函数模型及其应用教案 人教课标版

第二章函数、导数及其应用

吉林人民出版社五编室刘小平

第十节函数模型及其应用

高考目标展示

高考考点要求

函数模型及其应用了解指数函数、对数函数以及基函数

的增长特征；知道直线上升、指数增长、

对数增长等不同函数类型增长的含义；

了解函数模型（如指数函数、对数函

数、募函数、募函数、分段函数等在社

会生活中普遍使用的函数模型）的广泛

使用。

基础知识再现

一、基础知识梳理

知识内容

点

函常见的函数模型有：①、②、③、④、⑤

数

(>)(>)(>)

性

在（8）上的®_______®______

几

种增减性

函增长速度©______⑩________

数

模图像的变化随增大逐随增大逐渐随值变

型

的渐表为与表为与化而不同

性平行平行

质

三（1）指数函数（＞）与募函数（＞）在区间（8）,无论比大多少，尽管在的一

种定范围内会小于，但由于的增长速度的增长速度，因而总存在一个,

增

当〉时有

长

型

函O对数函数（＞）与累函数（＞）对数函数（＞）的增长速度，不论与值的大

数小如何总会的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数，使〉时有.

之

间由（）（）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不

同，且不在同一个档次上，因此在（8）上，总会存在一个，使〉时有.

参考答案：一次函数模型二次函数模型指数函数模型

对数函数模型基函数增函数增函数增函数越来越快越来越慢相对平稳

xnnx

快于a>x慢于x>log”xa>x">logflx（a>1）

基础题自测

.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税外还要征收附加税，已知某种

酒每瓶售价为元，不收附加税时，每年大约销售万瓶，若每销售元国家要征附加税为

元（税率），则每年销售量减少万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附加税额

不少于万元，则的最小值为（）

［提示】依题意解得（100-10x）・70.志2112,WW,则的最小值为.

故选

.从年月日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为，由各银行储蓄点代扣代

收，某人年月日存入若干万元人民币，年利率为，到年月日取款时被银行扣除利

息税元，则该存款人的本金介于一（）

万元万元万元万元

【提示】设存入的本金为，则••，.•.x=1386400=34660.

40

故选

.某物体一天中的温度（单位:。C）是时间（单位）的函数（）/表示中午：，其后取正值,

则下午时温度为（）

℃℃℃℃

【提示】由题意，下午时，，・•.（）℃・故选

,某种商品降价后，欲恢复原价，则应提价三

【提示】设商品原来的价格为，现应提价，由题意得：«（1-10%）（1+%%）=«

得2

.为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下:

加密发送解密

明文一密文密典明文——►

已知力口密为丁=优-2（为明文为密文），如果明文通过加密后得到密文为",

再发送，接受方通过解密得到明文“”，若接受方接到密文为“”，则原发的明文

是.

【提示】依题意中，当时，，故，解得.所以加密为，因此，当时，由,解得.

课堂导与练

一、【重点、难点】

内容剖析

求解函数应用题的一般方法“数学建模”是解决数学应用题的重要

方法，解应用题的一般程序是：

()审题:弄清题意，分清条件和结论，理

顺数量关系，初步选择数学模型

()建模:将文字语言转化成数学语言用

数学知识建立相应的数学模型；

()求模:求解数学模型，得到数学结论；

()还原:将用数学方法得到的结论还原

为实际问题的意义.可以用示意图表示

分析、R

实际问题

抽象、车

答

,反

实际结果i

同时要特别关注实际问题的自变量白勺

取值范围，合理确定函数的定义域.

二【典型例题】

题型一：一次、二次函数模型

例.某旅游点有辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日元.根据

经验，若每辆自行车的日租金不超过元，则自行车可以全部租出；若超出元，则每超

过元，租不出的自行车就增加辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金(元)只取整

数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用(元)表示出

租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).

()求函数()的解析式及其定义域；

()试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？

解：()当W时，，令〉，解得〉.

Ve,...》，G,

当〉时，[()].

令[()]>，有3/<,

上述不等式的整数解为WW(£),

'50115(3<x<6,XGN)

故y=<+，定义域为{WWG}.

2

-3X+68X-115(6<X<20,XGN+)

()对于(WWG).

显然当时，y1mx(元)，对于好

34X11

=-3(x-七丁+餐(6<x<20”N+).

当时，Xnax(元)•

•••>,.•.当每辆自行车的日租金定在元时，才能使一日的

净收入最多.

题型二：指数函数模型与募函数模型

例.某城市现有人口总数为万人，如果年自然增长率为，试解答以下问题：()写出该

城市人口总数(万人)与年份(年)的函数关系式；

()计算年以后该城市人口总数(精确到万人)；

()计算大约多少年以后，该城市人口将达到万人(精确到年).

()如果年后该城市人口总数不超过万人，年自然增长率应该控制在多少？(参考

数据心，y,)

解：()设每年人口平均增长率为，年前的人口数为，

则•()，则当时，，

即()，•••()，

两边取对数，则()，

则()，，心，得.

()依题意，W(),

得WX,

...W,故人口至多有亿.

答：每年人口平均增长率为，年人口至多有亿.

题型三：分段函数模型

例.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，

室内每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)成正比；药物释放完毕后，与

的函数关系式为=()一(为常数)，如图所示，根据图中提供的信息、，回答下列问题:

()从药物释放开始，每立方米空气中

量(毫克)与时间(小时)之间的函数关

()据测定，当空气中每立方米的含药

到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过小时后,

学生才能回到教室.

解：()设=,由图象知=过点()，贝IJ

=X,=,=(WW)；

由=()-过点()得=()-,

=,.*.=()"(>).

()由()一忘=得三，故至少需经过小时.

10t,0<t<0.1

答案：（）=10

(—>0.1

16

题型四：函数模型的综合应用

例.（•湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需

要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成

本为万元.该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度光（单位：）

满足关系：C（x）=—^（OWxWlO）,若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元.设

了（九）为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和.

（I）求人的值及/（%）的表达式;

（II）隔热层修建多厚对，总费用了（%）达到最小，并求最小

解：

（］）设璃熟层厚度为xcn.由题《年年能源消耗赞用为

勿+5

flirt?c（o）=«.Rt=40.因此

“♦5

中位进费耳为CQk6A.

tt.C符段独层曲臾用Lj20年的梯L酒耗费川之和力

/（x）：20<?（x）Cjxi=20x♦6x=*4r《OVxVlO）.

3x*$3x*5

<n）令八力=0,即7^7=6，

（3"5）（3M+5）’

解灯*=5,*=-y（台去）.

当0vxv5时，m<0.当5<xvio时，f（x）>0,故xu5是/（戈）的生小值

点，附位的最小做为义5）=6xS+黑・70.

当隔热层修建5cm厚叶，总费用达到岐小值70万元，

规律方法总结

.二次函数是我们比较熟悉的基本函数，建立二次函数模型可以求出函数的最值，解

决实际中的最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取值范围，根据图

像的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系讨论求解.

,指数和哥指数增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型丁="（1+。尸

（其中是基础数，为增长率，为时间）和幕函数模型y=a（l+九）"（其中为基础数，为

增长率，为时间）的形式.解题时，往往用到对数运算。

.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问

题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围,

特别是端点值.构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏.

三、课堂练习

.某电信公司推出两种手机收费方式种方式是月租元种方式是月租元.一个月的本

地网内打出电话时间（分钟）与打出电话费（元）的函数关系如图，当打出电话分钟

时，这两种方式电话费相差（）

函数解析式为，当时，，42-占=g，，当时，

150x（—20=10.故选

.国家规定个人稿费纳税办法是：不超过元的不纳税;超过元而不超过元的按超过

元部分的纳税;超过元的按全部稿酬的纳税.

已知某人出版一本书，共纳税元，则这个人应得稿费（扣税前）为

（）

7n7nycye

【提示】设扣税前应得稿费为元，则应纳税额为分段函数，由题意，得

’0（0<x<800）

y=｛（x-800）x14%（800<x<4000）.

11%.x（x>4000）

如果稿费为元应纳税为元，现知某人共纳税元，所以稿费应在元之间,故

选

.某市年新建住房万平方米，其中有万平方米经济适用房，有关部门计划以后每年

新建住房面积比上一年增加，其中经济适用房每年增加万平方米.按照此计划，当

年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是（参考数据：=

===）（）

年年年年

【提示】设第年新建住房面积为=（+）,经济适用房面积为=+,由〉得：（+）>

（十）,利用已知条件解得），所以在年时满足题意.故选.

.某产品的总成本（万元）与产量（台）之间的函关系是0.52（<<G）,若每台产品的售

价为万元，则生产者不亏本时（销售收入

不小于总成本）的最低产量是（）

台台台台

【提示】设利润为（）（万元），则（）（）

故选

.手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低，则现在价格为元的手机，两年

后价格为

【提示】半年降价一次，则两年后降价四次，其价格降为2560(1-；)4=.

课后跟踪演练

.某产品第三年的销量比第一年的销量增长，若每年的平均增长率相同(设为)，则

以下结论正确的是0

.>.<.=.的大小由第一年的销量确定

提示：(+)=+,解得=V.故选

.国家规定某行业收入税如下：年收入在万元及以下的税率为，超过万元的部分

按(十加税，有一公司的实际缴税比例为(十),则该公司的年收入是()

.万元.万.万元.万元

【提示】设该公司的年收入为万元，则+(—)(+)=(+).解之得==.故选

.某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过立方

米的，按每立方米元水费收费；用水超过立方米的，超过部分加倍收费.某职工

某月缴水费元，则该职工这个月实际用水为().

.立方米.立方米.立方米.立方米

【提示】设职工用水立方米时缴纳的水费为元，由题意得：

mx(0<%<10)e,口，，、工

y10机+(%-10>2〃？解得故选

10m+(x-10)-2m(x>10)

.年月日某人到银行存入一年期款元，若年利率为，按复利计算，则到年月日可

取款()

(+)元(+)元+(+)元(+)元

【提示】因为年利率按复利计算，所以到年月日可取款(+).

故选

.在一定范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系，如果购买

吨，每吨为元；购买吨，每吨为元;一客户购买吨，单价应该是

()元元元元

【提示】依题意，可设与的函数关系式为，由及可得，即，将代入得.故选

.司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速

上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通

安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，

那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过小时，才能开车？(精确到小时)

【提示】设小时后，血液中的酒精含量不超过，则有

•0W,即()W,估算或取对数计算得小时后，可以开车.

.某市原来的民用电价为元千瓦时，换装分时电表后，峰时段(早上点至晚上点)

的电价为元千瓦时，谷时段(晚上点至次日早上点)的电价为元千瓦时，对于一个平

均每月用电量为千瓦时的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的，刚这个家庭

每月峰时段的平均用电量至多为

【提示】设每月峰时段用电量为千瓦时，则有(一)+(一)(—)》XX,解得W.所

以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为千瓦时

.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)元,

在市内通话时每分钟另收话费元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”,

但在市内通话时每分钟话费为元.若某用户每月手机费预算为元，则它购买“神

州行”卡才合算

【提示】该用户如果选用“全球通”卡，则通话时长为：120.50=350分钟

0.2

该用户如果选用“神州行”卡，则通话时长为：3120=400分钟。故选用“神州行”

0.3

卡

.长春亚泰足球俱乐部准备为救助失学儿童在吉林省体育中心体育场举行一场足

球义赛，预计卖出门票万张，票