高三数学一轮复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第4课时基本不等式学案

第4课时基本不等式[考试要求]1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．3．掌握基本不等式在生活实际中的应用．考点一基本不等式的内容及求最值1．重要不等式：∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2．基本不等式如果a>0，b>0，则ab≤a+b2，当且仅当a其中，a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．即正数a，b变形：若a>0，b>0，则a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．[典例1](1)(2023·重庆渝中巴蜀中学校考期末)下列不等式一定成立的是()A．x2＋1>2x(x>0)B．sinx＋1sinx≥2(x≠kπ，kC．1x2+1≥D．t＋1t≥2((2)(2023·山东济南统考三模)已知正数x，y满足4x＋2y＝xy，则x＋2y的最小值为________．(3)①已知0<x<1，求x(4－3x)的最大值；②已知x>54，求f(x)＝4x－2＋1③已知x>－1，求函数y＝x2(1)D(2)18[(1)对于A，当x＝1时，x2＋1＝2x，A不正确；对于B，当x≠kπ，k∈Z时，－1≤sinx≤1，且sinx≠0，若－1对于C，∀x∈R，x2＋1≥1，则0<1x对于D，当t>0时，由基本不等式得t＋1t≥2成立，当且仅当故选D．(2)因为4x＋2y＝xy，则4x+2yxy＝又x，y是正数，所以x＋2y＝(x＋2y)×1＝(x＋2y)4y+2x＝10＋4x当且仅当4xy＝4yx时取得等号，即所以x＋2y的最小值为18，故答案为：18．](3)[解]①因为0<x<1，所以4－3x>0，则有x(4－3x)＝13×3x×(4－3x)≤13×3当且仅当3x＝4－3x，即x＝23故x(4－3x)的最大值是43②因为x>54，所以4x所以f(x)＝4x－2＋14x-5＝4x－5＋14x-当且仅当4x－5＝14x-5，即x所以f(x)＝4x－2＋14x-③因为x>－1，y＝x2+x+4x+1＝x+12-x+当且仅当x＋1＝4x+1，即所以函数y＝x2使用基本不等式求最值时，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可，特别注意“一正”“三相等”这两类陷阱．跟进训练1(1)若x＜23，则f(x)＝3x＋1＋9A．最大值0 B．最小值9C．最大值－3 D．最小值－3(2)(2024·安徽滁州定远中学校考模拟预测)已知实数a>0，b>0，a＋b＝1，则2a＋2b的最小值为________．(3)已知0＜x＜22，则x1(4)已知a>0，b>0，且ab＝a－b＋3，则a＋b的最小值为________．(1)C(2)22(3)24(4)22[(1)∵x＜23，∴3f(x)＝3x－2＋93x-2＋3＝－2-3当且仅当2－3x＝92即x＝－13时取“＝”(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a+b＝22，当且仅当2a＝2b，即a故答案为：22．(3)∵0＜x＜22，∴1－2x2x1-2x2＝当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝12(4)因为ab＝a－b＋3，解得b＝a+3a+1则a＋b＝a＋1＋2a+1≥当且仅当a＝2－1，b＝2＋1时，“＝”成立．故答案为：22．]考点二利用基本不等式判断或证明不等式关系1．几个重要的不等式变形(1)ab≤a2+b22(沟通积ab与平方和(2)a2＋b2≥a+b22(沟通和a＋b与平方和a2＋(3)ab≤a+b22(沟通积ab与和a2．基本不等式链21a+1b提醒：(1)当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三相等”．(3)基本不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．[典例2](1)已知x，y都是正数，且x≠y，则下列选项不恒成立的是()A．x+y2>xy B．xy＋C．2xyx+y<xy D．xy＋(2)(2023·云南昆明统考期末)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1．①证明：1a+b＋1②证明：a2＋b2＋c2≥1(1)D[x，y都是正数，x+y2≥xy，yx＋xy≥2，2xyx+y≤2xy2xy＋1xy≥2中当且仅当xy＝1时取等号，如x＝12故选D．](2)[证明]①1a+b＋1c＝(a＋b＋c)·1a+b+1c当且仅当a＋b＝c＝12所以1a+b＋1②由a＋b＋c＝1，得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝1，又由基本不等式可知当a，b，c均为正数时，2ab≤a2＋b2，2当且仅当a＝b＝c＝13所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc≤3a2＋3b2＋3c2，即3(a2＋b2＋c2)≥1，所以a2＋b2＋c2≥13，当且仅当a＝b＝c＝本例(1)解决的关键是熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．本例(2)中的①由a＋b＋c＝1，1a+b＋1c＝(a＋b＋c)·1a+b+②由a＋b＋c＝1，两边同时平方，结合基本不等式求a2＋b2＋c2的最小值．跟进训练2(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若实数x，y满足x2＋y2－xy＝1，则()A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1BC[由x2＋y2－xy＝1，可得(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤x+y即1＝(x＋y)2－3xy≥(x＋y)2－3x+y24∴(x＋y)2≤4，由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy≤x∴x2＋y2≤2，故C正确；∵x2＋y2≥－2∴1＝x2＋y2－xy≤32(x2＋y2)，∴x2＋y2考点三基本不等式的恒成立问题[典例3](2024·四川南充高级中学校考模拟预测)已知实数x，y满足x＋y－xy＝0且xy>0,若不等式4x＋9y－t≥0恒成立，则实数t的最大值为()A．9 B．12C．16 D．25D[因为x＋y－xy＝0，所以1x＋1∴4x＋9y＝(4x＋9y)1x+1y＝13＋9y当且仅当9yx＝4xy，即x＝52因为不等式4x＋9y－t≥0恒成立，只需(4x因此t≤25，故实数t的最大值为25．故选D．]对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值，大于最大，小于最小．跟进训练3已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－2，4]B．(－2，4)C．(－∞，－2]∪[4，＋∞)D．(－∞，－2)∪(4，＋∞)A[x＋2y＝xy可化为2x＋1则x＋2y＝(x＋2y)2x+1y＝4＋4yx当且仅当x＝2y＝4时等号成立，即x＋2y的最小值为8，因为x＋2y≥m则实数m的取值范围是[－2，4]．故选A．]考点四利用基本不等式解决实际问题[典例4]某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(单位：元)与月处理量x(单位：吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝12x2－200x(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？[解](1)由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为yx＝12x＋80000x当且仅当12x＝80000故该单位当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元．(2)不获利．设该单位每个月获利为S元，则S＝100x－y＝100x－12x2-200x+80000＝－12x因为x∈[400，600]，则S∈[－80000，－40000]，故该单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损．(1)理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．(2)注意定义域，验证取得条件．(3)注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．跟进训练4(2024·广西南宁开学考试)某冰上运动器械生产企业生产某种产品的年固定成本为100万元，每生产x千件，需另投入成本C(x)万元．当年产量低于30千件时，C(x)＝14x2＋10x；当年产量不低于30千件时，C(x)＝50x＋4(1)写出年利润L(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该企业所获年利润最大？最大年利润是多少？[解](1)当0<x<30时，L＝30x－14x2－10x－100＝－14x2＋20当x≥30时，L＝30x－50x+4500x-所以L＝-1(2)当0<x<30时，函数图象的对称轴为x＝40，所以此时该函数单调递增，因此有L<－14×900＋20×当x≥30时，L＝－20x－4500x-15＋1200＝－20×x-15+225因为300>275，所以当年产量为30千件时，该企业所获年利润最大为300万元．课后习题(四)基本不等式1．(人教A版必修第一册P45例2(2)改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82C[xy≤x+y22＝81，当且仅当x2．(湘教版必修第一册P62复习题二T9改编)已知x>2，则x＋1x-A．1 B．2C．22 D．4D[∵x>2，∴x＋1x-2＝x－2＋1x-2＋2≥2x-2·1x-3．(多选)(人教A版必修第一册P46练习T2改编)若a，b∈R，则下列不等式成立的是()A．ba＋ab≥2 C．a2+bBC[当ba<0时，A不成立；当ab4．(北师大版必修第一册P30练习T3改编)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．15152[设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30(0＜x≤18)，所以S＝xy＝12x·2y≤12x+2y25．(2024·山东泰安统考模拟预测)在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品．实验一：小明将5克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将20克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品()A．大于20克 B．小于20克C．大于等于20克 D．小于等于20克C[设天平左、右两边臂长分别为a，b，小明、小芳放入的药品的克数分别为x，y，则由杠杆原理得：5a＝bx，ay＝20b，所以x＝5ab，y＝故x＋y＝5ab＋20ba≥25故选C．]6．(2023·河南安阳统考三模)已知a>0，b>0，则下列命题错误的是()A．若ab≤1，则1a＋1B．若a＋b＝4，则1a＋9C．若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2D．若2a＋b＝1，则ab的最大值为2D[∵0<ab≤1，∴1ab∴1a＋1b≥21ab≥若a＋b＝4，则1a＋9b＝14(a＋＝1＝4，当且仅当a＝1，b＝3时等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤a2+b22＝2，当且仅当若2a＋b＝1，则1＝2a＋b≥22ab，即ab≤18，当且仅当故选D．]7．(多选)(2023·山东烟台统考三模)已知a>0，b>0且4a＋b＝2，则()A．ab的最大值为1B．2a+C．2a＋aD．4a＋2b的最小值为4BC[因为2＝4a＋b≥24ab＝4ab，所以ab因为4a＋b≥4ab，所以8a＋2b≥4ab＋4a＋b＝(2a+b)即(2a+b)2≤4，2a+b≤2，当且仅当a由4a＋b＝2得a＝12－b所以2a＋ab＝2a＋1因为2a＋12b＝122＝12172所以2a＋ab＝2a＋12b－14≥254令a＝13，b＝23，则4a＋2b＝41所以4a＋2b的最小值不是4，D错误．故选BC．]8．当x，y∈(0，＋∞)时，4x4+17xA．(25，＋∞) B．(26，＋∞)C．994，+∞ A[当x，y∈(0，＋∞)时，4x4+17x当且仅当4x2＋y＝x2＋4y，即y＝x2时，等号成立，所以4x4+所以m4>254，即9．(2024·广西校联考模拟预测)已知正实数x，y满足2x＋y＝3，则15x+y＋A．49 B．C．83 D．A[依题意6x＋3y＝5x＋y＋x＋2y＝9，故15x+y＋1x+2y＝1915x+y+1当且仅当x＝12，y10．(2023·山东菏泽一模)设实数x，y满足x＋y＝1，y>0，x≠0，则1x＋2A．22－1 B．22＋1C．2－1 D．2＋1A[当x>0时，1x＋2xy＝x+yx＋2xy＝yx＋2当且仅当yx＝2xy，即x＝2－1，y＝2－2当x<0时，1x＋2xy＝x+y-x＋-2xy＝y-x＋当且仅当y-x＝-2xy，即x＝－1－2，y＝2＋所以1x＋2xy11．(2023·山东东营一中二模)已知3a＝5b＝15，则下列结论正确的是()A．a<b B．(a－1)2＋(b－1)2>2C．ab>5 D．a2＋b2<8B[由题设a＝log315＝1＋log35∈(2，3)，b＝log515＝1＋log53∈(1，2)，所以a>b，故A错误；(a－1)(b－1)＝1且a－1≠b－1，而(a－1)2＋(b－1)2>2(a－1)(b－1)＝2，故B正确；ab＝(1＋log35)(1＋log53)＝2＋log35＋log53>2＋2log35a2＋b2＝2＋2(log35＋log53)＋(log35)2＋(log53)2＝2(log35＋log53)＋(log35＋log53)2，设t＝log35＋log53，则t>2，则a2＋b2＝t2＋2t＝(t＋1)2－1在t∈(2，＋∞)上单调递增，所以a2＋b2>8，故D错误．故选B．]12．(2023·山东日照三模)设x>－1，y>0且x＋2y＝1，则1x+1＋3+222[因为所以x＋1>0，2yx+1因为x＋2y＝1，所以x＋1＋2y＝2，所以1x+1＋1y＝121＝123+当且仅当2yx+1＝x+1y，即x＝22故答案为：3+阶段提能(二)逻辑用语、一元二次不等式及基本不等式1．(北师大版必修第一册P23B组T1)填空：(1)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根”的充要条件是________；(2)“一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分条件但不是必要条件的是________；(3)“一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实数根”的充要条件是________．(1)(－∞，－2]∪[2，＋∞)(2)a│－12<a<0(答案不唯一)(3){a|a<－2}[(1)一元二次方程x2＋ax＋1＝0有实数根，应满足解得a≤－2或所以原命题的充要条件是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)一元二次方程(x－a)(x－a－1)＝0的两个根为a，a＋1，∵有一个正实数根和一个负实数根，∴a<0，a+1>∵-12∴一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的一个充分条件但不是必要条件的是a│(3)设一元二次方程x2＋ax＋1＝0有两个不相等的正实根x1，x2，则Δ=解得a<-2或a>2，故原命题的充要条件是{a|a<－2}．]2．(人教A版必修第一册P23习题1.4T4)已知A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，(1)如果A⊆B，那么p是q的什么条件？(2)如果B⊆A，那么p是q的什么条件？(3)如果A＝B，那么p是q的什么条件？[解](1)如果A⊆B，则有x∈A⇒x∈B，即每个使p成立的量也使得q成立，也就是说p若成立，则q成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．(2)如果B⊆A，则有x∈B⇒x∈A，即每个使q成立的量也使得p成立，也就是说q若成立，则p成立，即q⇒p，所以p是q的必要条件．(3)如果A＝B，则A⊆B且B⊆A，所以p是q的充分条件且是必要条件，即充要条件．3．(湘教版必修第一册P61复习题二T3)证明下列不等式：(1)若a，b，c，d都是正数，则：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd；(2)若a，b，c是非负实数，则a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥6abc；(3)若a，b是非负实数，则a＋b＋2≥2(a+(4)若a，b∈R，则a2[证明](1)a，b，c，d都是正数，可得ab＋cd≥2abcd，ac＋bd≥2abcd，当且仅当ab＝cd，且ac＝bd，即a＝d，b＝c时取得等号．即有(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd．(2)∵a，b，c为非负实数，∴a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)≥a·2bc＋b·2ca＋c·2(3)a＋b＋2＝(a＋1)＋(b＋1)≥2a＋2b＝2(a+b)，当且仅当a＝(4)∵a，b∈R且a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取等号)，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，∴2a即a24．(人教A版必修第一册P48习题2.2T3)某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？[解]设房屋的底面长为xm，宽为ym，总造价为z元，则xy＝48，即y＝48xz＝3x·1200＋6y·800＋5800＝3600x＋57当且仅当3600x＝57600×4x故当房屋的底面长为8m，宽为6m时，房屋总造价最低，最低总造价为63400元．5．(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“yx＋xy＝－2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[法一：因为xy≠0，且xy＋y所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0．所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－2法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以xy＋yx＝-yy所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且xy＋y所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0．所以必要性成立．所以“x＋y＝0”是“xy＋yx＝－26．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是()A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sinx|＋4C．y＝2x＋22-x D．y＝lnx＋4C[选项A：因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取