF1<0(

)A．5 B．10 C．25 D．100例13．关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有两解，则k的范围为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例14．直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0的交点个数为(

)A．0 B．1 C．2 D．3例15．直线y=0与圆C：x2+y2-2x-4y=0相交于A､B两点，则△ABC的面积是(

)A．4 B．3 C．2 D．1题型三：切线与切线长问题例16．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，则切线SKIPIF1<0的方程为__________.例17．圆SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为____________.例18．直线l过SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切，则直线l的方程为________．例19．过点SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0的切线方程为_________________．例20．经过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线，则切线的方程为_______.例21．由直线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0引切线，则切线长的最小值为______．例22．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的一条切线，切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___________.例23．已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的动点，过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0，切点为SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的面积的最小值为________例24．已知圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0___________.题型四：弦长问题例25．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则弦SKIPIF1<0的长为______．例26．圆SKIPIF1<0的一条弦以点SKIPIF1<0为中点，则该弦的斜率为__．例27．已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0__________．例28．设SKIPIF1<0为实数，若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于M，N两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________.例29．设圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过SKIPIF1<0，且与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为___________.例30．直线l经过点P(5，5)且和圆C：SKIPIF1<0相交，截得弦长为SKIPIF1<0，则l的方程是______．题型五：判断圆与圆的位置关系例31．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为(

)．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离例32．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．外离 B．外切 C．相交 D．内切例33．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为(

)A．相交 B．外切 C．外离 D．内含例34．两圆SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．内切 B．内含 C．外切 D．外离例35．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系是(

)A．外切 B．内切 C．相交 D．相离题型六：由圆的位置关系确定参数例36．已知圆心在原点的单位圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0外切，SKIPIF1<0________．例37．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0外切，则实数m的值为_________.例38．已知圆SKIPIF1<0，以点SKIPIF1<0为圆心，半径为r的圆与圆C有公共点，则r的取值范围为______．例39．)已知两圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0外离，则整数m的取值是______．例40．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0相切，则a＝______．题型七：公共弦与切点弦问题例41．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心，则两圆相交弦的方程为______.例42．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦所在直线方程为___________.例43．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦长为______．例44．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公共弦的弦长__________．例45．过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线SKIPIF1<0的方程为_________.例46．过圆O:SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0作圆O的切线，切点分别为A、B，则SKIPIF1<0___________.例47．过点SKIPIF1<0向圆SKIPIF1<0引两条切线，切点为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________.题型八：公切线问题例48．到点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的距离分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的直线有________条．例49．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恰有两条公切线，则实数SKIPIF1<0的取值范围________．例50．圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0公切线的条数为__________．例51．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线方程为__________．例52．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线方程是___________________．例53．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，则圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的公切线方程是___________.题型九：圆中范围与最值问题例54．圆SKIPIF1<0上恰好有两点到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是___________.例55．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为常数)．下列有关直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的命题中正确命题的序号是________．①当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0上有四个不同的点到直线SKIPIF1<0的距离为1；②若圆SKIPIF1<0上有四个不同的点到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0；③若圆SKIPIF1<0上恰有三个不同的点到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0；④若圆SKIPIF1<0上恰有两个不同的点到直线SKIPIF1<0的距离为1，则SKIPIF1<0；⑤当SKIPIF1<0时，圆SKIPIF1<0上只有一个点到直线SKIPIF1<0的距离为1.例56．若圆SKIPIF1<0上有四个点到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则实数a的取值范围是______．例57．已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线l上．若存在圆C上的点Q，使得SKIPIF1<0(O为坐标原点)，则SKIPIF1<0的取值范围是__________．例58．设圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上有且仅有两个点到直线SKIPIF1<0的距离等于SKIPIF1<0,则圆半径SKIPIF1<0的取值范围是_________.例59．平面直角坐标系xOy中，已知点SKIPIF1<0，若直线l：SKIPIF1<0上总存在P、Q两点，使得SKIPIF1<0恒成立，则线段PQ长度的取值范围是_______例60．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0面积的最大值为____.例61．若SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上运动，则SKIPIF1<0的最大值为___.例62．已知实数x，y满足方程SKIPIF1<0，则(1)SKIPIF1<0的最大值和最小值分别为________和________；(2)y－x的最大值和最小值分别为________和________；(3)SKIPIF1<0的最大值和最小值分别为_______和_______．例63．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上任一点，则SKIPIF1<0的最大值为________.例64．已知圆SKIPIF1<0和两点SKIPIF1<0若圆C上存在点P，使得SKIPIF1<0，则m的最大值为______.例65．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0面积的最大值为__________例66．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点，则弦长SKIPIF1<0的最小值为_______.例67．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的动点，SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一个动点，则SKIPIF1<0的最小值为______.例68．已知圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为过SKIPIF1<0的圆的切线，A为SKIPIF1<0上任一点，过A作圆SKIPIF1<0的切线AP，AQ，切点分别是P和Q，则四边形APNQ的面积最小值是__________．题型十：圆系问题例69．求经过点SKIPIF1<0以及圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交点的圆的方程________.例70．求经过圆SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点且在SKIPIF1<0轴上的弦长为SKIPIF1<0的圆的方程．例71．已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0：SKIPIF1<0相交于A、B两点．(1)求公共弦AB所在的直线方程；(2)求圆心在直线y＝－x上，且经过A、B两点的圆的方程；(3)求经过A、B两点且面积最小的圆的方程．例72．过圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，且圆心在直线SKIPIF1<0上的圆的方程是_______．例73．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于A、B两点．(1)求公共弦AB所在直线方程；(2)求过两圆交点A、B，且过原点的圆的方程．【过关测试】一、单选题1．直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长为1，则半径SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<02．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，求两圆的公共弦所在的直线方程(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．两圆SKIPIF1<0外切，则正实数r的值是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．54．已知SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切，则直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则实数SKIPIF1<0(

)A．－1 B．1 C．1或4 D．46．若圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切，则SKIPIF1<0＝(

)A．21 B．19 C．9 D．SKIPIF1<07．已知过圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0做圆的两条切线，切点为SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0所在的直线方程为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为坐标原点，已知圆SKIPIF1<0的半径为3，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0互相垂直，垂足为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，则四边形SKIPIF1<0的面积的最大值为(

)A．10 B．12 C．13 D．15二、多选题9．圆心在SKIPIF1<0轴上，半径为2，且与直线SKIPIF1<0相切的圆的方程可能是(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，下列说法正确的是(

)A．圆M的圆心为SKIPIF1<0，半径为1B．直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0C．线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0D．取圆M上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为3611．已知圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0，则下列结论正确的是(

)A．圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切B．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切C．直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0所截得的弦长为2D．若SKIPIF1<0分别为圆SKIPIF1<0和圆SKIPIF1<0上一点，则SKIPIF1<0的最大值为1012．实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值可能为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空题13．已知圆C过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，则圆C的方程为__________.14．若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，则实数SKIPIF1<0_________．15．已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0