【初中数学竞赛辅导】2018届人教版初中数学第15章《问题与面积方法》竞赛复习

第15章面积问题与面积方法

BD_S&ABD

1511★如图(bMcX(dMe)中直线“尸与直线8c交于点。，则(a

CDS&ACD

(bL(d1(e)中有黑=学

D

(d)

解析只要作相应的高，并运用比例即可.

1512★若△/BC中有一点尸，延长4尸、BP、CP,分别交对边于点。E、F，则

殁+殁+空“

DAEBFC

P

BDC

解析如图，易证空，生=红竺，竺，三式相加即得结论.

D4S—BCEBS△ABCFCS^ABC

15.1.3★求证：若点4、B、C、。是一直线上依次的任意四个不同点，点P是直线外一点,

mi二sinNAPC,sinZBPDAC-BD

贝IJ有------------------=-------

sinZBPC-sinZ.APDBC•AD

解析如图，

4C_S4APC_P4PC.sinZAPC

BCSI^SDBrPCCPB-PC-sinZ.BPC

_PAsinZAPC_

~PBsinZBPC，

BD_S&PBD_BPsinNBPD

4D-S^APD―4尸sin/APD'

两式相乘，即得结论.

评注这个定理叫交比定理，在这里作为例子是为了强调交比（即上述比值）是一个重要的

不变量，交比为2时，四点称为调和点列，此时=，这种情形在几何中十分

常见.

34★★如图,瞎。,济，箓…试用外…表示襄

A

解析用面积比或梅氏定理得出，丝=—!—,于是S△衣=坐5△皿）=S^ABC

QAr（p+l）△整AD281+尸+p尸

以及s△神与s△叱的表达式，最后算得沁=+、・

SMBC(l+r+pr)(l+p+pq)(l+q+在)

15.1.5**已知E为△/SC的角平分线40上任一点,AB、/C延长线上分别有点A/、N,

CM//BE,BN//CE,求证：BM=CN.

解析如图，连结ME、NE.E至AB、/C距离相等，即8£-sinN48E=CE-sin4CE,

由CM〃BE,BN//CE，有S^BME=S^BEC=SA£CjV，故g8"•BE•sinZABE=

-CNCEsinZACE,于是BM=CN.

2

15.1.6★★在U/BCD的两边和CD上各取一点尸和E，使得NE=CF,4E与CF交于

P,求证：8尸是4PC的平分线.

解析如图，易知S△仔=；风."=5/^3，又AE=CF,故8至4E的距离与8至C尸距

离相等，于是BP平分41PC.

15.1.7★★已知△/8C的边8C、。、上分别有点。、E、F，且4。、BE、CF共

点，求证：

S&DEFwJ.

S&ABC4

解析如图，设竺=勺，—=k,,~^k3,则由塞瓦定理知勺左以=1・

AF'ECBD''

A

又知原式等价于证明S^FE+SHBFD+SWDC，而江些=竺注=----&------，同理,

S&ABC4S&ABCABAC（1+占）（1+e）

显也=——勺-----,——占-----，于是问题变为证明

S〉ABC（1+k1）（1+左3）S&ABC（1+42）。+后3）

&+k—去分母、考虑尢%刈=1并移项整理得上式等价于

（1+占）（1+&）（1+无3）4

用+工+鼠+工+43+'26.这显然成立，取等号仅当匕=幺=%=1,此时。、E、F为各

k、k2h

边中点.

15.1.8★在凸四边形/BCD中，AB=17,8c=7,DA=22,48c=90°,ZBCD=\35°,

求四边形488的面积.

解析如图，AC=y/AB2+BC2=7338<22，故本题只有一解（否则N。可能为钝角）.

今延长/8、DC交于E，则△8CE为等腰直角三角形，ZE=24.又作/FLE。，则

AF=EF=1242.

_49239

5四世形4BCF—S4A£F-SABCE=144-—

22

又DF=y)AD-AF=14,故S^AFD=840.

于是S四边形g=竽+84应.

15.1.9★★锐角△N8C中，ZBAC=60°,向外作正与正△/（7£•,设8与N8交于

点F,BE与AC交于点G,CD又与BE交于点P,求证：S四边形.松=^^BPC-

解析结论转化为SM.C=SMGC，两边同时除以S"BC,转化成线段之比，即求证芸=半

上式又等价为4£=空

BFAG

这是成立的,因为左式=生=2=右式，此处用到了AB〃CE与AC〃BD.

BDAB

15.1.10*在等腰428。中，/8=/。=12,£、尸分别在两腰/8、AC±,AE^AF^S,

8尸与C£相交于点。，四边形4£7）产的面积为8,求△Z8C的面积.

FFR9FHDF

解析如图，连结EF,设SADEF=X•易知EF〃BC,-=—=-=—=—

△由BC123CDBD

于是SABED=S△mc=1X,

925

^△5DC~~^X，S梯形E8CF=1X

4

S△AEF=三S梯形EBCF=5尤，又

…4

S^AEF=S~X,故X=§

25

S〉ABC~-V+5x=15.

15.1.11★设4。、BE、C户为锐角△/BC的三条高，若EF平分△/BC的三条高，若EF平

分△ABC的面积，求证：

DE'+EF2+FD-=BC-.

解析如图，由条件知区里=1,由于△4FE-A4CB,=cosA,

S“BC2ACAB

故cos?4：,,Z-A=45°.

2

又由相似知NFD3=4=NEQC=45。，故NFDE=90。,DE2+EF2+FD2=2EF2.

又AAEF-AABC，得££=任=立，于是2Er2=8Cz,结论证毕.

BCAB2

★设/是△/8C内心，/在48、BC、C4上的身影分别是乙、M,N,A//延

长后，交LN于T,ZT延长后与8c交于0,求证：BQ=CQ.

解析如图，连结78、TC,本题等价于证明SA"B=SA”一

而,由知

SZ.-jn.iToR=2-ABLT-sinZALN,'S.,Tr=-2ACNT-sinZANLAL=AN

"LN=4NL，于是只需证明/8ZT=NC-N7.

由

LT_S&UT_LI•sinNTIL_sin5_ZC

NT一S^NIT~Nl-sin/TIN~sinC-AB'

结论得证.

15.1.13itr*r★已知：锐角三角形Z8C,向外作正方形4BDE\ACFG,BF、CD交于J,

求证：AJVBC.

解析1如图（1）,作/H_L8C,我们证明/，、BF、CD共点.

(1)

由于力。=7£48,AF=y/2AC,ADAC=45°+ZJ=ZBAF，故=5谶”，而S会

-BD-BCsin(B+90°)=-ABBCcosB,SABCF=-AC-BCcosC.

设CD、AB交于S,BF、"交于T.于《•黑^^^土!

故结论成立.

解析2如图（2），设4/是高，在从I延长线上分别找点K、K',使8KLCD,CKrlBF.

易知ADBC坐ABAK,AK=BC，同理4K'=8C.△K8C的三条高在Q、CD、8尸直线

上.因此K/、CD、8尸三线共点.

KK'

⑵

15.1.14★★★求证：存在一个面积为1的四边形N8C。，使形内任何一点P,SNAB、S^PBC、

S&P8、S△也，至少有一个是无理数・

解析如图，作梯形/BCD,AD//BC,AD=a=啦,BC=2-a,4。与BC的距离为1.

则S梯痴8co=1•

AED

设P是内部任一点，则与中至少有一个是无理数.

否则，若S△加与S△即c均为有理数，设分别为！〃八-n,贝lj'+—%—=1,整理得一个关

22a2—a

于“的二次方程，系数可以是整数.但也决不是这个方程的根，矛盾.

因此以"。与中至少有一个是无理数・

15.1.15★★设UABCD中，N/8C=9W90。，点P为其内部任一点，求证：

221

PB-+PD-PA-PC=2cot6•舟ABcn.

解析此题用坐标法能使解题思路看起来更加清晰.

如图，设8(0,0、C(/7?,0X4(5,/),则。(%7+5,/),于是

PB2+PD2-PA2-PC2

=x2+y2+(x-m-s)2+(y—Z)2-(x-s)2-(y-z)2-(x-m)2-y2

=(加+s)2—nr—s2

=2ms=2•BC-AB-cos6

=2cot0-SjABCD.

15.1.16**四边形438的两条对角线垂直且交于点。，0〃、ON分别与48、力。垂直，

延长MO、NO,分别与C。、BC交于点尸、0,求证：尸0〃5O.

解析显然可将待证式改为

BQDP

~CQ~'CP'

由于80二S^BOQ二BOsinNBO。

丁诙-S&coQ-C0,sinNCOQ

_8。sinNOON

CO-sinNNOA

_BO•sinNOADBO-DO

~COsinAADO~AOCO'

同理，竺也是此式.

CP

于是结论成立.

15117★★已知凸五边形/8COE满足/8=8C,CD=DE,48c=150°,NCDE=30。,

30=2,求五边形/8CZ)£的面积.

解析如图作点C关于8。的对称点K，于是4B=KB,EDKD，分别作乙4BK和NKZM

的角平分线，设交于点〃，则加8、分别垂直平分/K、EK,则点M是LAKE的外

心.

又由于

ZMBD=-ZABC=15°,

2

NMDB=LNCDE=15。,

2

因此ZBMD=90°.

又由于HK〃MZ）,EK//BM，因此/KJ.KE，点〃为RtZ\4KE斜边/E的中点.

由AABM坐/\KBM,/\MKD"MED，以及△8CQ合△BKD得

S五达影ABCDE=2s■

为求心期。，只需注意NMDB=15。，BD=2，因此作点3关于的对称点"（图中未画

出）,相4BMD坐LB'MD,于是

S五边形ABCDE=2S&BMD=

=—x2x2xsin3O°

2

=1.

15.1.18**凸四边形48。。中，£\歹分别在43、BC上，DE、。产将4C三等分，且

S&ADE=S&CDF=~^S五边形ABCD,求证：48=CD.

解析如图，连结8。、BP、BQ.

由S△皿=S△加，S△加=S，8（这是因为AP=QC）知：

S&APE=52叱,

由于"=C0，故如〃即.因此痣=喘，亦即沁=沁•由知，

匕6卜H'&DEB、4DFB

S&DEB=S^DFB,

而SAADE=S^DCF=[S/BCD故

S&ADE-SADCF=S&DE8~^ADFB，

因而E、F为4B、8c中点.由此可得0F、尸E分别为△CP8、△NQB的中位线，即

QF//PB,PE//QB.

因此四边形。08尸为平行四边形，所以

OP=OQ,OD=OB,

而4P=CQ,故

OA=OC,

由此得四边形/8CQ为平行四边形，故43=CD.

15.1.为△NBC的内心，与、£分别为/3、NC的中点.43与CJ延长线交于巴，

AC延长线与BJ延长线交于C2（如图），S^BC=S-BC，求N4

解析设/C=b,AB=c,AB2-C,ACf,BC=a,内切圆半径为r.

be

由—sinZ=S4.c=S△力8c=----sin力得

2Z.i/lxJv£i/fO2'--22

be=b'c.

矛AB{•AC2b'r

而S^BGA~-TTT*ABC=宝•+b+c)•

-AB•AC2b2

又S95~S^AiB、+S〉AK：2=5,.AB[=],°.所以

Z?z+—=(t74-/>4-c)­—,

22h

即

be=(a-b+c),b'.

同理，对△4G层用同样的方法可得：

be=(a+b-c)•c’.

两式相乘，利用bci"得：

be=a2—b2—c2+2hc,

即a2=h2+c2-he=h2+c2-2历cosA.

所以cosA=—,A=60°.

2

求S四边形

15.1.20★★已知C£\5。为直角三角形45C(乙4=90。)的角平分线，交于F

S丛BCF

解析设=c由内角平分线性质,有言=?故?b

"a+b，

,BE=c-AE=-^-

a+ba+b

；abc

于是S&cBE=BEb

2(a+6)

a+b缶

而空=4——,故

FEBEc

CF「a+b

CEa+b+c'

_a+babc

Q&BCF一,i,

a+b+c2(〃+b+c)

同前面类似的算法可得:AD=-^-,故

a+c

be

S四边形

22a+ca+b

abc(a+b+c)

2(a+6)(。+c)

222

禾Ij用a=h+c,

S2BCF(a+b)(a+c)

/+〃+c?+2ab+2bc+2ca

a2+ab+ac+bc

2a2+2ah+2ac+2bc汽

i=2.

+ah+ac+be

15.1.21★★点尸为正三角形48C内一点，PZ=q,PB=b,PC=c，试用〃、6、c表示工力院•

解析分别把△ZPC、/\APB、ACPB绕点4、B、。顺时针旋转60。，得4、B\C三

点，则△4/M'、/\BPB'、△C7V是边长分别为〃、b、c的正三角形，而APB'C

与△NCP是边长各为a、b、c的全等三角形，最终得治枷=且面+〃+/)+

15.1.22★在凸四边形/8C。中有一点尸，满足用•$△〃£■，求证：点P在

该四边形的对角线上.

解析显然P在对角线上时，上述结论成立.今用反证法，若点尸不在对角线上时，如图，

不妨设/C与8。交于点O,又不妨设点尸位于△BOC的内部.此时，80与4尸有一交点，

记为E.

E

BC

由题设得

S&BPC_S&APBBE

S&DPCS&APD~DE

于是由面积比知点E、P、C共线.这样一来，点/、C均在EP直线上，点户就在4C上，

与假设矛盾.

15.1.23★★自△ABC的顶点引两条射线交边BC于X、Y,^,ZBAX=ZCAY，求证：

BXBYAB-„u+

-------=-7.又，反之如何？

CXCYAC-

解析如图，由N历!X=NC4y,得

BX=S“BX_ABAX

CY~S^ACY~AC-AY

又N8/y=44C,故

BY=S^ABY_ABAY

CX~S^ACX~ACAX

两式相乘,即得等晋AB1

7c1

反之，若斯，BY=与，作外接圆，分别交、AC于E、F则BE-B4=BX-BY,

CXCYAC2

CFCA=CXCY，代入得吧=金一得EF"BC，但X、八F、E共圆，故四边形EXXF

CFAC

为等腰梯形，圆周角NE4¥和ZFAY所对弧相等，由于其和小于NA4Cv180。，故

NE4X=NFAY.

15.1.24*★★已知正三角形45c内一点尸，至（I8C、04、A8的射影分别是。、E、F,

求证：AF+BD+CE-BF+AE+CD；LAFP、△8P。和△€1「£：和面积和等于△/8C的

一半.

解析如图，易知AF—BF=P£PB；

AB

2y

PC1-PA2

CE-AE=

CA

三式相加即得结论/尸+8D+CE=8尸+/E+C。.

又过P作MN〃BC,QR//AB,ST〃AC.M、T在上，0、S在.BC上，N、R在NC

上.易知△77>M、△尸QS和△2/«?均为正三角形，四边形/Tn?、MPQB、SCNP均为平行

四边形,记S&APR=S&APT=S],S4TPF=S,WPF=S[,S&PMB~$△008=邑，5△/)℃=S&PSD=$4,

SAPSC=S&PCN=，5，S&PNE=S&PRE=S6,则S&AFP+$△&?£>+$△«>£=^।+5,+S3+S4+S5+S6

=2SAABC•

15.1.25★★已知：凸五边形N8CDE中，AE//BD,CE//AB,P、0分别是BE、CD中

点，R在BE上,AR//PQ,求证：S&BCR=.

解析如图，设8c中点为S,连结PS、QSJi]PS//AB,SQ//AE,NSPQ=NBAR,

ZSQP=NRAE.

设肛CE交于。，则”E，…，普悬瑞嚼Mg喷普

0EBD

=^BDE_故BE.s=RE-S△的，1S.BCR=—S.BCE=—S.BDE=S.DER.

£5'ZAZJCBL\DiJCL\DLKREdm匕BEdBD匕L\Ut,K

△BCE

15126★凸四边形ABC。中，对角线相交于E,M、N分别为/8、CD的中点，连结MN,

交AC于G,交BD于F,K、S分别为8c中点，KS分别与ZC、BD交于P、Q,

求证：S4EGQ=$4升.

解析如图（图中点尸、。未画出）连结MK、NK则以,NK£^AC以XEFG

-△MAW,fi—=—，同理生=处，于是在aEGO与△£"中，NFEP与NGEQ互

EGACEPAC

补，EF.EP=EG.EQ，于是以届。

15.1.27**已知产为△48C内一点，NPAB=NPBC=NPCA=a,求证：

4s△”8c

解析如图，由余弦定理P82=p/2+c2_2Pz.c.cos=P/2+c2_4s△加・cota,同理

222222

PC=PB+a-4S^BPC-cota,PA=PC+b-4S^APC-cota,三式相加，得

22

0=a-+ft+c-4-cot(z'+S^BPC+S^APC),

此即

a2+b2+c2

cota=---------------

4sA曲c

15.1.28*Z\/8C中，AH是高,N8/C=45°,BH=2,CH=3,求S•

解析设/”=〃.分两种情况讨论，一种8、。在”两侧，另一种8、C在，同侧.

B、C在H两侧时，8C=5，于是由面积，/81C-sin45o=5力，即+4）（必+9）=5〃,

得/-37店+36=0,得力=1或6"=1时，ABAC>Z.BAH>45°,不合要求；故6=6,

S/XMC=；x5x6=15.

B、C在〃同侧时，8C=1,同样由面积公式，45・4C・sin45o=/7，即

行+4）（川+9）=/1,得力4+11〃2+36=0,无解.

15.1.29ilr*r★设矩形的边8C、8上分别有点E、F，满足△/跖是正三角形，求

证：

S^ECF=S&AHE+SAAFD•

解析如图，设△/£■尸边长为a.NEFC=6.

取0,^QAF=2ZFAD,ZQAE=2Z.EAB,AQ=a，连结/0、EQ、FQ,AQ^EF

交于R，延长EC至P,EC=CP，连结FP，则以.=；£尸•尸P-sinNEFP=；/sin26.

又易知SAABE+S4AFD=5s△/£。+-S^AFQ=­S^^AEQF=—•AQ-£,Fsin/.ARE=

-a2sinNARE.于是只要证明sinZARE=sin28即可.

4

事实上,ZARE=Z.QAF+60°=2(ZFAD+90°)-120°=2ZAFC-120°=2(6^+60°)-120°

=2夕于是结论成立.

15.1.30***已知正三角形/8。边长为1,。在8c上，BQ=4CQ,尸在上，

ZBPC=120°,求/尸的长.

C

解析如图，作尸。、PE、尸尸分别与8C、C4、48垂直，设PE=x,由一^二

S^ACP

些二4,得尸尸=4x.

CQ

又由条件,知43尸=60。一/尸5C=NPCB,同理，/ACP=NPBC,故

PF_sinZABP_sinZBCP_PD

而一sinNCBP-sinZACP一话

7■又

于是PD-2x.由-S&ABC=S&ABP+S^BCP+S/^c/P=/（X+2入,+4x）

h^APPQ2X5

AR=—,AR.LBC故——=1———=1A----=-

2AQAQAR7

4i491

由于/8=NC=1,BQ=-,CQ=-,tSiAQ2=AB2-BQCQ=\——=—,于是

552525

AP=^AQ=--.（见题9.2.3.）

15.1.31★用正弦定理证明三角形面积公式

$△=篝=2R?sin/sin5sinC=1/?2（sin2/+sin28+sin2C）.

这里a、b、c为△NSC的三边长，R为△48C的外接圆半径.

解析

又q=27?sin4,b=27?sinB,c=27?sinC，代入得

2

5A=2RsinAsinBsinC.

又找到外心o,则

S^ABC=S(\OAB+Sz)BC+SMKJA

=gR?(sin2A+sin2B+sin2C).

评注最后的结果中，S△.外S&OBC、s△⑼可能取负值，但不影响结论.

15.1.32★★★已知U48C。,M、N分别在力。、ABk,5^^=^,SA/fA/Af=S2,SACAV

=$3,试用S|、S2sS3表示S2CMN•

解析如图（a）作PMQJ_CQ，尸、。在直线48、CQ上，设SLLS,又设=〃，

z

MQ=h",AN=a,BN=b，贝lj2s2=4〃,2S3=b(h+/?),2s1=(〃+b)/?',

因此〃=至_,“=2%一空,于是有

aba

…修-讣九

展开得3邑+&-$2-21=51.

ba

解得(—S'+S「S3土小(S3-52-S])~+4s2s3所

记4=X，则SaY+q—S,-S1)x—S,=0

x=25；.

b

2

以S=(a+b)(h+h')=2s3(1+x)=St+S2+S)±yj(St+S2-S3)+4S2S3.

因为S>E+S2+S3,故根号前应取“+”号，于是

解析2如图（b）,延长CM、B4交于K,连结1C,设$二比=$掺8=；$须8=5,则

S"CN=S-S、、于是有_^_=丛皿=必=坐=配"=号二色.解出S,以下同解析

SYS”CNKCAD//sS

1.

K

15.1.33*已知4/8。面积为1,。、E分别在边8c上，且3O=CE=-丁、F、M在边48

Ai,FD//ME//AC,N、G在边ACh,EG//DN//AB，若ME、ND交于P,求S^PFG.

解析如图，由于生=%，，型=3,故/G〃BC,且尸G=±8C.

ABBC5AC55

又作PK,8c，交尸G于S，则PS为△尸FG的高.

设4至8。距离为〃,则由△PDE-A48C,知空=变=3.又叫=!■，故SK=t，于

hBC5CA55

是PS——h.所以S&PFC——FG-PS——,一■BC—h——S4,——.

5°2255258由BC25

15.1.34★已知△18C的三边长分别为°、b、c,面积为S;△力‘8'C’的三边长分别为/、

b\c',面积为S',且。>a',b>b',c>c',则S与S'的大小关系一定是()

A.S>S'B.S<Sf

C.S=S'D.不确定

解析构造AABC与AAB'C'如下：

(1)作,显然

即S>S'.

（2）设a=b=Viol,c=20,〃'=//=c'=10，贝ll儿=1,S=10,S'=x100>10，即

有S<S'.

（3）设a=b=J101,c=20,a'-b'->/29,c'=10，则S=10,h'c-2,S'=10，即有S=S'.

因此，S与S'的大小关系不能确定.应选（D）.

15135★★用长为1、4、4、5的线段为边作梯形，求这个梯形的面积.

解析（1）当梯形的上底为1,下底为5时，两腰长均为4,得等腰梯形（如图（a）所示）.

作ZEJ.8C交8c于E,DF工BC交BC于F，易知EF=1,且8E=BC=2.由勾股定理可

得AE=ylAB2-BE2=2G.所以

S|j影“pc。=3（4D+8C）•AE

=-（1+5）-2>/3=6A/3.

2

（2）当梯形的上底为1,下底为4时，两腰分别为5和4,得直角梯形（如图（b）所示）.

过力作交8C于E,易知CE=1,4E=OC=4,从而BE=3.根据勾股定理的逆

定理可知，4£8=90。.所以

S梯形小=；（1+4>4=10.

（3）若用长为1的线段作梯形的腰，则无法完成符合条件的梯形.

15.1.36★★在直角三角形/BC中，N8=60。，ZC=90°,48=1,分别以“8、BC、CA

为边长向外作等边三角形△N8R、XBCP、△。。，连结。及交于点T,求△PR7的

面积.

解析由题设得8C=；,AC=；,N0/7=9O°,NQCP=150°,尸、8、R三点共线.

因为S△的」"•/。」/7-/。=更47，而^L，所以％陋=更/7.即

△④224SA.ab4

S/M8=$△，?!!■，从而="7,于是

S4PRT=QSAPQR

二2(SAABC+S&ABR+S4BCP+SMAQ+S4CPQ-SEAQR)

V3V337373

4----1---4------1-----

214161616

9#)

~32

15.1.37★设点E、F、G、H分别在面积为1的四边形Z5CZ）的边力8、BC、CD、DAk,

曰AE_BF_CG=也=左（*是正数），求四边形E/G”的面积.

'EB~'FC~'GDHA

解析如图，连续/C、80.易知

H

AEB

S&DHG_DHDG

S&ACDDA-DC

_k___1___k

-7+T?+T-u+1)2

因此

=

SADHG伏+])2S&DAC•

同理BAC■

s△眄=而7”

所以

S&DHG+S&BEF~(卜+34DAC+SBAC)

_k。k

一"访7四边物8"一语记.

同理可证S&AEH+S&CFG=伏+1『-

所以

S四边形EFCH

+

=S四边形/BCD—(S&AKH+S&BEF+SKCFGt\DHG)

-2k/+i

-~a+i)2-a+i)2'

15.1.38★如图，在△/BC中，DE//AB//FG，且尸G到。E、48的距离之比为1:2.若

△/BC的面积为32,△CDE的面积为2,求△CFG的面积S.

解析由。E〃〃尸G知，MDE。ACAB-4CFG,所以

CD=[S△物一[Z=l

CANs：丫324'

又由题设知£2=1,所以

FA2

FD_1

~AD~3"

1131

FD=-AD=-x-AC=-AC,

3344

故FD=DC,

15.1.39*★★凸四边形43C。中，点N在边CO上3N与ZC交于点",若"L,且

ACCD

S^ABC=1,5的=3,S.e=4,求证：点M、N分别为4c与CO的中点•

解析如图，由于工88>5△,，延长C8、D4交于0.

,贝心=三』也也丝=9,故X=1,3%

设$&ABQ=x

S&ABCBCS&BCD4

又代MR〃CD,R在4。上,连结RN、RC,RC与MN交于S,则”=也=处,故

CDACAD

AC//RN,四边形M/WC为平行四边形，S为火。的中点.

于是8s为△CQR的中位线，故MN为△力CD之中位线，故M、，分别为/C、CD的中

点.

2

15140★★已知，ZA8C=90。，。在ZC上,且电变=®_求证：BD^S..BC.

BC+BDCD

解析如图，设",CD=b,NC=6*,则由条件知=

A

+AD-BD,止匕即S-a)8O=a(a+6)cos9-b(a+6)sin8,于是

(b-a)2BD2=(a+b)2(acos0-bsin0)2

=(Q+b)2(a2cos20+b2sin20-2Q%COS6sin0),

注意acos。即。至48距离，bsin。即。至8C距离，故有/8§2。+62$由2夕=802，代入

上式，W[(a+b)2-(a-b)2]BD2=2ab(a+Z>)2cos^sin0,

1

即BD=；(。+bfcos(9•sin6=；.8C=S^ABC.

15.1.41★★点K、M分别是凸四边形/8CZ)的边/B、CO的中点，点乙、N分别在8C、

上使四边形KLMN为平行四边形，证明：鼠地面BQ=2S.8.

解析如图，S-=2S-

h

当4。〃8c时，MK为中位线，于是2s△KML=MK・Q，〃为力。至6c距离，此正是

-7V

QS四边形WBCD＞于是$四边形A8CZ）-40nKLMN•

若/。与8c不平行，设/。、8c中点分别为N'、1，四边形亦为平行四边形,NL、

NZ'的中点都是KW之中点，若N与N'不重合，则Z,与£'也不重合（否则LV、LV'的中

点不是同一点）,因此NZ'与M,相互平分，NN'〃LL',即AD〃BC，与4D、3c不平

行矛盾.所以乙、N是BC、的中点，此时易证S四边陷8CD=2$MM心

15.1.42★★已知UABCD,E、尸分别在8C、CQ上，P、0、R分别为ZE、EF、AF

的中点，求证：BP、CQ、OH三线共点.

解析如图，设BP、。式延长后交于。，如能证明OC平分EE，贝lj6P、CQ、OR即共点.

易知S^AOD+S^BOC=3'ABCD~^^AOB+^^COD

又S&BOE=SAOB»S^AOD=S4DOF

于是,SXBOC=3sqABCD-S^BOE—S^AQD=—SABCD—S^AQB—S&DOF=^FOC»故结论成立.

15.1.43★★已知凸四边形Z8CD的边40、8c上各有一点0、P，满定告=罟,AP与

BQ父于M,CQ与DP交于N,求证：S四边形QMPN=S^AMB+S^DNC,

解析如图，/问题可转化为求证S/*x0c/izD+工i尸sr乂.

下证此式：

记坐=cc=则由定比分点，在

QDBP

SgQC=]+〃S△彳8c+]S4BCD

~S&APB+S.DP•

15.1.44★已知：/XABC中，40是角平分线，E、尸分别在、ZC上，且

NEDB=NFDC=NBAC,求证：BE=CF,并用AABC三边表示赢边曲的.

S&ABC

解析如图，由4DBE-/\ABC-ADFC,得

BE=BC—,

AB

CF=BC—.

AC

于是些二处0£=故8七=6

CFCDAB

ac42

又设△NBC的对应边长为a、b、,则BD,BE=

b+cb+c'

2

_BE•BDaIABC，同理S/SW=

S^(SAABC，故

'△BED=ABBC、AABCb+c

S四边形,4£P尸(6+C)2-2/

S/^ABCS+C)2

15.1.45**已知448。,AB=AC=\0,E.。在ZC上，8。=OE=4,AABE=ZDBC,

求S&ABC•

解析如图，设/ABE=/DBC=e,/EBD=/BED=a,则N4=a—6.

A

由三角形内角和，a-6>+2(26»+a)=180°，得a+6»=60°.S△9=；xl0x4xsin60°=log,

AD=yjAB2+BD2-AB-BD=2M.

由_4c得

S^ABD4D

SA_.=-^=-10V3=—757.

2M19

15.1.46★★★已知△N8C,N&4c=60：=2/C.点尸在△N8C内，使得=G,

PB=5,PC=2,求△NBC的面积.

解析如图，作△/BQ-ZUCP,由于48=2ZC,故相似比为2,于是

AQ=2AP=2y/3,BQ=2CP=4.

NQAP=NQAB+NBAP

=ZPAC+ZBAP=ZBAC=60°,

结合/Q:/P=2:l知，ZAPQ=90°,于是尸Q=K/P=3.

所以BP2=25=BQ2+PQ：从而ABQP=90°.于是

AB2=PQ2+(AP+BQ)2=28+873,

故

SA/fSC=^S-JCsin60°

82

15.1.47★已知矩形488,E、F分别在8C、CDh,AE=4,EF=3,4F=5，若5/、小=

S△阳+$△的，求矩形N8CZ)的面积.

解析如图易知4EF=90。AABEMECF.设AB=x,BE=y则CE==x,CF=-y,

33

DF=x----y,AD=y+—x

44

由条件，知

展开得x=y=,BC=-1V2,

S矩形,£)=2>/2x—\/2=14.

15.1.48★★一个凸四边形的边长依次为〃、b、c、d,两条对角线相交所成的锐角为。，

求该四边形的面积(用〃、b、c、”和。表示).

解析如图，不妨设48=a,BC=b,CD=c,DA=d,4c与BD交于O,/AOD=®

(<90°)，则由四边形的“余弦定理”(见题13.1.7):

cos”3T

2ACBD

于是

S四边形.BD,sin