高三数学一轮复习第十章统计与成对数据的统计分析培优专题16概率、统计的综合问题课件

第十章统计与成对数据的统计分析高考培优16概率、统计的综合问题[培优技法]

近几年高考特别注重对概率和统计结合、概率和其他知识(如数列与函数)结合的综合考查，通常以实际问题为背景，通过构建数学模型，突出考查统计与概率思想、数据处理能力和应用意识．复习备考时，要把基础知识理解透彻，在情境问题中能够发现考查的本质问题．(1)注重情境，注重审题考查概率统计的试题多以生产生活中的实际问题为背景，阅读量大，首先根据文字信息、图表信息了解考查的知识点，再结合考查目标，理解图文的内在含义，最后整合有效信息，明确数据关系．对题目的准确理解，找到数学模型是解答题目的关键．(2)关注素材，注重图表图表语言具有直观、简洁、信息量大等特点，高考试题经常以图表作为情境材料呈现，准确读表(图)、识表(图)和用表(图)的能力至关重要，要从图表中获取有效信息，灵活运用图表信息作出统计推断和决策．(3)关注生活，注重应用多关注生活背景、社会现实、经济建设、科技发展、体育精神等各个方面，培养和提升数据处理能力、数学建模能力，培养用数据说话的理性思维．(4)重视交汇，提升能力统计与概率具有广泛应用性，一方面，统计和概率、计数原理等知识可以有机结合，即以统计知识为背景，以频率来估计概率或计数为基础，过渡到概率问题；另一方面，统计与概率可以和其他数学知识相结合，如可以和函数、数列、不等式等结合．因此在复习备考中，有必要针对统计与概率和其他知识相结合的问题进行训练．[培优案例]

类型1以统计图表为载体的概率统计问题[例1]质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：

α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

质量无人机合计甲乙优质产品7060130不是优质产品304070合计100100200

点拨

该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．类型2概率、统计与数列的综合问题[例2]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.①证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．[解]

(1)X的所有可能取值为－1，0，1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．

【教师备用】时至21世纪，环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；(2)设Pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．

①用Pn－1表示Pn(n≥2)；②王先生的这种随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由．

X123

P

点拨

概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系．解决此类问题的基本步骤为：(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则；(2)准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；(3)解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解．求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式．类型3概率、统计与函数的交汇问题[例3]

(2021·新高考Ⅱ卷改编)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1.[解]

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)法一：常规求导p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，f″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1.当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f′(0)＝p1－1＜0，f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.∴f(x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1.

【教师备用】已知某工厂加工5G手机的某种精密配件的合格率为p(0<p<1)，若加工后的30件这种精密配件中恰有6件不合格的概率为f(p)，且f(p)的极大值点为p0.(1)求p0；(2)设该工厂加工5G手机的这种精密配件的合格率为p0，在合格品中，优等品的概率为0.5.①从加工后的这种精密配件中随机抽取若干件，设其中优等品有X件，若P(X＝6)最大，求抽取的这种精密配件最多有多少件；②已知某5G手机生产商向该工厂提供这种精密配件的原料，经过该工厂加工后，每件优等品、合格品分别以150元、100元被该5G手机生产商回收，同时该工厂对不合格品进行复修，每件不合格品只能复修为合格品或不合格品，且复修为合格品和不合格品的概率均为0.5，复修后的合格品按合格品的价格被回收，复修后的不合格品按废品处理掉，且每件不合格品还需要向该5G手机生产商赔偿原料费30元．若该工厂要求每个这种精密配件至少获利50元，加工费与复修费相等，求一个这种精密配件的加工费最高为多少元？

②设该工厂加工一个这种精密配件获利Y元，加工费与复修费均为m元，由题意可知，Y的可能取值为150－m，100－m，100－2m，－30－2m，则随机变量Y的分布列为则E(Y)＝0.4(150－m)＋0.4(100－m)＋0.1(100－2m)＋0.1(－30－2m)＝107－1.2m，由题意可知，107－1.2m≥50，解得m≤47.5，所以一个配件的加工费最高为47.5元．

Y150－m100－m100－2m－30－2mP0.40.40.10.1点拨

通过设置变量，利用数学期望、方差或概率的计算公式构造函数，是概率与函数问题结合最常用的方式．解决此类问题，应注意两个问题：(1)准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的数学期望、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；(2)注意变量的取值范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身取值的限制．【教师备用】课后习题是如何变为高考题的？1．(人教B版选择性必修第二册P120练习BT2改编)某企业有甲、乙两个分厂生产同一种产品，在检查产品的优质品率时，从甲、乙两厂各抽取了500件产品，其中甲厂有优质品360件，乙厂有优质品320件．(1)分别估计甲、乙两厂的优质品率；(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为两厂的优质品率有差异？

产品分厂合计甲乙优质品360320680非优质品140180320合计5005001000

2．(2022·全国甲卷改编)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次