人教A版普通高中数学一轮复习第六章第四节直线、平面垂直的判定与性质学案

第四节直线、平面垂直的判定与性质考试要求：1.能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题．自查自测知识点一直线与平面垂直判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直．(×)(2)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直．(×)(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的所有直线都垂直．(√)(4)已知△ABC和两条不同的直线l，m，若l⊥AB，l⊥AC,m⊥BC，m⊥AC，则直线l∥m.(√)核心回扣1．判定定理：文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．符号表示：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.2．性质定理：文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b．注意点：判定定理中平面内的两条直线必须是相交直线．自查自测知识点二平面与平面垂直1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”．(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，那么α⊥β.(×)(2)如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．(×)(3)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)(4)如果两个平面垂直，那么垂直于交线的直线必垂直于其中一个平面．(×)2．(教材改编题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥矩形底面ABCD，则四棱锥的四个侧面中，一定垂直的侧面有对．3解析：由题意知PA⊥矩形底面ABCD，所以PA⊥CD．又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．同理可得平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PAB．核心回扣1．面面垂直的定义：两个相交平面所成的二面角是直二面角．2．判定定理：文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．符号表示：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β.3．性质定理：文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．符号表示：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α．注意点：面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．自查自测知识点三线面角和二面角1．(教材改编题)若正四棱锥的所有棱长都相等，则该棱锥的侧棱与底面所成的角的大小为(B)A．30° B．45°C．60° D．90°2．在正四面体A-BCD中，二面角A-BC-D的余弦值是()A．13 B．C．33 D．A解析：如图，取BC的中点F，连接AF，DF，则AF⊥BC，DF⊥BC，所以∠AFD为二面角A-BC-D的平面角．设正四面体D-ABC的棱长为6，在正三角形ABC中，AF＝ABsin60°＝33.同理DF＝BDsin60°＝33.在△AFD中，由余弦定理得cos∠AFD＝FD2+FA23．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()A．60° B．30°C．45° D．15°C解析：由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝C，所以BC⊥平面PAC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.核心回扣1．线面角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角．(2)特例：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°，一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°．(3)取值范围：0，2．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角．(3)取值范围：[0，π]．【常用结论】1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．4．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．应用1已知l1，l2是平面α内的两条直线，l是空间中的一条直线，则“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A解析：当l⊥α时，l1⊂α，l2⊂α，所以l⊥l1且l⊥l2；当l⊥l1且l⊥l2，l1⊂α，l2⊂α时，因为无法判断l1，l2是否相交，所以l⊥α可能成立，也可能不成立．综上，“l⊥α”是“l⊥l1且l⊥l2”的充分不必要条件．应用2(多选题)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列说法中正确的是()A．若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若α∩β＝n，α⊥γ，β⊥γ，则n⊥γD．若m⊥α，m⊥β，α∥γ，则β∥γACD解析：由线面平行的性质可知A正确．若m∥n，m∥α，则n⊂α或n∥α，故B错误．若α⊥γ，则在γ内可作a⊥α.因为α∩β＝n，所以n⊂α，则a⊥n.同理，在γ内可作b⊥β，可得b⊥n.因为α∩β＝n，所以a，b也相交，所以n⊥γ，故C正确．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，又α∥γ，由平行的传递性可得β∥γ，故D正确．垂直关系的基本问题1．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A．l⊥m B．m∥βC．m⊥β D．l∥mA解析：因为m⊥γ，且l⊂γ，所以l⊥m，A正确，D错误．直线m和平面β不能确定关系．2．(多选题)(2024·聊城模拟)已知空间中的两条直线m，n和两个平面α，β，则“α⊥β”的充分条件是()A．m⊥α，m∥βB．m⊂α，n⊂β，m⊥nC．m⊂α，m∥n，n⊥βD．m⊥n，m⊥α，n⊥βACD解析：若m∥β，则存在一条直线l⊂β，使得m∥l.因为m⊥α，所以l⊥α.又l⊂β，所以α⊥β，即条件“m⊥α，m∥β”能够推出“α⊥β”，故A正确．当m⊂α，n⊂β，m⊥n时，α，β可能相交或平行，故B错误．若n⊥β，m∥n，则m⊥β.因为m⊂α，所以α⊥β，故C正确．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n⊂α.因为n⊥β，所以α⊥β，故D正确．3．(多选题)若平面α，β满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中是真命题的为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P垂直于直线l的直线在平面α内C．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P且在平面α内垂直于l的直线必垂直于平面βACD解析：由于过点P垂直于平面α的直线必平行于平面β内垂直于交线的直线，所以该直线平行于平面β，因此A正确；过点P垂直于直线l的直线有可能垂直于平面α，不一定在平面α内，因此B不正确；根据面面垂直的性质定理知，选项C，D正确．与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准，甚至无须作图通过空间想象来判断．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定定理或性质定理进行简单说明．几何法求线面角和二面角【例1】(1)(2023·全国乙卷)已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形．若二面角C-AB-D为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A．15 B．C．35 D．C解析：如图，取AB的中点E，连接CE，DE.因为△ABC是等腰直角三角形，且AB为斜边，所以CE⊥AB．因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB，所以∠CED为二面角C-AB-D的平面角，即∠CED＝150°.因为CE∩DE＝E，CE，DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE.因为AB⊂平面ABC，所以平面CDE⊥平面ABC．因为平面CDE∩平面ABC＝CE，CD⊂平面CDE，所以直线CD在平面ABC内的射影为直线CE，所以∠DCE为直线CD与平面ABC所成的角．令AB＝2，则CE＝1，DE＝3，在△CDE中，由余弦定理，得CD2＝CE2＋DE2－2CE·DEcos∠CED＝1＋3－2×1×3×−32＝7，所以CD＝由正弦定理，得DEsin∠DCE即sin∠DCE＝3sin150°显然∠DCE是锐角，所以cos∠DCE＝1−sin2∠DCE＝tan∠DCE＝sin∠DCEcos所以直线CD与平面ABC所成角的正切值为35(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝23，CC1＝2，则二面角C1-BD-C的大小为．30°解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O.因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．在Rt△C1CO中，C1C＝2，CO＝12AC＝6，则C1O＝C1C2+CO2＝22，所以sin∠C1OC＝C1CC由图可知，二面角C1-BD-C为锐二面角，即二面角C1-BD-C的大小为30°.求线面角、二面角的常用方法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线、找垂足，把线面角转化到一个三角形中求解．(2)二面角大小的求法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有定义法和垂面法．注意利用等腰三角形和等边三角形的性质．1．在三棱锥P-ABC中，已知△ABC是边长为8的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA＝14，则直线AB与平面PBC所成角的正弦值为()A．7183122 C．5183122 A解析：因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．由题意可得PB＝PC＝82+14在△PBC中，设边BC上的高为h，则h＝PB2−BC22＝261，所以△PBC的面积S△PBC＝12设点A到平面PBC的距离为d，因为VP-ABC＝VA-PBC，即13×14×12×8×8×32＝13×d解得d＝28183设直线AB与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝dAB＝28183612．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PCD；证明：如图，取PD的中点G，连接GE，GC．因为E，F分别为PA，BC的中点，底面ABCD为菱形，所以GE∥DA∥CF，GE＝12DA＝12CB＝所以四边形GEFC是平行四边形，所以EF∥GC．又因为GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD，所以EF∥平面PCD．(2)若PD⊥平面ABCD，∠ADC＝120°，且PD＝2AD＝4，求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值．解：如图，取AD的中点H，连接EH，则EH∥PD，EH＝12PD因为PD⊥平面ABCD，所以EH⊥平面ABCD．因为∠ADC＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠DCB＝60°，所以△BCD为正三角形．又因为F为BC的中点，所以∠CDF＝30°，∠FDA＝∠ADC－∠CDF＝90°，即AD⊥DF.因为平面DEF∩平面ABCD＝DF，所以∠EDH(或其补角)为平面DEF与平面ABCD的夹角，cos∠EDH＝DHDE＝12AD所以平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为55线面垂直、面面垂直的判定与性质考向1线面垂直的判定与性质【例2】(2024·淄博质检)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)因为PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，所以△ABC为等边三角形，故AC＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB．又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．又因为AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，所以PD⊥平面ABE.1．证明线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理．(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则其与另一个也垂直”．(4)利用面面垂直的性质定理．2．证明线线垂直的四种方法(1)利用特殊图形(直角三角形、矩形、直角梯形)中的垂直关系．(2)利用等腰三角形底边中线的性质．(3)利用勾股定理的逆定理进行计算证明．(4)利用直线与平面垂直的定义和性质．考向2面面垂直的判定与性质【例3】(1)如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上 B．直线AB上C．直线BC上 D．△ABC内部B解析：如图，连接AC1.因为BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，BC1，BA⊂平面ABC1，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1.因为平面ABC∩平面ABC1＝AB，由面面垂直的性质可知，要过点C1作C1H⊥平面ABC，则只需过点C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上．(2)(2024·济南模拟)在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝6，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC＝30°，则PC＝()A．6 B．26C．10 D．210C解析：如图，三棱锥P-ABC．因为PA＝PB＝6，PA⊥PB，所以AB＝23.因为AB⊥BC，∠BAC＝30°，所以BC＝ABtan30°＝2.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，AB⊥BC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以PC＝PB2+B证明面面垂直的常用方法(1)证明平面和平面垂直的方法：①利用面面垂直的定义．②利用面面垂直的判定定理．(2)已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．1．(多选题)(2024·丽水模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，E是BC1的中点，则()A．AE∥平面A1BB1B．BD1⊥ACC．A1E⊥AD1D．A1E⊥平面BCC1B1BC解析：如图1，连接A1B，AE.由图可知AE与平面A1BB1相交于点A，故A错误．图1如图2，连接AC，BD，BD1，因为AC⊥DD1，AC⊥BD，DD1∩BD＝D，BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1.因为BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1，故B正确．图2如图3，连接A1B，A1C1，AD1，A1E，则△A1BC1为等边三角形．因为E为BC1的中点，所以A1E⊥BC1.因为AD1∥BC1，所以A1E⊥AD1，故C正确．图3由于A1B1⊥BCC1B1，过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故A1E不垂直于平面BCC1B1，故D错误．2．如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA＝PC＝AB＝2，且平面PAC⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，PC的中点．(1)求证：BD⊥PC；(2)求点E到平面PAD的距离．(1)证明：由正方形ABCD，可知BD⊥AC．因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC．因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC．(2)解：如图，设AC∩BD＝O，连接PO，DE，PE.因为PA＝PC＝2，O为AC的中点，所以PO⊥AC．因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，PO⊂平面PAC，所以PO⊥平面ABCD，即PO是三棱锥P-ADE的高．因为AB＝2，所以AO＝OD＝2，所以PO＝PA2−O因为Rt△POD≌Rt△POA，所以PA＝PD＝2，△APD是等边三角形．设点E到平面PAD的距离为d，因为VE-PAD＝VP-ADE，所以13S△PAD·d＝13S△ADE·即34×4×d＝12×2×1×2，解得d＝所以点E到平面PAD的距离为63课时质量评价(三十五)1．(多选题)下列说法正确的是()A．若直线a不平行于平面α，a⊄α，则α内不存在与a平行的直线B．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α∥βC．设l，m，n为直线，m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充要条件D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，则平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补AB解析：若α内存在直线与a平行，则由直线和平面平行的判定定理知直线a与平面α平行，与条件相矛盾，故A正确；由面面平行的判定定理可知B正确；由线面垂直的判定定理知，当直线m，n不相交时，由l⊥m且l⊥n，得不到l⊥α，故C错误；当α1∥β1且α⊥β时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90°，平面α1与平面β1所成的二面角为0°，故D错误．2．(数学与文化)在《九章算术》中，将一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P-ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有()A．6个 B．8个C．10个 D．12个C解析：为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P-ABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB．若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC．又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC．又EF⊥PC，知四面体P-AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形．3．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则平面BCD与平面BCA夹角的大小是()A．π4 B．C．π2 D．C解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE.因为△ABC，△DBC和△BAD全等，又AB＝AC＝3，BC＝2，所以DB＝DC＝3，AD＝2.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠AED为平面BCD与平面BCA夹角的平面角．在△ABC中，AE⊥BC，AB＝AC＝3，BC＝2，所以AE＝2，同理可得DE＝2.在△AED中，因为AE＝2，DE＝2，AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，所以∠AED＝π2因此平面BCD与平面BCA夹角的大小为π24．(2024·惠州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)解析：连接AC(图略)，由三垂线定理可知，BD⊥PC．所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝．π2解析：如图，因为AD∥BC，所以∠D1BC为直线BD1与直线AD所成的角，即∠D1BC＝α因为BC⊥平面CDD1C1，所以∠BD1C为直线BD1与平面CDD1C1所成的角，即∠BD1C＝β，且BC⊥D1C．在Rt△BD1C中，∠BCD1＝π2，所以∠D1BC＋∠BD1C＝π2，即α＋β＝6．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，△PBA为锐角三角形，且PB⊥BC．求证：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAB．证明：(1)因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD．因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC．(2)过点P作PH⊥AB于点H，如图．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD．因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH.因为△PBA为锐角三角形，所以点H与点B不重合，即PB∩PH＝H.又因为PB⊥BC，PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB．因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．7．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1DA解析：如图，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC．由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥DD1.因为BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1.因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确．由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，故B错误．在平面ABB1A1中，易知AA1与B1E相交，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误．易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，故D错误．8．(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝22A．当点E运动时，A1C⊥AE总成立B．当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B逐渐变小C．二面角E-AB-C的最小值为45°D．三棱锥A-BEF的体积为定值ACD解析：对于A，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AE恒成立，故A正确；对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变，故B错误；对于C，当点E向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角E-AB-C越来越小，所以二面角E-AB-C的最小值为∠D1AD＝45°，故C正确；对于D，因为S△BEF＝12×22×1＝24，点A到平面BDD1B1的距离为22，所以三棱锥A-BEF的体积为13×24×229．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD．若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝．2解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上．又因为在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，所以BC与圆O相切，所以OQ⊥BC．因为AD∥BC，所以OQ＝AB＝1，所以BC＝AD＝2OQ＝2，即a＝2.10．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC