2023北师大版新教材高中数学必修第二册同步练习-4平行关系

第六章立体几何初步

§4平行关系

4.2平面与平面平行

基础过关练

题组一平面与平面平行的性质

L若平面。〃平面£,点4先a虺旌£厕直线/C〃直线刃的充要条件是

（）

A.AB//CD

B.AD//CB

C.4B与"相交

D.4SC〃四点共面

2.（多选）已知直线a和两个不重合的平面明。若a〃B,au%则下列四个结

论中正确的是（）

A.a与尸内的所有直线平行

B.a与尸内的无数条直线平行

C.a与6内的任何一条直线都不垂直

D.a与万没有公共点

3.（2022河南濮阳一中月考）如图，平面a〃平面£,△必夕所在的平面与。，£分

别交于⑦和的若小2,。=3,切=1厕AB=_______.

4.如图,四棱柱/贸》45G〃中，平面N阳4〃平面CDDC,且m〃尾，试判断四边

形/比下的形状.

5.如图所示，已知三棱柱/及三4'夕'。'中，〃是区的中点〃'是皮。'的中点设平面

A'"夕n平面4吐a,平面ADC'n平面A'"。'=自试判断直线a,b的位置关系，并证

明.

6.（2022上海奉贤月考）如图，平面。〃平面£，点f是平面明万外一点,从点〃

引三条不共面的射线力,阳/C与平面a分别相交于点4〃C与平面尸分别相交

于点A',B'.求证:△/aS△/'B'C'.

题组二平面与平面平行的判定

7.侈选）（2022湖南长沙长郡中学期中）设a,B为两个平面厕。〃£的充分条

件可以是（）

A.£内的所有直线都与a平行

B.£内有三条直线与a平行

C.a和£平行于同一条直线

D.。和£都平行于同一平面Y

8.（多选）（2022安徽合肥十中期中）已知弓6是不同的直线,a,B是不同的平面，则

下列命题中错误的是（）

A.若2,是异面直线,aua,a〃£/u£/〃a,则a〃£

B.若aua力ua,a〃£,6〃£，则a〃尸

C.若Ma,au£,a〃a厕a〃£

D.若aua,a〃。厕6〃a

9.（2021宁夏银川一中期末）在正方体跖吠/EG园中，下列四对截面彼此平行的

是（）

A.平面E、FG\与平面EGH、

B.平面碇与平面FHG

C.平面E〃月与平面FHE、

D.平面£用与平面EHxG

10.（2021北京昌平二模）已知棱长为1的正方体4为£〃-4比。物是烟的中点动

点〃在正方体内部或表面上运动，且，如〃平面4做,则动点〃的轨迹所形成区域的

面积是（）

A.B.V2C.1D.2

11.（2022浙江温州期中）正方体然处44G〃的棱长为2,££初分别为

〃的中点则过阳且与既平行的平面截正方体所得的截面的面积为

（）

A.V2B.2C.2V2D.4

12.（2021安徽芜湖一中期中）如图，在四棱锥R/四中，底面/颇为平行四边形，

点即;0分别在阳能切上（不与端点重合），目PM\MA=BN\N2PQ：QD.求证:平面

助他〃平面PBC.

13.如图，在正方体4况》中,S是BQ的中点,分别是比MCSC的中点

求证：

⑴直线比〃平面BDDB；

⑵平面跖G〃平面BDDB.

能力提升练

题组一平面与平面平行的性质

1.（2020江西宜春上高二中月考）如图所示，在三棱台44GT和中点〃在44上，

且回〃幽点"是△4笈G内（含边界）的一个动点，且有平面能加〃平面4c则动点

"的轨迹是（）

A.平面B.直线

C.线段,但只含1个端点D.圆

2.（2020河南开封校际联考）如图所示，已知正方体力式》44G〃的棱长为3,点E

在45上,且台后1,记图中阴影平面为平面明且平面a〃平面6G£若平面aA

平面446庐则"的长为（）

A.1B.1.5C.2D.3

3.（2022山东荷泽东明一中月考）如图,四棱柱4岫46G〃中,四边形力加9为平行

四边形,£尸分别在线段能加上，且宗R在3上且平面力环〃平面瓦%则

C.DL

4.（2020广东深圳实验学校月考）如图,多面体4?。切跖中储如0四两两垂直平面

/%〃平面庞河平面庞F〃平面ADGC.AB^AD-D^.AOEF-1.

⑴证明:四边形力的是正方形；

⑵判断点及C£G是否共面,并说明理由.

题组二平面与平面平行的判定

5.（2021安徽合肥第六中学诊断性测试）如图所示，在三棱柱/〃廿44G中名厂分别

是BBM上靠近点0。的三等分点在4G上确定一点。使平面际〃平面AM,

则舒-

6.（2020江西师范大学附属中学期末）如图①所示，在直角梯形ABCP

中,AP〃BC/PIA5AB=B*APQ为"的中点,分别为气切力的中点将△也?

沿⑦折起彳导到四棱锥P如图②所示.求证:在四棱锥P/M?中,"〃平面

EFG.

7.（2022福建厦门双十中学期中）如图，已知正方体力吐"G〃的棱长为3,点E

在用上，点分在夕上,G在即上，目AFFCEBG3H是BC的中点.求证：

⑴四点共面；

⑵平面4阳〃平面BEDF

H

题组三面面平行中的探索性问题

8.（2020湖南衡阳二模）如图，在四棱锥P居切中，△必打是等边三角

骸BC，AB,BOCD=2gAFA22.若加=3庞;则在线段回上是否存在一点£使得平

9.（2020江西临HI第二中学模拟）如图所示，矩形四切和矩形ABEF电好AD点M,N

分别在仍以上,4沪蹲矩形［应F可沿四任意翻折.

⑴求证:当£4〃三点不共线时，线段腑总平行于平面FAD.

⑵“不管怎样翻折矩形/应'6线段法V总和线段川平行.”这个结论对吗?如果对,

请证明;如果不对，请说明能否改变个别已知条件，使上述结论成立.

答案与分层梯度式解析

第六章立体几何初步

§4平行关系

4.2平面与平面平行

基础过关练

1.D

2.BD若两平面平行，则一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线平行或异面，所以A、C错

误,B、D正确.故选BD.

3.答案|

解析根据平面与平面平行的性质及已知可得切〃明所以冷震，因为心2,俏=3,61,所以

ABPA

_CDPA1X55

力An庐----=——

PC22

4.解析因为"'〃比，所以";确定一个平面，设为明则平面。C平面5〃G=G£平面aC平面

ABB\A\=AE,

又平面/眼4〃平面鹤G,所以AE//QF,

所以四边形尸是平行四边形.

5.解析直线a与方平行.证明如下：

连接如：平面4a'〃平面4'8'。',平面/6rl平面46C=a,平面4'〃'8门平面力'6'。'=4'〃'，

C.A'D'//a.

同理可证AD//b.

•••〃是6c的中点〃'是6Z'的中点，颇6Z',

.♦.颂8'〃’,.•.四边形是平行四边形，

:.DD'BBB：

又缈'回A4',回44',

四边形AA为平行四边形，

：.A，D，//AD,：.a//b.

6.证明由题意可知夕4£”,6'在同一平面上，

又因为a〃£,所以

所以△身6s△必"测卷嗡=需，

由题意可知月及。8',。'在同一平面上，

又因为。〃氏所以比〃6'。'，

所以△冏Cs△阳工「则黑=照.

由题意可知“4。力'/'在同一平面上，

又因为。〃£，所以4C〃/'C',

所以△为8△必则磊=备.

所以靠盗喘;，故△布

7.AD对于A,£内的所有直线都与a平行，可知两个平面没有公共点，所以。和£平行，所以A正确;

对于B,B内有三条直线与a平行，若这3条直线是平行线，则这两个平面可能相交，所以B不正确；

对于c,a和£平行于同一条直线,这两个平面可能相交，所以C不正确；

对于D,。和尸都平行于同一平面匕由平面平行的传递性知平面。和£平行，所以D正确.

故选AD.

8.BCD对于A,过6作平面/与平面。交于直线G如图，因为6〃。/uy,所以6〃c,又a,6是异面直

线所以a,c相交油&氏仁£得c//£,又a//B,a,c是a内的两条相交直线，所以a//£,A中命题正

确；

对于B,若a//8,则a与8可能相交,B中命题错误；

对于C,a中只能确定一条直线与£平行,这两个平面可能平行也可能相交,C中命题错误;

对于D,au〃/?，则6〃。或。ua,D中命题错误.

9.A如图,•"勿£6,颇平面E\F£EGu平面E\F鼠

...%〃平面E\F(h.

同理，可证/亿〃平面EF&.

•："ECEG=E,H\E,Ek平面EGH\,

：.平面E\F&//平面EGH、.

10.A如图所示，夕£&，"分别是AM以aG,郎的中点厕历'〃/几的/〃初由此可知即1〃平面AB仄网〃

平面A即又EFC£沪£所以平面力劭〃平面瓯祝故点P的轨迹为矩形旗GV及其内部.

又，妫=8得,所以加考所以点曲轨迹所形成区域的面积/1X4当故选A.

11.C取四的中点e回的中点可切的中点八；连接功切的的八%由正方体的结构特征可得，布〃，物则

四边形.I/O邠为平面图形.

又EP〃MG*k平面MGHN,EN平面MGHN.

...曲〃平面的砌：

,:FP〃MN,2匕平面加例硝平面MGHN,

平面断况M

EPCF六P,：.平面价7力平面MGHN,

又EFu平面EFP,：.EF//平面MGHN,

.•.过G〃且与原平行的平面截正方体所得的截面为矩形MGHN.

"：MG=2,67^V12+12=V2,

二S矩形歌后2让.故选C.

12.证明,?PM：MA=BN：ND=PQ:QD,

：.MQ//AD,\Q//BP.

七平面勿如网平面PBC,

〃平面PBC.

:底面4比》为平行四边形，

：.BC//AD,：.MQ//BC.

,：BCu平面P8CJ侬平面PBC,

〃平面PBC.

又WO八3Q平面MNQ//平面PBC.

13.证明⑴如图，连接期

；分别是8cse的中点,EG//SB.

又•加平面为网平面BD仄反,

.,•直线比〃平面BDDiBi.

⑵连接SD,

•••£G分别是用SC的中点,二FG//SD.

又•.,S9c平面BDB氏FE平面BDDB,

...川〃平面BDDB.

又£住平面EFG.I'Ga平面EF&EGCFG^G,

平面砒7〃平面BDDyB、.

方法总结

⑴要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交且平行于另一个平面的直线即可.

⑵判定两平面平行时,应遵循“先找后作”的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相

交直线，若无法直接找到,可作辅助线.

能力提升练

1.C因为平面应涉〃平面4a平面BDMC平面平面AiCD平面464=4G,所以〃肌〃4G,过。作

DEJ/AC&5G于点&则点M的轨迹是线段处（不包括〃点）.

2.A因为平面a//平面6G月平面aC平面44片户4月平面B&EC平面44笈户庞;所以4尸〃BE.又

4«〃身诉斤以四边形4£即是平行四边形，所以上4代2,所以4户1.

3.答案!

解析连接笈Z外：

,平面4⑦〃平面做&且平面/切丫）平面BRD序EF,平面9GC平面BB\D\D=BK,

：.EF//

'FDiEB2

易得平面ADD\A\//平向BCC\B\,

又BGc平面BCCB,."G〃平面ADDyAx.

•平面4/〃平面B仄G,Bg平面做G

."G〃平面,4跖

平面AEFH平面ADDJrAF,：.BG//AF,

.♦.6C4/7可确定平面ABGF.

又平面力眼4〃平面CBflQ平面力%FA平面力仍4=仍平面48研-1平面CDDxOFG,

：.AB//FG,：.CD//FG,

CC-LDDX3

4.解析⑴证明:因为平面ABC//平面庞河平面ABEDC平面4除仍平面ABEDC平面庞小。£所以

AB//DE.

同理/〃〃能所以四边形/版为平行四边形.

又ABLAD,AB=AD,

所以平行四边形，仿功是正方形.

⑵点附共面.理由如下：

如图，取〃。的中点。连接PA.PF.

因为平面庞尸〃平面42GC平面EFGDC平面庞e四平面仔&〃n平面ADGC=DG,

所以EF〃DG.

同理4C〃〃G.

因为P为%的中点，好2,小1,

所以斯〃也般心则四边形£7刃9为平行四边形，所以DE//PF^阳PF.

又AB〃DE.DE,所以ABUPF且"=例所以四边形4函为平行四边形，

所以在〃质

因为P为的的中点，

所以PG=^DG=\=AC,

又因为力勿偌所以四边形/屐次为平行四边形，所以AP//8所以BF//CG.

故RC£G四点共面.

5.答案!

解析如图，过尸作FP//4c交4c于点。连接EP.

V〃分别是BB“CC\上靠近点作的三等分点，

二EF//BC,又EFCFkF,BCCAiOC,

平面阳'〃平面46c故点P为满足题意的点，此时罄=去弓.

PC】FJ2

6.证明在四棱锥上ABCD中,£尸分别为PC.PD的中点,二EF//◎同理EG//PB.

由题意知40比；；.四边形48口是平行四边形，,AB//CD,：.EF//AB.,：£闪平面PAB,AI^平面PAB,：.EF//

平面PAB.同理,比〃平面PAB.又EFCEG=E,：.平面EFG//平面PAB.Y"t平面PAB,：.AP//平面EFG.

7.证明⑴在加上取一点A,使得用J连接CN,EN；：CB淤1,：.C六N22.

又阻V.四边形。加V是平行四边形，

F〃。'且gCN.

同理,且EMAD.

又BC//4〃且BOAD,：.EN//6c且EN=BC,

.♦•四边形。旗是平行四边形，

：.CN//BE^CN=BE,

:.队F〃BEmIXP-BE,

.♦•四边形〃砸■为平行四边形，

四点共面.

⑵易知A、E〃BG且小&BG,

四边形G6圆为平行四边形,4G〃BE,

又4尔平面BEDxF.BE^平面BERF,

.♦.4G〃平面BE1XF.

取法的中点/连接G/,则G是A/的中点，

又〃是BC的中点,二GI//HG.

,:BI〃C\F,BI=C\F,

.♦•四边形6/G厂是平行四边形，

：.CJ//BF.^BF//HG.

'：BFu平面BED、F,HO呼面BED、F,

...雨〃平面BEDF

：HGCAG=G,HGAfc平面4GH,

，平面平面BEDxF.

8.解析如图，过点£作EF//用交比于点C连接AF.AC.

因为侬3国所以E是"上