高考数学一轮复习考点探究与题型突破第36讲等比数列及其前n项和(原卷版+解析)

第36讲等比数列及其前n项和1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.考点1等比数列基本量的运算[名师点睛]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[典例]1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．42．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______[举一反三]1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（

）A．16 B． C．32 D．2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（

）A． B． C． D．3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.5．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．考点2等比数列的判定与证明[名师点睛]1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.[典例]1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)证明：．[举一反三]1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数.2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.(1)证明数列为等比数列；(2)若，，求的通项公式.考点3等比数列的性质及应用[名师点睛](1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.[典例]1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（

）A．2 B．4 C．6 D．82．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（

）A．180 B．108C．75 D．633．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．18 C．21 D．274．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512[举一反三]1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（

）A．p是q的充要条件 B．p是q的既不充分也不必要条件C．p是q的充分不必要条件 D．p是q的必要不充分条件4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（

）A． B． C．72 D．905．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．276．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若，，则________.8．(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比________.9．(2023·海南中学高三阶段练习）十九世纪下半叶，集合论的创立莫定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征．仿照“康托三分集”我们可以构造一个“四分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为四段，去掉其中的区间段记为第一次操作；再将剩下的三个间分别均分为四段，并各自去掉第二个区间段，记为第二次操作；……如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为四段，同样各自去掉第二个区间段．操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“四分集”．第三次操作去掉的区间长度和为________；若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为________（参考数据：）10．(2023·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．第36讲等比数列及其前n项和1.等比数列的概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数).(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.此时G2＝ab.2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.考点1等比数列基本量的运算[名师点睛]1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).[典例]1．(2023·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在等比数列中，已知，，则（

）A．20 B．12 C．8 D．4答案：C分析：设的公比为q，由条件可列出关于q的方程，求得q，即可求得答案.【详解】设的公比为q，则，解得，所以，故选：C．2．(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知等比数列的前项和为，公比为，则（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用等比数列的求和公式可求得的值.【详解】由等比数列的求和公式可得，解得.故选：D.3．(2023·江苏省响水中学高三开学考试）记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______答案：-1分析：先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案【详解】因为是等比数列，设的公比为，若时，由可得，整理得，因为，所以即，解得(舍去)或，因为，所以，若时，，，所以舍去，综上所述，，故答案为：-1[举一反三]1．(2023·河北唐山·三模）等比数列中，若，则（

）A．16 B． C．32 D．答案：A分析：本题考查等比数列得基本量得运算，根据可求得，再由分析得．【详解】∵，则，即又∵，即，则且∴则故选：A．2．(2023·重庆市云阳江口中学校高三期末）数列满足，，则的值为（

）A． B． C． D．答案：C分析：由题设可知为等比数列，再由等比数列的性质即可求解【详解】，则又因为，所以所以为等比数列当时，；当时，故选：C3．(2023·福建·厦门一中模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则______．答案：分析：利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解.【详解】由已知条件得，解得，∴；故答案为：.4．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）已知等比数列的前n项和为，，，若，则___________.答案：5分析：根据，求得公比，再由求解.【详解】解：在等比数列中，，，所以，解得，又，即，解得，故答案为：55．(2023·浙江·模拟预测）已知等比数列的前n项积为，且，则公比q为________．答案：分析：利用对数运算转化已知条件，结合等比数列的基本量，即可求得公比.【详解】，解得.故答案为：.6．(2023·广东潮州·二模）记为等比数列的前n项和．若，，则______．答案：分析：由已知解出公比，根据通项公式即可求解．【详解】设等比数列的公比为q，由已知，即，解得，所以．故答案为：考点2等比数列的判定与证明[名师点睛]1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.[典例]1．(2023·江苏南京·模拟预测）已知数列的前项和为，，．(1)证明：数列为等比数列；(2)记数列的前项和为，证明：．【解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，，故数列为等比数列，首项为，公比为2；（2）由（1）可知，所以，所以．2．(2023·湖南·长沙一中模拟预测）已知数列的前项和为，且，，，．(1)证明：数列是等比数列；(2)证明：．【证明】(1)因为，，当时，当时，所以，即，即，又，，所以，所以，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列；(2)由（1）可得①，又，又，，所以，所以，所以即是以为首项，为公比的等比数列，因此②，①②可得，即由，则当为奇数时，，当为偶数时，，所以[举一反三]1．(2023·安徽蚌埠·一模）已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数.【解】（1）证明：由题设可得，所以.又所以是以首项，为公比的等比数列（2）由（1）可得，即，所以显然右边是递增数列，易知，当时，，时，不满足题意，所以满足条件的最大整数是2022.2．(2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知各项都为正数的数列满足.(1)证明数列为等比数列；(2)若，，求的通项公式.【解】（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.考点3等比数列的性质及应用[名师点睛](1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响.[典例]1．(2023·重庆八中高三阶段练习）各项均为正数的等比数列{}满足，则=（

）A．2 B．4 C．6 D．8答案：B分析：利用等比数列的性质即可求得.【详解】因为各项均为正数的等比数列{}满足，所以，即.因为{}为正项等比数列，所以，所以，所以=4.故选：B2．(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（

）A．180 B．108C．75 D．63答案：D分析：由等比数列前n项和的性质S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列，分析即得解【详解】由题意得S7，S14－S7，S21－S14组成等比数列48，12，3，即S21－S14＝3，∴S21＝63.故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．18 C．21 D．27答案：C分析：根据等比数列的性质，可知等比数列的公比,所以成等比数列，根据等比的中项性质即可求出结果.【详解】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,所以成等比数列所以，所以，解得.故选：C.4．(2023·湖南·长郡中学模拟预测）设等比数列满足，则的最大值为（

）A．64 B．128 C．256 D．512答案：A【详解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故当或4时，取得最大值，即.故选：A.[举一反三]1．(2023·广东茂名·一模）已知等比数列的前项和为，公比为，则下列选项正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：B分析：A选项可用片段和性质，BD选项使用基本量法，C选项借助下标和性质求解.【详解】A选择中，由即，解得B选项中，C选项中，由，，D选项中，故选：B2．(2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为（

）A． B． C． D．答案：C分析：设这个等比数列共有项，公比为，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得的值，由此可得出该数列的项数.【详解】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.3．(2023·福建·莆田八中高三开学考试）等差数列的公差为2，前n项和为，若p：，，成等比数列，q：的首项为0，则（

）A．p是q的充要条件 B．p是q的既不充分也不必要条件C．p是q的充分不必要条件 D．p是q的必要不充分条件答案：A分析：根据充分必要条件的定义判断．【详解】时，，，，，依次为，是等比数列，是的必要条件，若，，成等比数列，则，，解得或，时，，，，不成等比数列，舍去．所以，因此是的充分条件，综上，是的充要条件，故选：A．4．(2023·全国·高三专题练习）已知数列是各项为正的等比数列，其前n项和为，若，则=（

）A． B． C．72 D．90答案：D分析：利用等比数列的性质成等比数列，求出公比，进而可求出每一项.【详解】根据等比数列前n项和的性质，成等比数列，设公比为，又由已知，则，，故选：D.5．(2023·湖北·高三开学考试）已知等比数列的各项均为正数，且，则的最大值为（

）A．9 B．8 C．3 D．27答案：D分析：设等比数列的公比为，由已知求出、，则转化为求指数的最值可得答案.【详解】设等比数列的公比为，则由得，解得，，所以，当且仅当或时的最大值为.故选：D.6．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知等比数列满足，公比，且，，则（

）A． B．当时，最小C．当时，最小 D．存在，使得答案：AC分析：由等比数列的性质、单调性及不等式的性质可对每一个选项进行判断.【详解】对A，∵，，∴，又，，∴，故A正确.对B，C，由等比数列的性质，，故，，∵，∴，∵，，，∴，，∴，故当时，最小，B错误，C正确；对D，当时，，故，故D错误.故选：AC7．(2023·山东·青岛二中高三期末）设为等比数列的前项和.若