高三数学一轮复习第八章解析几何第3课时圆的方程学案

第3课时圆的方程[考试要求]1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．考点一圆的方程1．圆的定义及方程定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心(a，b)，半径r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圆心-D半径1提醒：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点-D2，-E2；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx2．点与圆的位置关系的判定设点M(x0，y0)，圆A的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圆心为A(a，b)，半径为r，圆A的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则点M与圆A的位置关系的判断方法如下：位置关系判断方法几何法代数法点M(x0，y0)在圆A内|MA|<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2；x02+y02＋Dx0＋点M(x0，y0)在圆A上|MA|＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；x02+y02＋Dx0＋点M(x0，y0)在圆A外|MA|>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；x02+y02＋Dx0＋[典例1](2024·四川广安高三模拟)分别根据下列条件，求圆的方程：(1)过两点A(0，4)，B(4，6)，且圆心在直线x－2y－2＝0上；(2)半径为13，且与直线2x＋3y－10＝0切于点(2，2)．[解](1)由于圆心在直线x－2y－2＝0上，可设圆心坐标为(2b＋2，b)，再根据圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得[(2b＋2)－0]2＋(b－4)2＝[(2b＋2)－4]2＋(b－6)2，解得b＝1，可得圆心为(4，1)，半径为4-故所求的圆的方程为(x－4)2＋(y－1)2＝25.(2)设圆心坐标为(m，n)，则n-∴m＝0，n＝－1或m＝4，n＝5，∴圆的方程为x2＋(y＋1)2＝13或(x－4)2＋(y－5)2＝13.求圆的方程的两种方法跟进训练1如图，在四边形ABCD中，AB＝6，CD＝3，且AB∥CD，AD＝BC，AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．[解]法一：由题意可知A(－3，0)，B(3，0)，C32设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则9-3D+F=0故所求圆的方程为x2＋y2－34y其圆心坐标为0，12-3法二：由题意，可得点B的坐标是(3，0)，点C的坐标是32，3，线段BC的中点坐标是94，32，直线BC的斜率kBC＝－2，线段BC与方程x＝0联立，解得y＝38所以四边形ABCD外接圆的圆心E的坐标是0，半径|EB|＝0-32所以四边形ABCD的外接圆的方程是x2＋y-38这个圆的圆心坐标是0，38考点二与圆有关的最值问题斜率型、截距型、距离型最值问题[典例2]已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求yx(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[解]原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx所以设yx＝k，即y＝kx当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时2k-0k2+1＝3，解得k所以yx的最大值为3，最小值为－3(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时2-0+b2＝3，解得b＝－2±6所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．又圆心到原点的距离为2-所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.建立函数关系求最值[典例3]设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则PA·12[由题意，知PA＝(2－x，－y)，PB＝(－2－x，－y)，所以PA·PB＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以PA·PB＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，]1.与圆有关的最值问题的三种几何转化法(1)形如μ＝y-(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．2．建立函数关系式求最值问题的解题策略根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值．跟进训练2已知点A(4，2)，点P是圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)上的任意一点．(1)当r＝2时，求|PA|的最大值；(2)若|PA|的最小值为3，求r的值．[解]圆C的圆心坐标为(1，－2)，由两点间的距离公式得|AC|＝4-(1)由|AC|>r＝2知，点A在圆C外，所以|PA|max＝|AC|＋r＝5＋2.(2)当点A在圆C外时，|PA|min＝|AC|－r＝3，即5－r＝3，即r＝2；当点A在圆C内时，|PA|min＝r－|AC|＝3，即r－5＝3，即r＝8.故满足条件的r的值为2或8.考点三与圆有关的轨迹问题[典例4]已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．[解](1)法一(直接法)：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1.又kAC＝yx+1，kBC＝y所以yx+1·yx-3＝－1，化简得x2因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二(定义法)：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0+32，y＝y0+02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2求与圆有关的轨迹问题的四种方法(1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．(2)定义法：根据圆的定义列方程求解．(3)几何法：利用圆的几何性质求解圆的方程．(4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．跟进训练3(2024·山东潍坊高三模拟)已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．[解](1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D32又kAB＝－3，所以km＝13，所以直线m的方程为x－3y由x-3y-则半径r＝|CA|＝-3所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．因为点P的坐标为(5，0)，所以x=x0又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25，整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝254即线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝254【教师备用】设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．[解]如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则ON＝(x0，y0)，MP＝(x＋3，y－4)．因为四边形MONP为平行四边形，所以ON＝MP，所以x因为点N在圆x2＋y2＝4上，所以x02+y02＝4，即(x＋3)当O，M，P三点共线时，不构成平行四边形．直线OM的方程为y＝－43x联立(x+3)解得x=-9所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，半径为2的圆，除去两点-95，12提示：对于求点的轨迹或轨迹方程的问题，在求出轨迹方程后，应判断一下题目中的条件有没有特殊的限制或要求，是否需要排除掉某些特殊点．本题中容易忽略掉O，M，P三点共线时的情况，因此得到轨迹为整个圆的错误结论．【教师备用】拓展视野1阿波罗尼斯圆如图，点A，B为两定点，动点P满足|PA|＝λ|PB|.则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－m，0)，B(m，0)．又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得x+m2+y2两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，x-λ2+1λ2-1m2[典例](1)(多选)(2023·海南中学模拟)已知在平面直角坐标系Oxy中，A-2，0，B(4，0)．点P满足PAPB＝12A．C的方程为x+42＋y2B．在C上存在点D，使得D到点(1，1)的距离为10C．在C上存在点M，使得MO＝2MAD．C上的点到直线3x－4y－13＝0的最大距离为9(2)在平面直角坐标系Oxy中，设点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得|PA|＝2|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．(1)AD(2)[－22－1，22－1][(1)由题意可设点Px，y，由A-2，0，B4，0化简得x2＋y2＋8x＝0，即x+42＋y2点(1，1)到圆上的点的最大距离-4-1设M(x0，y0)，由MO＝2MA，得x02+y0联立方程消去y0得x0＝2，解得y0无解，故C错误；C的圆心(－4，0)到直线3x－4y－13＝0的距离为d＝3×-4-135＝5，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线3x－4y(2)设P(x，y)，则x-12+y2＝2·x-32+y2，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|课后习题(四十四)圆的方程1．(人教B版选择性必修第一册P121习题2－3A组T2改编)圆x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的面积最小值是()A．52B[圆x2＋y2＋2x－2ay－4＝0(a∈R)的半径r＝124+4a2+16＝a2∴Smin＝5π.]2．(人教A版选择性必修第一册P85练习T3改编)已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4A[法一：AB的中点坐标为(0，0)，|AB|＝1--12+-1-1法二：(应用常用结论)以AB为直径的圆的方程为(x－1)·(x＋1)＋(y＋1)(y－1)＝0，即x2＋y2＝2.]3．(人教A版选择性必修第一册P84例3改编)过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C[法一：设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：由已知条件得，线段AB的垂直平分线的方程是y＝x，由y=x，x+y∴圆心坐标为(1，1)，∴r2＝(1－1)2＋[1－(－1)]2＝4，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.故选C.]4．(人教A版选择性必修第一册P86例4改编)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．x2＋y2－2x＝0[设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆经过点(0，0)，(1，1)，(2，0)，∴F=0，2+D+E+F=0，∴圆的方程为x2＋y2－2x＝0.]5．(2024·河南郑州模拟预测)圆心在射线y＝34x(x≤A．x2＋y2－8x－6y＝0 B．x2＋y2－6x－8y＝0C．x2＋y2＋8x＋6y＝0 D．x2＋y2＋6x＋8y＝0C[因为圆心在射线y＝34x(x≤0)上，故设圆心为a，34又半径为5，且经过坐标原点，所以a2+34a即圆的圆心坐标为(－4，－3)，则圆的方程为(x＋4)2＋(y＋3)2＝25，即x2＋y2＋8x＋6y＝0.故选C.]6．(2023·广东湛江二模)若与y轴相切的圆C与直线l：y＝33x也相切，且圆C经过点P(2，3)，则圆CA．2B．2或143C．74D．7B[因为直线l：y＝33x所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线y＝3x上．设圆心C(a，3a)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝a2，将点P(2，3)的坐标代入，得(2－a)2＋(3-3a)2＝a整理得3a2－10a＋7＝0，解得a＝1或a＝73所以圆C的直径为2或143故选B.]7．如果实数x，y满足(x－1)2＋y2＝34，那么yA．12B．33C．3D[显然x≠0，令yx＝k，即y＝kx，代入(x－1)2＋y2＝34得(1＋k2)x2－2x＋14＝0，所以Δ＝4－4×(1＋k2)×14≥0，解得－3≤所以k的最大值为3.故选D.]8．(2024·梧州模拟预测)若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A．y2－4x＋4y＋8＝0 B．y2－2x－2y＋2＝0C．y2＋4x－4y＋8＝0 D．y2－2x－y－1＝0C[圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0的圆心为Aa2，-1，圆x2＋y2因为圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，所以AB的中点a4，-12满足直线y＝过点C(－2，2)的圆P与y轴相切，设圆心P的坐标为(x，y)，所以x+22+y解得y2＋4x－4y＋8＝0.故选C.]9．(2024·云南昆明模拟)已知点A(－2，0)，B(0，2)，动点M满足AM·MB＝0，则点M到直线y＝0或1(只写一个即可)[由题设知AM⊥MB，即M在以AB为直径的圆上，且圆心为(－1，1)，半径为2，所以M的轨迹为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，而(－1，1)到直线y＝x＋2的距离为d＝02所以M到直线y＝x＋2的距离范围为[0，2]，所以点M到直线y＝x＋2的距离的整数值可以是0或1.]10．(2023·银川三模)若圆x2＋y2－2ax－2by＝0(a>0，b>0)被直线x＋y＝1平分，则1a3＋22[由x2＋y2－2ax－2by＝0⇒(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2，所以该圆的圆心坐标为(a，b)，因为圆x2＋y2－2ax－2by＝0被直线x＋y＝1平分，所以圆心(a，b)在直线x＋y＝1上，因此有a＋b＝1，所以1a+2b＝(a