高考数学微专题集专题4：恒成立与存在性问题(原卷版+解析)

专题4：恒成立与存在性问题专题4：恒成立与存在性问题专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.考法一：不等式恒成立问题[规律方法]不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________答案：【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，其中只需要，令（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值），，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）在单调递减，在单调递减【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例2．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____.答案：【解析】作出图象，如图所示，设，则，，.令，则，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，所以，所以由函数图象可知，所以.例3．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【解析】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减可知不恒成立综上所述：【针对训练】1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．2．已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．3．已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．考法二：不等式（方程）有解（能成立）问题[规律方法]根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.例4．已知函数，若存在实数m使得不等式成立，求实数n的取值范围为（

）A．B．C．D．答案：A【解析】由，求导，，当时，，则，当时，，则，，则，令，则，函数，即单调递增，令，解得：，当时，解得：，单调递增；当时，解得：，单调递减，当时，取得极小值，极小值为，的最小值为1，若存在实数m使得不等式，则，则，解得：或，即实数n的取值范围是，故选：A．例5．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C【点睛】的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围.例6．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.【解析】(1)由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，，即；当时，，即；∴函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)因为，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①当时，对任意，都有，∴函数在上单调递减，成立，解得，；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，，解得无解；③当时，对任意的，都有，∴函数在上单调递增，，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.【针对训练】4．已知为奇函数，当时，，当，，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（2）若不等式有解，求a的取值范围．【强化训练】7．已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若对，且，有恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．9．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为A． B． C． D．10．已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为A． B．C． D．11．已知函数，若存在，使得，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．12．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．13．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．14．已知函数，，，其中（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的极值；（3）若，使不等式成立，求的取值范围专题4：恒成立与存在性问题专题4：恒成立与存在性问题专题阐述：无论是不等式的证明、解不等式,还是不等式的恒成立问题、有解问题、无解问题,构造函数,运用函数的思想,利用导数研究函数的性质(单调性和最值),达到解题的目的,是一成不变的思路,合理构思,善于从不同角度分析问题是解题的法宝.考法一：不等式恒成立问题[规律方法]不等式恒成立问题常见处理方法：①分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③最值法：讨论最值或恒成立；④讨论参数.例1．已知函数，若在上恒成立，则的取值范围是_________答案：【解析】恒成立的不等式为，便于参数分离，所以考虑尝试参变分离法，其中只需要，令（导函数无法直接确定单调区间，但再求一次导即可将变为，所以二阶导函数的单调性可分析，为了便于确定的符号，不妨先验边界值），，（判断单调性时一定要先看定义域，有可能会简化判断的过程）在单调递减，在单调递减【点睛】求导数的目的是利用导函数的符号得到原函数的单调性，当导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试在求一次导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号.例2．已知函数，若存在，且，，使得恒成立，则实数的取值范围是____.答案：【解析】作出图象，如图所示，设，则，，.令，则，所以，所以当时，，所以在上单调递增，所以当时，，所以，所以由函数图象可知，所以.例3．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．【解析】（1）令，则当时，令，解得：当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减又，，即当时，，此时无零点，即无零点，使得又在上单调递减为，即在上的唯一零点综上所述：在区间存在唯一零点（2）若时，，即恒成立令则，由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减且，，，①当时，，即在上恒成立在上单调递增，即，此时恒成立②当时，，，，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，即恒成立③当时，，，使得在上单调递减，在上单调递增时，，可知不恒成立④当时，在上单调递减可知不恒成立综上所述：【针对训练】1．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．2．已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围为A． B．C． D．3．已知函数f（x）=ex+1-alnax+a（a＞0）．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．考法二：不等式（方程）有解（能成立）问题[规律方法]根据导数的方法研究不等式能成立问题，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构造函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.例4．已知函数，若存在实数m使得不等式成立，求实数n的取值范围为（

）A．B．C．D．答案：A【解析】由，求导，，当时，，则，当时，，则，，则，令，则，函数，即单调递增，令，解得：，当时，解得：，单调递增；当时，解得：，单调递减，当时，取得极小值，极小值为，的最小值为1，若存在实数m使得不等式，则，则，解得：或，即实数n的取值范围是，故选：A．例5．已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．答案：C【解析】即，所以，则，所以，因为，所以，所以，，由得，此时单调递增，由得或，此时单调递减，所以时，取得极大值为，当时，取得极小值，又因为，，，且时，，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，结合函数图象可得：则，解得，所以时，的解集中恰有两个整数，故实数的取值范围是故选：C【点睛】的解集中恰有两个整数，需求出解析式，所以对已知条件变形可得即结合可求出，的解集中恰有两个整数等价于在下方的图象只有2个横坐标为整数的点，对求导数形结合即可求出实数的取值范围.例6．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范围.【解析】(1)由题意知，，令，当时，恒成立，∴当时，，即；当时，，即；∴函数在上单调递增，在上单调递减.

(2)因为，由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立；令，，①当时，对任意，都有，∴函数在上单调递减，成立，解得，；②当时，令，解得；令，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，又，，解得无解；③当时，对任意的，都有，∴函数在上单调递增，，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.【针对训练】4．已知为奇函数，当时，，当，，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．5．已知函数，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知函数（1）若函数图像上各点切线斜率的最大值为2，求函数的极值点；（2）若不等式有解，求a的取值范围．【强化训练】7．已知，若对任意两个不等的正实数都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知函数，若对，且，有恒成立，则实数的取值范围为A． B． C． D．9．设函数，若不等式有解，则实数的最小值为A． B． C． D．10．已知函数，若不等式在上有解，则实数的最小值为A． B．C． D．11．已知函数，若存在，使得，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．12．已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．13．已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．（1）求函数；（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．14．已知函数，，，其中（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的极值；（3）若，使不等式成立，求的取值范围参考答案：1．C【详解】最大值,因为当时令因此,由因为为偶函数,所以最大值为,,选C.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.2．C【详解】显然，当时，不等式不恒成立，设过原点的直线与函数相切于点，因为，所以该切线方程为，因为该切线过原点，所以，解得，即该切线的斜率，由图象，得.故选C.3．(1)（e2-1）x-y-2=0．(2)（0，e2）分析：（1）直接利用函数的导数求出直线的斜率，进一步求出直线的方程．（2）利用构造函数的方法，利用函数的单调性和函数的恒成问题的应用，进一步求出参数的取值范围．【详解】（1）当a=1时，函数f（x）=ex+1-alnax+a，转换为：f（x）=ex+1-lnx+1，故：．故切线的斜率k=f′（1）=e2-1，故切线的方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1），整理得：y-（e2-1）=（e2-1）（x-1），即（e2-1）x-y-2=0．（2）f（x）=ex+1-alnax+a，所以：=，显然：g（x）=xex+1-a在（0，+∞）上单调递增．由于g（0）=-a＜0，所以：g（a）=aea+1-a＞0，则：存在x0∈（0，a），使得g（x0）=0，即：，lna=lnx0+x0+1，又0＜x＜x0，f′（x）＜0，所以函数f（x）单调递减．x＞x0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．f（x）在x=x0处取得最小值．故：，=由f（x）＞0恒成立，得到：f（x0）＞0，即：，所以：，设h（x）=，则：＜0，所以：函数h（x）在（0，+∞）上单调递减．由于h（1）=0，则h（x）＞0，解得：0＜x＜1，所以：0＜x0＜1，，在x0∈（0，1）单调递增，所以：0＜a＜e2．因此a=，故：a的取值范围为（0，e2）．【点睛】本题主要考查了导数的应用，曲线的切线的意义，利用构造函数的方法利用导数求出函参数的取值范围，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于中档题型．4．D分析：利用为奇函数及已知区间解析式求出在上分段函数的表示形式，由有解，即使即可，结合函数图象分析即可得的取值范围；【详解】若，即，则；∵是奇函数，∴，则，；同理，若，即，则，有，；综上，有作出函数的图象如图：1、当时，是的图象向左平移个单位，即如下图此时有解，满足条件.2、当时，是的图象向右平移个单位，即如下图

当的图象与在相切时，，此时对应直线斜率，由，得，此时，即切点坐标为；设切线方程为，此时，得；∴当时，满足题设条件，解之得：；综上，有或，即的取值范围是；故选：D.【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式，并利用函数不等式能成立，结合函数图象分析边界情况，利用导数求边界值，进而得到参数范围；5．B分析：由已知，得到方程，可得在区间上有解，构造函数，利用导数求出函数在区间上的值域，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意可知方程在区间上有解，再转化为方程在内有解，构造函数，，得，当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.函数在处有最小值，又，，且，∴，所以，，故选：B.【点晴】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程在上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.6．（1）极小值点为，无极大值点；（2）且.【解析】（1）求导后可知，当时取最大值，求得的值，再利用导数研究函数的单调性，进而得到极值点；（2）利用导数研究函数的单调性，得到，将有解转化为，设函数，结合函数的单调性得到，则等价于且，由此求得的取值范围．【详解】解：（1）由于图像上各点切线斜率的最大值为2，即取得最大值为2，由题可知的定义域为，则，即是关于的二次函数，∵，∴当时，取得最大值为，∴，而，∴，∴此时，在上单调递减，在上,单调递增，∴的极小值点为，无极大值点.（2）∵，其中且，在上，，则单调递减，在上，，则单调递增，∴，∵关于的不等式有解，∴，∵，∴，设，则，在上，，则单调递增，在上，，则单调递减，∴，即在内恒成立，∴要求，即，则只需即可，即，等价于，解得：且，∴的取值范围是：且.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值问题，以及构造新函数和根据不等式有解情况求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，是中档题．7．A分析：把题意转化为恒成立.利用分离参数法求出实数a的取值范围.【详解】对任意两个不等的正实数，都有恒成立，即为时，恒成立.所以在上恒成立，则而，则．故选：A．8．C【详解】因为，所以，所以.因为，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因为时，，所以.故选C.点晴：本题考查构造新函数，函数的单调性以及函数单调性转化为的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，本题不等式给出的是分式，应先等价为整式，转化为函数的单调性问题进一步转化为另一个不等式恒成立问题，分离变量重新构造函数解决问题，注意单调性的转化中等号的取舍与验证.9．D分析：先换元，令，将函数化为，再由不等式分类参数得：，令，只需求的最小值即可.【详解】令，则由可得，由可得，即，所以，因为不等式有解，所以只需成立即可，令，只需求出的最小值；因为,令，则，故当，即时，有最小值，故当时，，时，；故有最小值，所以，即的最小值为.故选D【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式成立的问题，通常情况下需要分离参数，用导数的方法求函数的最值来解决，难度较大.10．C分析：原不等式等价于恒成立，构造函数，求导研究函数的单调性进而得到函数的最值.【详解】由，可得，令，则，故当时，，当时，，故在上是减函数，在上是增函数，故，所以实数的最小值为．故选C．【点睛】（1）若对于恒成立，则应求的最小值；若对于恒成立，则应求的最大值．特别需要关注等号是否成立，以免细节出错．（2）在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，一般而言，在同一“问题”中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集．（3）若存在，使得成立，则应求的最大值；若存在，使