新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题五统计与概率第二讲统计统计案例与概率微专题4概率统计与数列的交汇

微专题4概率统计与数列的交汇4.[2024·新高考Ⅰ卷]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人接着投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮状况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；技法领悟概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型1．求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后依据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式．2．求和：主要是数列中的公式求和、错位求和、裂项求和．3．利用等差、等比数列的性质，探讨单调性、最值．[巩固训练4][2024·山东烟台三模]现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形态、质地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球相互交换后放袋子中，重复进行n(n∈N*)次此操作．记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为Xn.(1)求X1的分布列和数学期望；(2)求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率Pn.微专题4概率统计与数列的交汇[例4](1)解析：记“第2次投篮的人是乙”为事务A，“第1次投篮的人是甲”为事务B，则A＝BA＋A，所以P(A)＝P(BA＋A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.(2)解析：设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝，pi＋1＝pi×0.6＋(1－pi)×(1－0.8)，即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝pi＋，所以pi＋1－＝(pi－)，又p1－＝＝，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以pi－＝×()i－1，所以pi＝×()i－1.(3)解析：设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由(2)知，pi＝×()i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝×[1＋＋()2＋…＋()n－1]＝＝.[巩固训练4](1)解析：由题知，X1的全部可能取值为0、1、2，P(X1＝0)＝＝，P(X1＝1)＝＝，P(X1＝2)＝＝，所以，X1的分布列为X1012P所以，X1的数学期望E(X1)＝0×＋1×＋2×＝1.(2)解析：由题知，P(Xn＋1＝1)＝(1×)P(Xn＝0)＋()P(Xn＝1)＋(×1)P(Xn＝2)，又P(Xn＝0)＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)＝1，所以，P(Xn＋1＝1)＝[1－P(Xn＝1)－P(Xn＝2)]＋P(Xn＝1)＋P(Xn＝2)，整理得，P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)，所以，P(Xn＋1＝1)－＝－，又因为P(X1＝1)－＝－