高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第35练抛物线(原卷版+解析)

专题11圆锥曲线的方程第35练抛物线1．(2023·福建·莆田华侨中学模拟）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．82．(2023·山东师范大学附中模拟）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．3．(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟）抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．4．(2023·辽宁辽阳·二模）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（

）A． B．C． D．5．(2023·湖北·模拟）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．6．(2023·重庆·三模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．7．(2023·福建龙岩·一模）抛物线上一点到焦点的距离为__________．8．(2023·北京二中模拟）已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________．1．(2023·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．62．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知的焦点为F，其准线与轴的交点为E，椭圆的左右顶点为A、B，为线段的两个四等分点，与的交点连线过的焦点，则的离心率为（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏·模拟）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．24．(2023·天津南开·三模）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．5．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）已知抛物线，O为原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线两点，满足，过原点O作交AB于点D，当点D的坐标为，则p的值为_________．6．(2023·北京四中三模）直线与抛物线C：交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记，其中O为抛物线C的顶点，给出下列命题：①，使得与平行；②且，使得与垂直；③不可能是等边三角形；④无论点P在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___________.7．(2023·河北·沧县中学模拟）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．8．(2023·山东省实验中学模拟）已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．1．(2023·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2．(2023·河北邯郸·二模）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（

）A． B．1 C． D．3．(2023·重庆·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4．(2023·江西·新余市第一中学模拟（理））已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．5．（多选题）(2023·广东韶关·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|6．（多选题）(2023·广东肇庆·模拟）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，7．（多选题）(2023·江苏·模拟）已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（

）A．的最小值为4B．若线段AB的中点为M，则的面积为C．若，则直线l的斜率为2D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值8．(2023·北京·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，则焦点到准线的距离为___________；直线与抛物线分别交于、两点（点在轴上方），过点作直线的垂线交准线于点，则__________.9．(2023·湖南岳阳·二模）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则___________；设点，若恒成立，则的取值范围为___________.10．(2023·海南·嘉积中学模拟）已知是抛物线上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为6，则___________；若过点向抛物线作两条切线，切点分别为，则这两条切线的斜率之积为___________.专题11圆锥曲线的方程第35练抛物线1．(2023·福建·莆田华侨中学模拟）抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（

）A．6 B．2 C．5 D．8答案：A【解析】拋物线的焦点为，圆，即所以，圆心为，半径，F到圆C上点的距离的最大值为.故选：A.2．(2023·山东师范大学附中模拟）已知O为坐标原点，抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，且，则M点到轴的距离为（

）A．2 B． C． D．答案：D【解析】由题意得，所以准线为，又因为，设点的坐标为，则有，解得：将代入解析式得：，所以M点到x轴的距离为．故选：D．3．(2023·重庆市涪陵高级中学校模拟）抛物线上A点到焦点F的距离为，则点A的纵坐标为（

）A．1 B． C． D．答案：A【解析】解：由题得，所以抛物线的准线方程为.设点纵坐标为,则，所以.故选：A4．(2023·辽宁辽阳·二模）下列四个抛物线中，开口朝下且焦点到准线的距离为5的是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】抛物线的开口朝下，说明其焦点在轴的负半轴上，则其满足标准方程，又焦点到准线的距离，所以该抛物线的标准方程为故选：B5．(2023·湖北·模拟）已知抛物线，过其焦点F的直线l与其交与A、B两点，，其准线方程为___________．答案：【解析】设线段AB中点为D，则F为线段BD中点，过A、B、D、F分别向抛物线准线作垂线，垂足分别为、、、，，由梯形中位线得，，∴准线方程为故答案为：．6．(2023·重庆·三模）已知抛物线C：，则抛物线C的准线方程为______．答案：【解析】因为抛物线，所以，∴所以的准线方程为.故答案为：7．(2023·福建龙岩·一模）抛物线上一点到焦点的距离为__________．答案：3【解析】因为，所以点在该抛物线上，又抛物线的准线方程为：，所以点到焦点的距离为：，故答案为：38．(2023·北京二中模拟）已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则__________．答案：7【解析】设，，可得，，由，带入可得：，所以，故答案为：7.1．(2023·新疆·三模（理））已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线与y轴交于点M，且，则点P到直线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C【解析】解：由抛物线，可知，即（为坐标原点），过点作轴的垂线，垂足为，因为，即，由，可知，所以，所以点到准线的距离为．故选：C．2．(2023·湖北省仙桃中学模拟）已知的焦点为F，其准线与轴的交点为E，椭圆的左右顶点为A、B，为线段的两个四等分点，与的交点连线过的焦点，则的离心率为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】当时，椭圆的焦点在轴，如图所示，因为为线段的两个四等分点，所以，即.设与在第一象限的交点为，因为与的交点连线过的焦点，所以.将代入得：，即，与矛盾，舍去.当时，椭圆的焦点在轴，如图所示，因为为线段的两个四等分点，所以，即.设与在第一象限的交点为，因为与的交点连线过的焦点，所以.将代入得：，即，.故选：A3．(2023·江苏·模拟）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交拋物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．2答案：A【解析】法一：由题意可知，，则，抛物线的准线方程为直线，则，，因为，所以，所以，所以，所以，，所以.因为，所以，解得，所以，点F到AM的距离为，所以.法二：因为，所以，所以，即.连接FM，又，所以为等边三角形.易得，所以.故选：A.4．(2023·天津南开·三模）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为所以，又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，所以所以，故选：A.5．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）已知抛物线，O为原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线两点，满足，过原点O作交AB于点D，当点D的坐标为，则p的值为_________．答案：【解析】直线OD的斜率为，而，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为，即，由消去x并整理得：，设，则，因，则，解得，所以p的值为.故答案为：6．(2023·北京四中三模）直线与抛物线C：交于M，N两点，点P是抛物线C准线上的一点，记，其中O为抛物线C的顶点，给出下列命题：①，使得与平行；②且，使得与垂直；③不可能是等边三角形；④无论点P在准线上如何运动，总成立.其中，所有正确命题的序号是___________.答案：②③④【解析】由，求得点,故,设，则，,对于①，当与平行时，，由可得，即，故①错误；对于②，与垂直时，，即，由可得，解得，故②正确；对于③，若是等边三角形，因为MN垂直于x轴，故点P在x轴上，即，此时,故不可能是等边三角形，③正确；对于④，由可得，④正确，故答案为：②③④7．(2023·河北·沧县中学模拟）已知抛物线的焦点为，点，点是抛物线上的动点，则的最小值为___________．答案：【解析】解：如图，点在抛物线的准线上，设点在准线上的射影为，由正弦定理和抛物线的性质可知：，当直线与抛物线相切时最小，也最小．设的方程为，与联立得，由，解得，当时，．故的最小值为．故答案为：.8．(2023·山东省实验中学模拟）已知圆，定点，动点Q满足以为直径的圆与y轴相切．过点F的直线l与动点Q的轨迹E，圆C顺次交于A，M，N，B四点．则的最小值为________．答案：23【解析】解：设，则的中点为，所以，整理得，即动点的轨迹为抛物线，焦点为，由直线过抛物线的焦点，则，其中的证明过程如下：当不垂直于轴时，可设直线的方程为，，，显然．由得:，∴，．当轴时，直线方程为，则，，∴，同上也有．由抛物线的定义知：，，又，所以，且．所以圆圆心为，半径1，，当且仅当，即，时取等号；的最小值为23，故答案为：．1．(2023·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为抛物线的焦点，由题可知，，即抛物线方程为，令代入抛物线方程，可得，代入双曲线方程，可得，可设，，，由有两边平方相减可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D错误.故选：C.2．(2023·河北邯郸·二模）已知抛物线的焦点为F，点A在C上，点B满足（O为坐标原点），且线段AB的中垂线经过点F，则＝（

）A． B．1 C． D．答案：B【解析】由题设知：，而，则，又AB的中垂线经过点F，则，不妨设且，则，可得，故，所以，综上.故选：B3．(2023·重庆·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为，若直线与抛物线E交于P，Q两点，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题设知：，，且抛物线E为，∴直线为，联立抛物线方程有，整理得：，则，即，令且，则，∴，∴，令，如上图易知：，即，可得，∴，又，∴，整理得，而，∴，则.故选：C.4．(2023·江西·新余市第一中学模拟（理））已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）A． B． C． D．答案：A【解析】设直线的方程为，，，.，解得：或.因为位于轴的两侧，所以.即：，.设点在轴的上方，则，，.当且仅当时，即时，取“”号.所以和的面积之和的最小值为.故选：A5．（多选题）(2023·广东韶关·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是（

）A．对于任意直线m，均有AE⊥PFB．不存在直线m，满足C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|答案：AC【解析】A选项，如图1，由抛物线知O为DF的中点，轴，所以E为线段PF的中点，由抛物线的定义知，所以，所以A正确；B选项，如图2，设，，，，，E为线段PF的中点，则，，由得，解得，，又，故，，又，可得，，故存在直线m，满足，选项B不正确．C选项，由题意知，E为线段PF的中点，从而设，则，直线AE的方程：，与抛物线方程联立可得：，由代入左式整理得：，所以，所以直线AE与抛物线相切，所以选项C正确．D选项，如图3，设直线m的方程，，，，由，得．当，即且时，由韦达定理，得，．因为，，所以，又，，所以成立，故D不正确．故选：AC．6．（多选题）(2023·广东肇庆·模拟）已知F是抛物线的焦点，过点F作两条互相垂直的直线，，与C相交于A，B两点，与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（

）A．点M到直线l的距离为定值 B．以为直径的圆与l相切C．的最小值为32 D．当最小时，答案：BCD【解析】设，，，，，直线的方程为，则直线的方程为,将直线的方程代入，化简整理得，则，，故,所以，,因为点A到直线l的距离，点B到直线l的距离，点M到直线l的距离，又，所以，故A错误；因为，所以以为直径的圆的圆心M到l的距离为，即以为直径的圆与l相切，故B正确；同理，，所以，，，则，当且仅当时等号成立，故C正确；.设，则，，.当时，即时，最小，这时，故D正确,故选:BCD.7．（多选题）(2023·江苏·模拟）已知P为抛物线C：上的动点，在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，，，则（

）A．的最小值为4B．若线段AB的中点为M，则的面积为C．若，则直线l的斜率为2D．过点作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，且满足EF平分，则直线GH的斜率为定值答案：ACD【解析】由在抛物线C上，得，抛物线C的方程为，．对于A，过点P作抛物线的准线的垂线PD，垂足为D，由抛物线的定义知，即M，P，D三点共线时，取得最小值，为，故A正确．对于B，因为为AB的中点，所以，，求得直线l的方程为，则