高三数学一轮复习第二章函数第8课时函数的零点及应用学案

第8课时函数的零点及应用[考试要求]1．理解函数的零点与方程的解的联系．2．理解函数零点存在定理，并能简单应用．3．了解用二分法求方程的近似解．考点一判定函数零点所在区间1．函数的零点(1)函数零点的概念对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点．注意：零点不是点，是满足f(x)＝0的实数x．(2)三个等价关系(3)函数零点存在定理2．二分法的定义对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．[典例1](1)(2024·东北师范大学附属中学第一次摸底考试)方程log3x＋x＝2的解所在区间是()A．(0，1) B．(1，2)C．(2，3) D．(3，4)(2)(2024·南通模拟)已知方程lnx＝11－2x的实数解为x0，且x0∈(k，k＋1)，k∈N*，则k＝()A．1 B．2C．3 D．4(1)B(2)D[(1)设f(x)＝log3x＋x－2，则方程log3x＋x＝2的解所在区间即为f(x)零点所在区间，∵y＝log3x与y＝x－2在(0，＋∞)上均单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．对于A，∵f(1)＝log31＋1－2＝－1，∴当x∈(0，1)时，f(x)<－1，A错误；对于B，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝log32＋2－2＝log32>0，即f(1)f(2)<0，∴∃x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，B正确；对于CD，当x>2时，f(x)>f(2)>0，∴f(x)在区间(2，3)和(3，4)上无零点，CD错误．故选B．(2)令f(x)＝lnx＋2x－11，由f(1)f(2)＝－9(ln2－7)＞0，f(2)f(3)＝(ln2－7)(ln3－5)＞0，f(3)f(4)＝(ln3－5)(ln4－3)＞0，f(4)f(5)＝(ln4－3)(ln5－1)＜0，可知k＝4．]本例(1)中，解决的关键是将求方程解所在区间转化为求函数f(x)＝log3x＋x－2的零点所在区间，结合零点存在定理对所给的选项一一验证即可．本例(2)亦相同处理．跟进训练1函数f(x)＝x－log12A．0，14C．13，1C[∵y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－log12x在(0，＋∴函数f(x)＝x－log12x＋1在(0，＋∵f14＝14－log1f13＝13－log1213＋1＝43－log2f12＝12－log1∴函数f(x)＝x－log12x＋1的零点所在的区间为故选C．]考点二确定函数零点个数函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)用零点存在定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．[典例2](1)函数f(x)＝x2A．3 B．2C．1 D．0(2)函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点个数为________．(1)B(2)1[(1)由f(x)＝0得，x≤0，解得x＝－2或x＝e．因此函数f(x)共有2个零点．故选B．(2)令f(x)＝0，可得方程lnx＋x2－3＝0，即lnx＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝lnx与y＝3－x2图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．由图可知，函数y＝3－x2与y＝lnx的图象只有一个交点，故函数f(x)＝lnx＋x2－3只有一个零点，故答案为1．]在本例(1)中，可根据零点的定义直接计算函数零点，进而得出零点个数；本例(2)中，求函数f(x)＝lnx＋x2－3的零点个数，转化为函数y＝3－x2与y＝lnx图象的交点个数，作出图象后观察其交点个数即可．跟进训练2函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1(a＞0)的零点的个数是________．2[令f(x)＝0，则|x2－2x|＝a2＋1．因为a＞0，所以a2＋1＞1．作出函数y＝|x2－2x|的图象如图所示，所以函数y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点，因此函数f(x)＝|x2－2x|－a2－1有两个零点．]考点三根据函数零点求参数范围已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．[典例3](1)(2023·山西阳泉统考三模)函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(1，5) D．(5，＋∞)(2)已知函数f(x)＝ex–a，x≤0，2x-a，A．(0，1] B．[1，＋∞)C．(0，1) D．(－∞，1](1)B(2)A[(1)由y1＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，y2＝x2＋m在(0，＋∞)上单调递增，得函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点，所以f1<0解得－5<m<－1，所以实数m的取值范围是(－5，－1)．故选B．(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0<a≤1；当x>0时，f综上，0<a≤1．]本例(1)中，解题的关键是先判断函数的单调性，再结合零点存在定理，解f1<0f2>0，得m的取值范围；本例(2)中，解决的关键是作出函数跟进训练3(1)(2024·江苏南通高三校联考阶段练习)已知函数f(x)＝ex-1－e1-x＋4，若方程f(x)＝kx＋4－k(k>0)有三个不同的根x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝()A．4 B．3C．2 D．k(2)函数f(x)＝2x－3x－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数aA．(7，＋∞) B．(－∞，－1)C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．(－1，7)(1)B(2)D[(1)由题意，设h(x)＝ex－e－x，因为h(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－h(x)，且h(x)的定义域为R，所以h(x)＝ex－e－x为奇函数，f(x)由函数h(x)＝ex－e－x向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以f(x)的图象关于点(1，4)对称．而f(x)＝kx＋4－k＝k(x－1)＋4所表示的直线也关于点(1，4)对称，所以方程f(x)＝kx＋4－k的三个实根x1，x2，x3中必有一个为1，另外两个关于x＝1对称，所以x1＋x2＋x3＝3．故选B．(2)因为y＝2x和y＝－3x在(0，＋∞所以f(x)＝2x－3x－a在(0，＋∞所以只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a故选D．]课后习题(十二)函数的零点及应用1．(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a的取值范围是()A．15，+∞C．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪1D[当a＝0时，f(x)＝1，函数y＝f(x)的图象与x轴无交点，不符合题意，所以a≠0，所以函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)上单调，所以f(－1)·f(1)<0，即(5a－1)(a＋1)>0，解得a<－1或a>152．(北师大版必修第一册P131例1改编)函数f(x)＝x＋log2x的零点所在的区间为()A．13，1C．23，3B[f(x)＝x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增，f13＝13＋log213＝13－log23<＝－23<0，f12＝12＋log21f23＝23＋log223＝53－log23＝135-3log23＝13(log232－log227)>0，则函数f3．(人教A版必修第一册P155习题4.5T2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表，那么函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有()x1234567f(x)123.521.5－7.8211.57－53.7－126.7－129.6A．2个 B．3个C．4个 D．5个B[由数表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0．则f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，又函数f(x)的图象是连续不断的，由零点存在定理可知，函数分别在(2，3)，(3，4)，(4，5)上至少各一个零点，因此在区间[1，6]上的零点至少有3个．故选B．]4．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T4改编)已知函数f(x)＝2x-1，x<1，-x-12，x≥1，A．(－∞，0] B．(0，1]C．(－1，0] D．[0，1)D[函数g(x)＝f(x)－k有两个不同的零点，即为函数y＝f(x)的图象与直线y＝k有两个交点，函数y＝f(x)的图象如图所示，所以k∈[0，1)．故选D．]5．(2024·广东深圳阶段练习)函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点一定位于区间()A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(5，6)B[因为f(2)＝log22＋2×2－7＝－2<0，f(3)＝log23＋2×3－7＝log23－1＝log23－log22>0，所以，f(2)f(3)<0，又f(x)＝log2x＋2x－7在(0，＋∞)上连续不间断，且单调递增，所以f(x)＝log2x＋2x－7的零点一定位于区间(2，3)，故选B．]6．(多选)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)AD[f(－2)＝1e2>0，f(－1)＝f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点．]7．(2024·潍坊市四县高三模拟)函数f(x)＝(x2－x)·ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数是()A．3 B．4C．5 D．6A[求函数f(x)＝(x2－x)ln2x-3在区间[－2，2]上的零点个数，转化为方程(x2－x)ln|2x－3|＝0在区间[－2，2]上的根的个数．由(x2－x)ln|2x－3|＝0，得x2－x＝0或ln|2x－3|＝0，解得，x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f(x)＝(x2－x)ln|2x－3|在区间[－2，2]上的零点个数为3．故选A．]8．(2024·吕梁模拟)函数f(x)＝13x－lnxA．1 B．2C．3 D．4B[由题设，f′(x)＝13－1x＝x-33x且f(x所以在(0，3)上f′(x)<0，在(3，＋∞)上f′(x)>0，即f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极小值为f(3)＝1－ln3<0，又因为f1e＝13e＋1>0，f(e2则函数f(x)在(0，3)，(3，＋∞)上各有一个零点，共有2个零点．故选B．]9．(2024·南开中学校考期末)已知函数f(x)＝2x，x≤0，log2x，x>0，若函数A．[－1，0) B．[－1，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1]A[g(x)存在两个零点，等价于y＝－m与y＝f(x)的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，若两函数图象有两个交点，则0<－m≤1，解得m∈[－1，0)．故选A．]10．(多选)(2024·广东佛山阶段练习)已知函数f(x)＝x-1，A．f(f(－4))＝4B．不等式f(x)>0解集为(－∞，5)C．方程f(x)＝3有两个解D．若a<b<c且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c∈[6，7)CD[对于A：f(－4)＝-4-1＝5，∴f(f(－4))＝f(5)＝5－5＝0，故A错误；对于B，C，D：作f(x)的图象如图所示，不等式f(x)>0解集为(－∞，1)∪(1，5)，故B错误；1<3<3，由图知，y＝3的图象与f(x)的图象有且仅有2个交点，∴方程f(x)＝3有两个解，故C正确；令f(a)＝f(b)＝f(c)＝t，y＝t图象与f(x)的图象相交于如图所示3点，∵5－x＝1，解得x＝4，∴4≤c<5，易知y＝