2024辽宁中考数学二轮专题训练 题型六 与圆有关的证明及计算(含答案)

2024辽宁中考数学二轮专题训练题型六与圆有关的证明及计算突破设问一切线的判定类型一交点不确定，作垂直，证半径典例精讲例1如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径作⊙D.求证：AB是⊙D的切线．例1题图满分技法当题目中未给出切点时，通常过圆心作垂线，利用角平分线的性质或者全等三角形的性质，来证明所作垂线等于半径．针对训练1.如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径画圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD.求证：AB为⊙O的切线．第1题图类型二交点确定，连半径，证垂直典例精讲例2如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已知∠ACD＝∠ABC.求证：CD是⊙O的切线．例2题图满分技法若图中有要证切线的垂线，可证明过交点的半径与这条垂线平行：1.“角平分线”＋两半径组成的等腰三角形，利用角平分线性质及等边对等角得到的等角证得平行；2.①连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行．②题干中给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证．③常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直．针对训练2.如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为点D，∠BEF＝2∠F.求证：AC为⊙O的切线．第2题图3.如图，点A为⊙O上的一点，点P为⊙O外一点，OP与⊙O交于点B，且B是OP的中点，连接AB、AP，以AB、BO为邻边作菱形OBAC，点C恰好落在⊙O上．求证：AP是⊙O的切线．第3题图4.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点E，连接EC交AB的延长线于点P.求证：EC是⊙O的切线．第4题图突破设问二求线段长典例精讲例3如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E是AB上一点，以CE为直径的⊙O交BC于点F，连接DO，且∠DOC＝90°，若DF＝2，DC＝6，求BE的长．例3题图满分技法运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线有连接圆心、切点和构造直径所对的圆周角，然后利用垂直关系构造直角三角形解决问题；观察题干，若题干中含30°、45°、60°或“等腰直角三角形”、“等边三角形”等字眼，则优先考虑锐角三角函数或者勾股定理解决问题；若不含，则优先考虑相似三角形性质或勾股定理等解决问题．针对训练5.如图，OA，OC是⊙O的半径，点B在OC的延长线上，BA与⊙O相切于点A，连接AC，若AC＝4，tan∠BAC＝eq\f(1,3)，求⊙O的直径．第5题图6.如图，在△ABC中，∠C＝45°，以AB为直径的⊙O恰好经过边BC的中点D，E是劣弧eq\o(AD,\s\up8(︵))的中点，连接OE并延长，交AC于点F.⊙O的半径为2，求EF的长.第6题图7.如图，已知⊙O是以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.若AE＝ED＝2，求⊙O的半径．第7题图突破设问三求角度典例精讲例4如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，⊙O的切线DE交BC于点E，若∠A＝35°，求∠CDE的度数．例4题图针对训练8.如图，四边形ABCD是平行四边形，CD为⊙O的切线，点C是切点．AB为⊙O直径，求∠BCD的度数．第8题图

突破设问四证明角相等典例精讲例5如图，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC.求证：∠ACF＝∠B.例5题图针对训练9.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AC中点，过点A作⊙O的切线交直线OD于点P，连接PC.求证：∠PCA＝∠ABC.第9题图突破设问五求弧长典例精讲例6如图，在△ABC中，AB＝AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF⊥AB于点F.若OC＝1，∠A＝45°，求劣弧eq\o(DE,\s\up8(︵))的长．例6题图针对训练10.如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CD为⊙O的弦，CD⊥AB于点E，AE＝OE，延长OA至点F，使AF＝OA，连接FC.求劣弧eq\o(CD,\s\up8(︵))的长．第10题图综合训练1.如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，边AC交⊙O于点D，边BC与⊙O相切于点B，点E为⊙O上一点，连接BD、BE、DE.(1)求证：∠CBD＝∠E；(2)已知cosE＝eq\f(\r(3),2)，CD＝2，求⊙O的半径．第1题图2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点D作DO⊥BC于点O，∠BAD的平分线交BC于点O，以点O为圆心，OD长为半径的圆经过点C，交BC于另一点E.(1)试判断直线AB和⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠B＝60°，AD＝2，求线段BE的长．第2题图3.如图，AB是⊙O的弦，连接OA，OB，点C在⊙O外，OC⊥OA且交AB于点P，连接CB，CP＝CB.(1)求证：CB是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为3，OP＝1，求AB的长．第3题图4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点O是AB边上一点，以OB为半径的圆恰好经过点D.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若AD＝300，tan∠DBC＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．第4题图5.如图，⊙O的内接四边形ABED中，∠BAD＝90°，AB＝AE，AD，BE的延长线相交于点C，DF是⊙O的切线．(1)求证：FD＝FC；(2)若EF＝3，DE＝4，求AB的长．第5题图6.如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，AE⊥CD，垂足为点E.(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若BC＝1，CD＝eq\r(3)，求阴影部分的面积．第6题图7.如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是⊙O上一点，B是eq\o(AD,\s\up8(︵))的中点，E为CA延长线上一点，连接BD、BE、CD，且∠CBD＝∠E.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BE＝6，CD＝2eq\r(3)，∠ABE＝30°，求eq\o(AB,\s\up8(︵))的长．第7题图8.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点O作OE⊥BC于点E，延长OE至点D，连接BD、AE、AD，AD交⊙O于点F，连接CF，且∠AFC＝∠BDE.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若tan∠OEA＝eq\f(3,2)，△AOE的面积为5，求△ACF的面积．第8题图参考答案突破设问一切线的判定典例精讲例1证明：如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.又∵AD平分∠BAC，∴DC＝DE，∴DE为⊙D的半径，∴AB是⊙D的切线．例1题解图针对训练1.证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO，∴∠D＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°.∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD.又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BOC＋∠OBC＝90°.∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD.∴OB为∠ABC的平分线，∵AC⊥BC，OE⊥AB，∴EO＝CO，∴EO为⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线．第1题解图典例精讲例2证明：如解图，连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＋∠CAB＝90°.∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO.又∵∠ACD＝∠ABC，∴∠ACD＋∠ACO＝∠OCD＝∠CAO＋∠CBA＝90°，即OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．例2题解图针对训练2.证明：如解图，连接OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∵OA为⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．第2题解图3.证明：如解图，连接OA、BC，相交于点D.∵四边形OBAC是菱形，∴OD＝AD，OA⊥BC.∵B是OP的中点，∴BD是△OPA的中位线，∴BD∥PA，∴OA⊥PA.∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．第3题解图4.证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，OD⊥AC，∴OD是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.在△EAO和△ECO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EA＝EC,AO＝CO,EO＝EO))，∴△EAO≌△ECO(SSS)，∴∠EAO＝∠ECO.又∵EA是⊙O的切线，∴∠ECO＝∠EAO＝90°.即OC⊥EP，∵OC为⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线．第4题解图突破设问二求线段长典例精讲例3解：如解图，连接EF、ED，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝6，∴BF＝BD－DF＝4，∵CO＝OE，∠DOC＝90°，∴DE＝DC＝6，∵CE为⊙O的直径，∴∠EFC＝90°，∴EF＝eq\r(DE2－DF2)＝4eq\r(2)，∴BE＝eq\r(BF2＋EF2)＝4eq\r(3).例3题解图针对训练5.解：如解图，延长AO交⊙O于点D，连接CD，∵BA与⊙O相切，∴DA⊥AB，∴∠DAC＋∠BAC＝90°.∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∴∠DAC＋∠D＝90°，∴∠D＝∠BAC.∵tan∠BAC＝eq\f(1,3)，∴tanD＝eq\f(1,3)，即eq\f(AC,DC)＝eq\f(1,3).∵AC＝4，∴CD＝12.在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(42＋122)＝4eq\r(10).第5题解图6.解：如解图，连接AD,∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵E是劣弧eq\o(AD,\s\up8(︵))的中点，∴OE⊥AD，∴OF∥BC，∴∠EFA＝∠C＝45°.∵D为BC中点，AD⊥BC，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∠BAC＝90°，∴△OAF是等腰直角三角形.∵⊙O的半径为2，∴AF＝OA＝OE＝2，∴OF＝2eq\r(2)，∴EF＝OF－OE＝2eq\r(2)－2.第6题解图7.解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB＝90°，即∠DAC＋∠CAB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DAC＝∠B，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB＝∠DAC，又∵∠DCE＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCE，又∵∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAC，∴eq\f(DE,DC)＝eq\f(DC,DA)，即eq\f(2,DC)＝eq\f(DC,4)，∴DC＝2eq\r(2)(负值已舍)．设⊙O的半径为x，则OA＝OC＝x，在Rt△OAD中，由勾股定理得OD2＝OA2＋AD2，即(2eq\r(2)＋x)2＝x2＋42，解得x＝eq\r(2)，∴⊙O的半径为eq\r(2).突破设问三求角度典例精讲例4解：如解图，连接OD，∵OA＝OD，∠A＝35°，∴∠ODA＝∠A＝35°.∵DE是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODE＝90°，∴∠CDE＝180°－∠ODA－∠ODE＝180°－35°－90°＝55°.例4题解图针对训练8.解：如解图，连接OC.∵CD切⊙O于点C，∴CD⊥OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴AB⊥OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB＝45°，∴∠BCD＝∠OCD＋∠OCB＝90°＋45°＝135°.第8题解图突破设问四证明角相等典例精讲例5证明：如解图，连接OC，∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵FC是⊙O的切线，∴∠OCF＝90°，∵∠OCA＋∠ACF＝∠OCA＋∠OCE＝90°，∴∠OCE＝∠ACF，∵OE、OC是⊙O的半径，∴∠OCE＝∠E，又∵∠B＝∠E，∴∠ACF＝∠B.例5题解图针对训练9.证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠ABC＝90°.∵AP是⊙O的切线，∴∠PAB＝90°，∴∠PAC＋CAB＝90°，∴∠PAC＝∠ABC.∵D是AC中点，∴OD⊥AC，∴OP是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∴∠PCA＝∠ABC.突破设问五求弧长典例精讲例6解：如解图，连接OD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACB，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∵∠A＝45°，∴∠AOD＝180°－45°＝135°，∴劣弧eq\o(DE,\s\up8(︵))的长为eq\f(135×π×1,180)＝eq\f(3,4)π.例6题解图针对训练10.解：如解图，连接OC，OD，∵CD⊥OA，AE＝OE，AB＝4，∴OC＝2，AE＝OE＝1.∵在Rt△OCE中，OC＝2，OE＝1，∴∠OCE＝30°，∠COE＝60°，∴∠COD＝2∠COE＝120°，∴劣弧eq\o(CD,\s\up8(︵))的长为eq\f(120×π×2,180)＝eq\f(4,3)π.第10题解图综合训练1.(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∵BC与⊙O相切于点B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠CBD＝∠BAD，又∵∠BAD＝∠E，∴∠CBD＝∠E；(2)解：∵cosE＝eq\f(\r(3),2)，∴∠E＝30°，∴∠E＝∠BAD＝∠CBD＝30°，∵CD＝2，BO⊥AC，∴BD＝eq\r(3)CD＝2eq\r(3)，∴AB＝2BD＝4eq\r(3)，∴⊙O的半径为2eq\r(3).2.解：(1)直线AB与⊙O相切，理由如下：如解图，过点O作OF⊥AB，垂足为点F，∵AD∥BC，DO⊥BC，∴DO⊥AD，又∵∠BAD的平分线交BC于点O，OF⊥AB，∴OF＝OD，∴OF为⊙O的半径，∴直线AB与⊙O相切；第2题解图(2)∵∠B＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵OA平分∠DAB，∴∠FAO＝∠DAO＝∠B＝60°，∴AO＝BO，在Rt△ADO中，AO＝2AD＝4，OD＝AO·sin60°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴BE＝OB－OE＝AO－OD＝4－2eq\r(3).3.(1)证明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵CP＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵OC⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠OAP＋∠APO＝90°，∵∠APO＝∠CPB＝∠CBP，∴∠OBA＋∠CBP＝90°，即∠OBC＝90°，∴OB⊥CB，又∵OB是⊙O的半径，∴CB是⊙O的切线；(2)解：设BC＝CP＝x，则OC＝x＋1，在Rt△OBC中，OC2＝BC2＋OB2，即(x＋1)2＝x2＋32，解得x＝4，即BC＝CP＝4，在Rt△OPA中，AP＝eq\r(OA2＋OP2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).如解图，过点C作CH⊥AB于点H，∵∠AOP＝∠CHP＝90°，∠APO＝∠CPH，∴△OAP∽△HCP，∴eq\f(OP,HP)＝eq\f(AP,CP)，即eq\f(1,HP)＝eq\f(\r(10),4)，∴HP＝eq\f(2\r(10),5)，∵CB＝CP，CH⊥PB，∴PB＝2PH＝eq\f(4\r(10),5)，∴AB＝AP＋PB＝eq\f(9\r(10),5).第3题解图4.(1)证明：如解图，连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∴∠ADO＝∠C＝90°.即AC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：如解图，设OA与⊙O交于点E，连接DE，在Rt△BCD中，tan∠DBC＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(3,4)，设DC＝3x，则BC＝4x，∴BD＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x.∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴tan∠EBD＝tan∠DBC＝eq\f(3,4)，∴DE＝BD·tan∠EBD＝eq\f(15,4)x，∴BE＝eq\r(BD2＋DE2)＝eq\f(25,4)x，∴OD＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(25,8)x，由(1)知∠ODA＝∠C＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴eq\f(OD,BC)＝eq\f(AD,AC)，即eq\f(\f(25,8)x,4x)＝eq\f(300,300＋3x)，解得x＝28，∴⊙O的半径为eq\f(25,8)×28＝eq\f(175,2).第4题解图5.(1)证明：如解图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵DF是⊙O的切线，∴∠BDF＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠3，∵∠2＝∠3，∴∠2＝∠ABE，∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠2＋∠C＝90°，∴∠1＝∠C，∴DF＝CF；(2)解：由(1)知BD为⊙O的直径，∴∠DEB＝∠DEF＝90°，在Rt△DEF中，EF＝3，ED＝4，∴DF＝CF＝eq\r(DE2＋EF2)＝5，在Rt△DEC中，DC＝eq\r(DE2＋CE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∵∠BED＝∠DEF＝∠BDF＝90°，∴∠BDE＋∠DBE＝∠BDE＋∠EDF＝90°，∴∠DBE＝∠EDF，∴△DEF∽△BED，∴eq\f(DE,BE)＝eq\f(EF,ED)，即eq\f(4,BE)＝eq\f(3,4)，∴BE＝eq\f(16,3)，∵∠BAC＝∠CED＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBA，∴eq\f(DE,BA)＝eq\f(DC,BC)，∴eq\f(4,AB)＝eq\f(4\r(5),8＋\f(16,3))，解得AB＝eq\f(8\r(5),3).第5题解图6.(1)证明：如解图，连接OD，第6题解图∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠EAD.∵OA＝OD，∴∠CAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE.∵AE⊥CD，∴OD⊥CD.∵OD是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；(2)解：由(1)知OD⊥CD，设OB＝OD＝x，在Rt△ODC中，OD2＋CD2＝OC2，即x2＋(eq\r(3))2＝(x＋1)2，解得x＝1.∴OB＝OD＝1，OC＝2，∴cos∠COD＝eq\f(1,2)，∴∠COD＝60°，∴S扇型DOB＝eq\f(360π·1,360)＝eq\f(π,6)，∠DAB＝30°，∴AD＝eq\r(3)，∴S△AOD＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4)，∴S阴影＝S△AOD＋S扇形DOB＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(π,6).7.(1)证明：如解图，连接OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠CAB＋∠ACB＝90°.∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠CAB.∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠D＝∠BAE.∵∠CBD＝∠E，∴∠BCD＝∠ABE.∵B是eq\o(AD,\s\up8(︵))的中点，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ABE，∴∠OBA＋∠ABE＝∠CAB＋∠ACB＝90°，∴∠OBE＝90°，即OB⊥BE.∵OB为⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线；第7题解图(