2024年高中物理竞赛知识

物理知识整顿知识点睛惯性力先思考一个问题:设有一质量为m的小球，放在一小车光滑的水平面上，平面上除小球(小球的线度远远小于小车的横向线度）之外别无他物，即小球水平方向合外力为零。然后忽然使小车向右对地作加速运动，这时小球将怎样运动呢？地面上的观测者以为：小球将静止在原地，符合牛顿第一定律；车上的观测者以为：小球以－as相对于小车作加速运动；我们假设车上的人熟知牛顿定律，尤其对加速度一定是由力引起的印象至深，以致在任何场所下，他都强烈地要求保存这一认知，于是车上的人说：小球之因此对小车有-as的加速度，是因为受到了一个指向左方的作用力，且力的大小为-mas；但他同时又熟知，力是物体与物体之间的相互作用，而小球在水平方向不受其他物体的作用,物理上把这个力命名为惯性力。惯性力的了解：惯性力不是物体间的相互作用。因此，没有反作用。(2)惯性力的大小等于研究对象的质量m与非惯性系的加速度as的乘积，而方向与as相反，即（3）我们把牛顿运动定律成立的参考系叫惯性系，不成立的叫非惯性系，设一个参考系相对绝对空间加速度为as，物体受相对此参考系加速度为a',牛顿定律能够写成：其中F为物理受的“真实的力”，f*为惯性力，是个“假力”。（4）假如研究对象是刚体，则惯性力等效作用点在质心处，阐明：有关真假力，绝对空间之类的概念很诡异，这么说牛顿力学在逻辑上都是显得很不严密。因此质疑和争论的人比较多。不过笔者提议初学的时候无须较真，要能比较深刻的认识这个问题，既需要很广的物理知识面，也需要很强的物理思维能力。在这个问题的思考中培养出爱因斯坦2.0版本的概率很低（因为既有的困惑都被1.0版本处理了），在以后的学习中我们的同学会逐渐对力的概念，空间的概念清楚起来，脑子里就不会有那么多低营养的疑问了。极其不提议想不明白这问题的同学百度这个问题，网上的讨论文章倒是极其多，不过基本都是民哲们的梦呓，很轻易对不懂的人产生误导。惯性力的详细体现（选讲）作直线加速运动的非惯性系中的惯性力这时惯性力仅与牵连运动有关，即仅与非惯性系相对于惯性系的加速度有关。惯性力将具备与恒定重力相类似的特性，即与惯性质量正比。记为：做圆周运动的非惯性系中的惯性力这时候的惯性力可分为离心力以及科里奥利力：1）离心力为背向圆心的一个力：2）科里奥利力概念比较麻烦（竞赛复赛阶段还考不到），这里就不做简介了。大家只要了解当物体相对转动参考系有相对运动时必须考虑科里奥利力就行了。计算公式如下：这是个叉积式。总的来说惯性力能够用万有引力去等效，其本质都是引力场作用，“施力物体”都能够当成整个宇宙（还好不是上帝）。因此我们在地球上上伴随地球自转的时候，来自宇宙中遥远的群星正把我们往外拉（离心力），成果导致我们对地面压力比地球对我们的引力小了不少。不过南北极极点的人受这种群星的引力就能够忽视不计。这个观点比较雷人，诸多人听到后感觉很痛苦，感觉完全不符合逻辑。其实只要摒弃物体间的相互与运动状态无关的惯性思维就会舒适多了。当我们相对于某个天体静止时，天体对我们的引力与我们现对运动时不一样样。这个了解能够类比电磁学里洛伦兹力与静电力，它们都产生于电荷间但不一样的原因在于前者有相对运动。当两个物体间有相互作用的时候，它们是通过一个物质实现这种作用的，这种物质就是我们看不见但能够检测到的“场”，场力的特点是与物体相对运动有关。实际生活中的一切现象都是场作用。第一次世界大战期间，英、德在阿根廷附近马尔维纳斯岛的洋面上进行了一次大战。当德国军舰位于英国军舰北方大约7km时，英舰炮手瞄准德舰开炮，炮弹全都落在德舰的左侧大约100多米以外的地方，也是因为神奇的惯性力的作用导致的。（当然也能够了解为炮弹飞到目标位置时，德国人的舰船已经伴随地球的自转跑到新的地方去了）学习物理学我们应当能够意识到，这世上任何的事情没有绝对正确的解释，只有相对来说合用范围大，精准度高的解释。学而思的物理课程在教学上一直强调两条：讲到任何一个点，尽也许在同学能接收的情况下，从这个点出发，给出将来大家要会继续学习的物理体系的框架，防止那种”学习物理就是下一个老师否定上一个老师”的痛苦。加强物理思想对我们同学思维习惯，认识方式的塑造，也许的话，甚至对人生观世界观加以引导。做到学懂物理的人不会被各种迷信，各种哲学，各种“思想”，各种“主义”所蛊惑，学懂物理的同学进了清华北大也不自杀，不出家。学懂物理的人看待任何事情抱着研究归纳的心态，眼光去面对，以惯有的，高超的类比能力，思维迁移能力，总结能力去做人生道路上的任何事情。问题分类详解“分离”问题观测思考：弹跳器是诸多运动兴趣者喜欢的运动，如图所示，人通过向下踩踏板，在弹簧缩短的过程中，人受到向上的力，就把弹跳器从地面上拉起来了。粗略一想“道理”确实不难，不过对现象能做出定量的描述才是核心，例如中国人创造了火药大炮，不过弹道学却让欧洲人的炮兵技术远远领先于中国（火炮确实是中国人创造的）。我们的问题是，人是什么时候脱离踏板往上“飞出”，以至于把弹跳器拉离地面的？为了便于分析，我们忽视与力学无关的细节，把问题描述成如下原理图，这个过程叫物理建模。不妨把人用物块代表，质量设为M，弹簧质量忽视，踏板质量设为m，在人脱离踏板前，不考虑人的手对弹跳器的力，当人离开踏板后，人再对通过手向上拉弹跳器，使之离开地面。问题是：在弹簧回复的过程中，踏板带着人向上运动，当弹簧恢复到什么程度人会离开踏板？人离开踏板前人与踏板运动细节怎样？解析：显然分离时人的加速度几乎与踏板仍然同样，隔离人，此时人加速度为g，阐明踏板也是这个值，人和踏板相互作用力N=0，隔离踏板知其受合力等于其重力，因此是在弹簧原优点罚离。这个问题也能够用惯性力去处理。讲解的时候不妨多对熟知的结论（用向上的力拉地面上箱子，拉力等于重力时箱子离开地面）合用范围作出描述，并把这个问题向着原有情景类比，训练学生类比能力。“轻物”动力学分析反思：“轻”是物理习题中常常描述的词，指的的质量忽视不计的物体，此类物体动力特点很轻易通过思考发觉。大家先不放思考一下：当我们用一根轻绳拉一个物体加速前进时，为何我们对绳子的拉力等于绳子对物体的拉力？只能用牛顿定律去解释，而不能用力具备传递性之类的理论.总结是：“轻”物体在动力学中的行为特性是受的力以及力矩的特点：运动特点：海啸牛顿运动定律定理对流体静力学规律的拓展海啸流体力学是最古老的物理学之一，也是物理上在工业上应用最广泛的物理学之一。在流体中使用牛顿运动定律比较复杂，比较轻易想到的是取一小片质点为对象，受力分析，这个措施能处理某些不考虑压缩，静态的流体问题。复杂的情况，我们以后会逐渐在各章简介某些。因为在工业上的应用广泛，流体力学发展成了一门体系庞大的，模型与方程众多的独立学科。大学的物理系的同学也不会太深入学习。一般来说，具备物理能力的人不太了解流体力学的应用体系，熟悉方程的人又普遍缺乏物理的思维能力。能够说，这方面我国的理论水平还远远落后于发达国家，这些年我国在某些技术上有了些进步，不过理论上的差距才是真正是级别性的差距，因为不是所有的公式都会公开刊登的，尚有诸多问题等候我们同学将来去突破。J20战斗机风动试验J20战斗机风动试验知名空气动力学家：钱学森（他讲的是什么）1：对每一个流体质元，其现对周围流体静止时受到的力都垂直与接触面，这是因为流体之间无静摩擦的原因，能够看当成流体的定义。2：对无穷小质元，忽视质量力（重力与惯性力）后各个面的压强到处同样，这个证明很轻易用微元法实现，这里就不证明了。这个原理其实就是帕斯卡原理，不过初中课本上表述的帕斯卡原理完全无法在负责情况下应用，这里提示大家不要用“液体能传递压强之类”的朴素理论分析问题。知识点睛恒力作用下匀变速运动动力学分析思绪动力学的两类基本问题应用牛顿运动定律处理的问题重要可分为两类：（1）已知受力情况求运动情况，（2）已知运动情况求受力情况．分析处理这两类问题的核心是抓住受力情况和运动情况之间联系的桥梁——加速度．基本思绪流程图：动力学第一类基本问题动力学第一类基本问题物体的受力情况牛顿第二定律物体的加速度a运动学公式物体的运动情况动力学第二类基本问题基本公式流程图为：基本公式流程图为：Fa，，，动力学问题的处理措施：（1）正确的受力分析物体进行受力分析，是求解力学问题的核心，也是学好力学的基础．（2）受力分析的依据①力的产生条件是否存在，是受力分析的重要依据之一．②力的作用效果与物体的运动状态之间有相互制约的关系，结合物体的运动状态分析受力情况是不可忽视的．③由牛顿第三定律（力的相互性）出发，分析物体的受力情况，能够化难为易．解题思绪（1）由物体的受力情况求解物体的运动情况的一般措施和步骤．①确定研究对象，对研究对象进行受力分析，并画出物体的受力图．②依照力的合成与分解的措施，求出物体所受合外力（包括大小和方向）．③依照牛顿第二定律列方程，求出物体的加速度．④结合给定的物体运动的初始条件，选择运动学公式，求出所需的运动参量．（2）由物体的运动情况求解物体的受力情况．处理此类问题的基本思绪是处理第一类问题的逆过程，详细步骤跟上面所讲的相同，但需尤其注意：①由运动学规律求加速度，要尤其注意加速度的方向，从而确定合力的方向，不能将速度的方向与加速度的方向混同．②题目中求的力也许是合力，也也许是某一特定的作用力．虽然是后一个情况，也必须先求出合力的大小和方向，再依照力的合成与分解知识求分力．知识点睛一．概念引入1．动量⑴定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，.⑵动量表征物体的运动状态，是矢量，其方向与速度的方向相同，两个物体的动量相同必须是大小相等、方向相同．2.动量的变化量①.②动量的变化量是矢量，其方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关．③求动量变化量的措施：，3.冲量⑴定义：力和力的作用时间的乘积，叫做该力的冲量，.⑵冲量表示力在一段时间内的累积作用效果，是矢量，其方向由力的方向决定，假如在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就和力的方向相同．⑶求冲量的措施：（适合用于求恒力的冲量）；（适合用于恒力和变力）.二．动量定理内容：物体所受合外力的冲量，等于这个物体动量的变化量.三．知识了解1．动量变化：不指动量大小的变化，仍然必须用矢量计算，这个量是衡量动量大小方向总变化的一个物理量，大部分时候我们会把复杂的动量变化分解到几个独立的方向上进行计算。2.动量定理能够以为是牛顿第二定律的过程式。3.相互作用力的冲量等大反向。4.对一个整体，内力总冲量为零。知识点睛阅读：动量守恒的发觉史动量守恒是人类最早认识到的守恒定律，也是最普遍成立的物理规律。人类很早就发觉碰撞、冲击等力学过程中有明显的规律性，但定量的描述这种规律却极难。最早对碰撞现象做过研究的人是伽利略，他曾常识通过测量冲击过程中的力去发觉数学规律，不过他未能如愿。伽利略的这个研究思绪起源于他对力学现象的一贯了解：力是导致运动状态变化的根本原因。但在当初的试验条件下，去搞清楚一瞬间的力显然是不现实的。实际虽然到当代物理学中，在试验上严格定义和测量“力”也是不也许的。1639年马尔西通过试验，发觉了等质量弹性球碰撞时一个有趣的现象：把一串等质量的弹性球排成一条线，给其中一端的一个球初速度，让这个球去撞击前方的球，成果这个球的速度最后传给了另一端的球，而其他球都停了下来。虽然马尔西的发觉还非常“初级”，但也极大的激励其他科学家的研究热情。日后的研究也集中到了对碰撞前后可测量物理量的分析上，而不再执着于研究碰撞的过程中的力。马尔西的碰撞试验：炮弹在出膛后遇到静止等质量的铁球后会停下来，把速度传递给最前方的铁球，并且被撞击的铁球落地时射程与不遇到任何障碍的炮弹射程同样。日后在笛卡尔，惠更斯以及马略特等人的不懈努力下，总算找出了孤立体系（不考虑外界作用的的物体或物质组成的体系）动量守恒的方程。并最后由牛顿对整个研究做了总结，这就是我们日后懂得的牛顿第三定律：即在运动过程中物体间的相互作用也是等大反向并同时进行的。在牛顿力学中，动量守恒能够当作牛顿定律的一个推论。马略特通过小球摆起的高度来标识的球速高中试验室通过小球的水平射程来标识球速当代物理的发展揭示了牛顿力学的不足，在微观以及接近光速的情况下，牛顿力学中概念体系完全崩盘，用牛顿力学完全无法了解和预言微观以及高速下的物理现象。按说一度被视为牛顿定律推导式的动量守恒应当也不成立了，不过试验却发觉，在微观以及高速情况下，孤立体系的动量守恒仍然是精准成立的。动量守恒定律在物理学中的地位一下子行情暴涨，和牛顿定律来了次上下级对调，成了宇宙最基本的运行定律之一。从讲义后文中的牛顿推导过程我们能够看出：牛顿用力的概念去了解动量守恒的试验成果，其实是又引入了“不一样参考系时空间一致”以及“能从实际世界中隔离出一个有精准质量的物体”等假设，成果导致很普适的物理定律被牛顿局限化了。应当说力的概念对于了解宏观低速时的动力学情景确实是实用的，否则我们就得从能量动量的角度用微扰法去了解，需要使用的数学措施就会复杂的多。从科普的角度，“力”的概念至关重要，它符合人的直觉的含糊思维，显得“形象简明”，并且有“切身感受”。不过从严格的物理逻辑出发，我们说，正是因为引入了“力”的概念，才导致近代物理学一开始就走入了一条越走越窄的死胡同。执着于用“力”解释一切的人，一般会以为当代物理不是真正的物理，而是一堆神经病的数学家入侵物理研究时玩的符号游戏。我们不妨回头去看看当初我们从马尔西试验中取得的教训，试验上能测量的就是物体作用前后的动量，因此逻辑上根本没必要也不应当去额外定义一个“力”的概念。假如说要考虑试验对象受的作用，直接用其动量的变化就能够衡量了，这正是当代物理学对力的定义（力是动量随时间的变化率）。1927年，玻特和贝克用α粒子（高速的氦原子核）轰击金属铍时，发觉了一个穿透力很强的中性射线。1932年查德威克用这种射线去轰击氮原子核，并通过类比弹性球碰撞的理论计算出这种射线其实是质量约等于质子质量的中性粒子，这就是数年前卢瑟福大神预言的中子。因为查德威克的发觉中子的贡献，他取得了1935年的诺贝尔奖。（温馨提示：要想拿诺奖，打入顶级物理学家的团伙是省力省距离的好措施）。沃尔夫冈·泡利（1900～1958），性格犀利，言辞更犀利的天才级物理学家。1930年，泡利在研究β衰变（原子核内中子变成质子并辐射出电子的现象）辐射能量连续的问题时，发觉一个令他纠结的事，要么β衰变中能量与动量不再守恒，要么是还存在着一个用当初一切探测仪器也无法探测到的“鬼粒子”，他果断选择了背面一个判定，这种粒子就是一直到今日仍然困扰着理论物理学家的“中微子”。（中微子早在1956年被试验证明存在，但有关中微子的诸多试验结论却总是出人意料，例如最近又爆出测出中微子速度超光速的现象，这让相对论受到前所未有的挑战）。相对论中的雷人结论：一个静止时为质量为m的物体，一旦速度变为v，质量变为：即运动的物体质量比静止时大，原因是相互作用过程中动量和质量守恒。一．动量守恒定律的推导：【概念梳理】系统：我们一般把研究对象有多个物体统称为一个系统。内力：系统中各物体之间的相互作用力叫做内力。外力：外部其他物体对系统的作用力叫做外力。注意在高中的力学问题中重力永远是外力，因为高中范围内的问题中我们不会把物体和地球取做一个系统。推导如图所示，两个物体在碰撞的过程中，它们发生的形变不停变化，因此它们之间的相互作用力是变力，取其平均值，作受力分析图，对小球1和小球2分别使用动量定理，如式（1）和式（2），再依照牛顿第三定律列式（3）则有：变形得:这就是动量守恒定律：要注意从动量守恒定律在牛顿力学范围内看起来是牛顿定律的推论，实际它合用的范围是广于牛顿定律的，在高速作用和微观状态中，牛顿定律早已经不在成立，不过动量守恒认严格成立。这里的“推导”其实是牛顿式的推导。二．动量守恒利用总结（1）内容：相互作用的物体，假如不受外力作用，或它们所受的外力之和为零，它们的总动量保持不变.Δp=0p=p′或（2）动量守恒定律的研究对象是两个或两个以上物体所组成的系统.（3）动量守恒定律的三种使用条件是：a：系统不受外力或所受的合外力为零.这种情况能够叫“严格守恒”。b：系统所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则在此方向上系统的动量守恒.这种情况能够叫“分量守恒”。c：系统所受的合外力不为零，但系统内各物体作用的内力远远不小于系统所受的合外力，例如碰撞、爆炸、打击、反冲运动等现象，假如在作用时间很短时均可以为内力很大，此时系统内各物体的动量变化重要是由内力引起的，外力的冲量能够忽视，这种情况能够叫“近似守恒”。知识点睛三．动量守恒的动力学了解：从牛顿第二的整体式出发我们能够推导出动量守恒定律的质心式，我们懂得，质心的坐标式为:(变化式为：）又位置对时间的变化率为速度那么由上式可得即：质心的速度等于总动量与总质量的比.又速度对时间的变化率为加速度那么由上式可得由牛顿第二定律得即：系统的合力与总质量决定质心处加速度。动量守恒的条件是合外力为零，那么动量守恒的体系质心加速度为零，即质心处在匀速或者静止态。知识点睛曲线运动中的加速度我们研究曲线运动，利用的坐标系不一样，加速度分量式是不一样。物理学研究的时候依照研究问题的特点不一样，采取的坐标系常常不一样样，例如直角坐标系，自然坐标系，极坐标系，球坐标系，注坐标系等，在高一暑假的讲义上，我们曾经铺垫过某些，本讲继续讨论。在一般的直角坐标系中，分加速度轻易了解，每个坐标方向相互独立。记为：对应的动力学方程就是牛顿定律分量式，详细的应用参考我们对于抛体以及恒力曲线运动的处理，这个措施比较适合恒力作用下的曲线运动。因为浅显易懂，本讲不再重复。1.自然坐标系以及加速度分量除了直角坐标系以外，我们还常常会用自然坐标系研究加速度。有一类曲线运动是在已知轨道上进行的，这时，能够在轨道上任取一参考点，这么就能够在轨道上用到的距离来表示运动方程。这就是自然坐标，实际初中物理中的匀速率运动公式就是这个坐标系中的方程。我们把运动方向叫切向，垂直运动方向叫法向。对应的，每个方向的加速度叫切向加速度，与法向加速度。下面用数学推导对应的加速度。当质点做曲线运动时，一般速度的大小和方向都在变化。为计算P位置加速度，将速度增量分解为与平行的分量和垂直的分量，如图：质点在P的加速度为其中就是切向加速度和法向加速度。其中法向加速度又有规律：易从相同三角形得：，其中R为P位置的“曲率半径”，因为，因此尚有：假如物体做圆周运动，这个加速度又叫向心加速度，向心加速度的规律最早由惠更斯在研究匀速圆周运动时发觉。惠更斯发觉：做匀速圆周运动的物体，其受合外力总是正比于物体质量，正比于物体速度平方，反比于其圆轨道半径。记为：这就是高中教材上的圆周运动向心力定理。应当说这个结论还是很实用的，虽然只是我们推论中的一个特殊情况。因为暂时我们的同学对于向量微分的运算还不了解，为了把上述推导在极坐标系里推广，必须把自然坐标系的计算成果做一个形象的总结。【总结】（1）变化一个速度的大小的加速度分量与速度共线，由速度大小变化率决定。（2）变化一个速度方向的加速度与该速度垂直指向旋转的内侧，大小正比于速度与角速度乘积。利用以上推论我们引入极坐标里的加速度2.极坐标系以及加速度分量极坐标以到参考点（又叫极点）的距离以及到参考射线（极轴）的夹角来描述平面内的点（，），其数学优点是某些平面坐标系里的很复杂的曲线方程很简单（例如以极点为圆心的圆的方程为）。极坐标在物理上的优势是描述某些既沿着径向运动，又绕着固定点的旋转的运动比较直观。例如椭圆轨道卫星的运动，我们关心卫星到地面高度以及方位角。又例如我们此前学习运动关联时候用绳子或杆衔接的物体，既有径向速度，又有转速。都比较适合极坐标，如图:水平向左运动的物体B的速度分解为沿着绳子的分量以及垂直绳子的转速，依照自然坐标系得到的加速度计算原理：1.在绳子方向（径向）上一共是两个加速度，一个变化大小，与拉绳子的加速度大小一致，另一个变化方向，大小。2.在垂直绳子方向（垂向，注意不是切向）也有两加速度，一个变化大小，另一个变化方向，注意这个加速度不等于,而等于。专业的力学教材还会对这些加速度中的某些项取一堆形象的名字以便记忆，例如知名的科里奥利加速度，平面系5个加速度等。因为这个加速度过于依赖向量微分的了解，这里就不引入了。期望着以上的讨论能引起同学们对于向量代数甚至向量微积分的兴趣，因为很复杂的物理情景了解问题在向量微积分里能够简化为几个简单的算符。学而思物理竞赛的教学一个灌输一个观点，那就是方程是最美最高效率的物理语言。开始喜欢上物理的同学一般都是因为物理对现实的超理性了解。但多数喜欢物理的人进入大学后都轻易对脱离实际现象的数学运算产生排斥感和畏惧感，希望同学们尽也许的克服。一旦我们弄懂一个方程运算能够处理的实际情景之广泛，就会疯狂的喜欢上这种方程。方程会让我们对众多的问题有一个统一的观点，方程会让我们需要记忆的量以及概念辨析的量减少为最少。从现实的角度，诸多喜欢物理并且具备很高物理直觉天赋的同学最后在学习物理的过程中被郁闷，基本都是因为不适应物理的数学描述方式。我们倡导数理结合一起了解物理的教学观点也是希望更早的开始协助我们同学克服上述困难。同学们要在科学道路上走的更高更远，与其被数学语言虐，不如学会去享受它。当然假如我们学习物理只是作为科学知识去了解物理一下，物理确实不需要过多的数学语言去体现它。即便从概念以及逻辑思辨的角度去学习物理，物理也是很漂亮很迷人的，因为他能够几乎能够无限的满足人先天本能中那种无法抑制的探索欲与求知欲。知识点睛功物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计效应。恒力做功在恒力作用下质点沿直线发生了一段位移，则在此过程中，力对质点所做的功按如下计算：其中θ为F与的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为：功的单位为焦耳（J），其中注意：功为标量，但有正负：多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。证明：功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。实例：1.如图：拉力F对球做功等于Fx，但弹簧对墙做功为0。2.如图：一子弹射入一个能够自由移动的木块，设相互作用大小为F，则：子弹队木块做功：FS木块对子弹做功：-F(l+S)这么的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零，这和相互作用力冲量很不一样样，因此当我们对于一个系统进行功的计算时，必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为，其中d为相对位移。功的定义导致功的计算依赖参考系的选用，不过相互作用力的总功与参考系的选用无关。中学阶段只要不刻意强调，功指的都是对地的功。易证明恒力做功与轨迹无关，只取决于恒力方向上的位移。如轨迹为曲线，能够把曲线当作无穷多段，如图，设恒力F作用下一物体，从a位置运动到b位置,把轨迹提成无穷段，分别为，，…整个过程中做功为其中为F方向上位分位移，与F同向取正，反之取负。实例：如图，用水平恒定的拉力F，把一个质量为m的球拉至新位置，拉力做功为Fl，重力做功为mgh。变力做功微元思想给出了变力做功的计算措施，无限分割途径，以直线段替代曲线段，计算每一小段功，累加即可，能够把功当做力对途径的途径积分。作出的函数图像，曲线与横轴所围面积表示功的大小：实例：如图：弹性系数为k的弹簧，在弹力的作用下，从距原长为x0收缩到x，作出弹力伴随位移的函数图象，要求向右为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。由面积公式：功率单位时间做功为功率，用字母P表示，则功率定义式为：其中代入总时间则计算得平均功率，趋近于零则计算为瞬时功率，瞬时功率还可用计算，其中θ为F与v夹角。功与动能计算功的目标是什么？功也是力的一个效果，定性的能够想到一定也是变化了与物体运动状态有关的一个物理量。如下我们用微元法推导，做功过程中一个重要原理：动能定理。假设一个物体在外力F作用下，由a运动到b，速度由v0变化为vt，把整个轨迹等提成诸多的，对一段，因为轨迹很短，能够看为匀变速直线运动，由牛顿第二定律：又易得：则同理有…叠加得我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量,叫一个物体的动能，用字母Ek表示，记为：上述推导结论能够体现为，一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量，这个原理叫质点动能定理。对于质点组的情况，只需要把多个质点的方程叠加即可，注意质点组之间的相互作用总功在叠加过程中不一定能消去（内力总功不一定为零），那么质点组动能定理可体现为：即内力与外力总功等于系统总动能变化。实例：当人从地面上跳起过程中，地板对人的力作用于脚上，起跳过程中，虽然身体重心在上升，不过脚没有上升，因此地面未对人做功，对人做正功的只能是人自身的内力（肌肉对骨骼的力，不是武侠小说中的内力），导致人加速上升。而跳水的时候，情况恰好相反，跳板对人做功导致人加速上升。从以上实例中我们应当看到，分析同一个事件，牛顿定律以为是地面对人的支持力导致人产生向上的加速度，但动能定理却以为是人自身的内力导致人动能增加。因为方程的不一样，导致解释时的描述不一样。知识点睛势能运动的物体具备一个做功的本事，我们上讲定义其为动能。那么是否静止的物体也能够具备做功的本事呢？回答显然是肯定的，例如被举高的重物，形变后的弹簧等。为了研究这些现象，我们有必要拓展能量的定义。我们把一个物理过程中，做功数值与途径无关的力叫保守力。若两质点间存在着相互作用的保守力作用，当两质点相对位置发生变化时，无论途径怎样，只要相对位置的初态、终态确定，则保守力做功是确定的。存在于保守力相互作用质点之间的，由其相对位置所决定的能量称为质点的势能。要求保守力所做功等于势能变化的负值，即：。阐明：势即位也，势能这个定义，顾名思义显然就是与物体间位置有关的能量，因此要引入保守力的概念。计算势能时，还要注意如下几点：（1）势能的相对性。一般选定某一状态为系统势能的零值状态，则任何状态至零势能状态保守力所做功大小等于该状态下系统的势能值。标准上零势能状态能够任意选用，因而势能具备相对性。（2）势能是属于保守力相互作用系统的，而不是某个质点独有的。（3）只有保守力才有对应的势能，而非保守力没有与之对应的势能。二．常见的几个势能（1）重力势能在地球表面附近小范围内，mg重力可视为恒力，取地面为零势能面，则h高处重物m的重力势能为（2）弹簧的弹性势能取弹簧处在原长时为弹性势能零点，当弹簧伸长（压缩）x时，弹力F=-kx，弹力做的功为由前面保守力所做功与势能变化关系可知因此：（3）引力势能质点间的引力势能为（选用无穷远为零势能面）有关万有引力的规律我们将在以后的讲义中详细讲解，这里列出这个公式是提示同学们：重力势能公式是引力势能在近地附近的近似，假如一个物体被举高10m，那么重力势能能够用mgh近似计算，假如物体被举高1000km，那么重力势能公式必须用计算了。中学物理定义动能，重力势能以及弹性势能统称为机械能（这个定义和普物有些不一样，阅读大学物理的同学注意一下。因为机械能是个无关紧要的概念，因此无须较真）。其他形式的能量除了机械能，物理学研究的现象中还包括内能，光能，电磁能，化学能，核能等。能量的定义体系很乱，有些是从应用的角度按表征定义的，例如风能，水能，潮汐能等。所有能量的本质都是四种自然作用的体现，例如弹性势能与内能的本质都是分子间电磁作用，因此我们能观测到实际的弹簧被拉长后温度减少（因为分子间相互作用做负功，分子热运动动能变少）被压缩后温度升高的现象。力学中论述的弹性势能是一个理想情况。在以后的物理学习过程中，我们会逐渐的对每种能量的标度越来越清楚。本讲只定性的给出每种能量的定性简介。内能：因为物体内部大量分子热运动以及相互作用具备的能量。宏观可观测的内能标志是温度，以及形状，在理论上的完全恢复的弹性形变中，不考虑内能变化。机械能变为内能最常见的形式为滑动摩擦与不可恢复形变。背面的讲义会推导两种情况下内能与机械能转化的模型。光能：由光的频率以及光子数（组成光的一份能量叫一个光子）决定的能量。电磁能：详细体现形式诸多，例如静电势能，电流能，磁能，电磁波能等，因为光也能够看做电磁波，因此能够以为光能本质也是电磁能，当然也能够倒过来。化学能：化学反应中吸取或者释放出来的能量，本质也是电磁作用能。核能：在核反应中才能释放和吸取的能量。以上定义都是经验的，直观的定义法，分别有详细的试验对应。既有的理论以为，测量能量本质的措施是测量质量，依照是知名的E=mC2（这个公式在以后的讲义推导），质量能够依照引力，惯性等标度。有关能量与质量高度等效其实不难了解，我们需要做的只是观念的转变。例如高温物接触低温物，重要是高温物把红外光子辐射给了低温物（热传递一共有三种形式：传导，对流，辐射。传导与对流的本质是因为物质分子周围电磁场接近，因此产生了非球对称的辐射），那么高温物物质变少了，因此高温物内能以及质量都变少了。例如氢气与氧气燃烧，生成水并辐射出光能，那么生成的水比反应前的氢氧总质量少了。一个同学把落地的笔捡起来，那么人通过手部的分子电磁场接近笔的分子电磁场把电磁能传递给了笔，笔与地球体系总引力势能变多则其质量变多。不过以上现象因为质量变化都极少因此实际测量比较困难而已。物质的本质是质量，或者说能量，我们得为老爱因斯坦的工作喝一声彩，他给了我们对既有的一切现象统一简洁的描述。四．能量守恒与机械能守恒自然界的各种能量的总和在一切变化过程中保持不变，只能由一个物体转移给另一个物体，由一个形式转变成为另一个形式，这就是能量守恒定律。能量守恒定律发觉的过程比较波折，最初由各个学科的科学家分别在力学，热力学，生理学，电学等学科分别提出能量守恒的详细体现，日后由焦耳等科学家完成能量守恒的总结。物理体现中，能量守恒的合用对象必须为孤立体系（这一点和动量守恒一致），假如有外界作用，那么外界会对体系内输入或者输走能量。能量转移的过程意味着有做功的过程，做功是能量转移转化的过程。总的来说，能量守恒定律能够称为物理学建立以来最受物理学家信任的物理定律。在科学史上，人类常常会发觉已定义的能量不守恒的现象，这时候物理学家们就会把能量的定义拓展一下，定义一个新的能量形式，能量守恒定律就又完美了。最经典的案例莫过于焦耳用内能的定义替代热质理论的成就（这段科学史比较普及，这里就不简介了）。诸多同学看完这段会以为这么的物理定律比较扯淡，有点像那个“史上最无敌的真理”—“一切事物都是矛盾统一的”在解释“一个饿了的人吃了面包肚子就饱了”时使用的逻辑—“饿和饱是一对矛盾，面包和人是一对矛盾，人吃了面包，成果就矛盾统一了”！只要对所刊登言论中的概念不做清楚定义并保有最后解释权，那么这个世界永远伟大光荣正确的理论会无处不在。例如我们就能够说“报学而思物理竞赛班的同学其实都是free的”。不过物理毕竟不是扯淡理论，有关能量的了解会伴随我们同学学习研究物理的终生。基本从3岁开始，我们看到咸蛋超人胸前红灯嘟嘟直闪，就认识到那种对于超人来说都至关重要的东西本来叫能量。中学的时候，身处题海战的我们被迫的开始利用能量守恒去计算习题中的未知数。再日后，通过对相对论的推导，我们会意识到能量与质量的等效性，这时我们才真正的对能量有了清楚的认知。再到日后，我们的同学在科研工作中自觉的利用能量守恒分析试验的数据。能够说，能量是这颗行星上的智慧生命普及度最高的专业概念，虽然每个人对其了解深度不一，不过都在自觉不自觉的利用能量的概念在思维和判定。在学习能量守恒的过程中我们同学会认识到物理学的终极目标：用更少的概念去描述更多的观测规律，并对没有观测到过的现象进行预言。从这个角度，我们应当意识到焦耳的工作是高度有效的，因为他让日后同学在学习中学物理时少背了一套理论，让我们对热效应的思考时少用了诸多步骤。可笑的是无知的人了解物理学发展的过程老是用“真理战胜愚昧”来了解。例如国内的某些学者写的科普读物中就这么赞美焦耳，“热质是错误的假想的物质，在焦耳的实践斗争中被推翻”。其实稍微懂点当代物理的人都应当懂得，热质学说很有道理啊，热质不就是目前说的光子么，只不过在当初热质说还只是个唯像理论。作为能量守恒的特例，当一个系统除了速度，高度，形变以外没有其他物理参数变化时，自然机械能守恒，依照动能定理以及势能的功效关系，我们能够推导得出机械能守恒的力学条件。对于一个质点系，由动能定理：又重力做功系统内弹簧对质点总功这两个功在方程的左边，把它们移项到右边，则有左边为除重力以及系统内弹簧以外其他一切力做功，右边为机械能变化量。这个方程又叫功效原理。其推论是：假如一个系统除重力以及系统内部弹簧弹力功以外，其他力总功任意时段都为零，则系统机械能守恒。这个表述虽然看上去严格，不过其实基本不实用，因为计算系统内力做功显然不是轻易的事，多数我们还是从没有其他能量生成考虑机械能是否守恒。注意以上的推导和普物的不一样，因为中学教材中对机械能定义的原因导致。其次就是机械能显然是对实际的一个理想近似。下面我们讨论两种常见的机械能与内能转化现象：摩擦生热回忆上讲中我们处理的一个模型：子弹击穿木块一子弹射入一个能够自由移动的木块，设相互作用大小为F，则：子弹队木块做功等于木块动能变化量：木块对子弹做功等于子弹动能变化：叠加一下：这个方程能够解读为摩擦内力的总功为负，其值等于总动能变化量（也是负数）。不过从能量守恒的角度，我们会发觉系统作用后总动能减少了，减少的能量转变成什么形式的能量了呢？焦耳发觉，子弹与木块的温度都上升了。这阐明系统的内能增加了，通过测量，在摩擦内力做功的过程中，系统增加的内能总是正比于系统机械能减少许。这阐明内能与机械能本质是等效的，因此焦耳用机械能的量度——力与距离的乘积衡量内能。原子分子论建立起来后，内能有了明确的定义，就是大量微观粒子总动能与势能的总和。从上面的推导中能够看出，假如是通过滑动摩擦把机械能转化为机械能（简称摩擦生热）则生热的数量能够用计算（l为相对旅程）。如图为焦耳测量热功当量的试验之一，重物的机械能通过螺旋桨与水之间的摩擦转化为水的内能，使水温度上升。亏损的机械能与水温度升高量成简单正比，证明内能与机械能的本质是一回事。早期物理学计量内能的单位为卡路里（记为cal，1cal相称于把1g的水升温1°C需要的内能），该试验可测得1cal的值约4.2J。这个试验成果也能够了解为：把一瓶矿泉水从距地面高0.42m的地方自由释放，不考虑空气阻力，水瓶落地后停下，即便生热全被内部的水吸取，水也只升高0.001°C。这个现象很不明显，因此一直没有引起注意。碰撞动量失衡的学习过冲中我们懂得质量和的两个物块，在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为和及和，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：上述方程在预言结构时候显然是不完备的，原因是不一样的材料碰撞过程中能量变化不一样，依照碰前后是否生热，生热的不一样我们能够把碰撞分为：（1）弹性碰撞在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由动能守恒有结合动量守恒解得对上述成果可作如下讨论①，则，，即互换速度，这便是最初马尔西惠更斯他们得到的认识。②若＞＞，且有，则，即质量大物速度几乎不变，小物以二倍于大物速度运动。③若＜＜，且，则，，则质量大物几乎不动，而质量小物原速率反弹。（2）完全非弹性碰撞两物相碰粘合在一起或具备相同速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，损失机械能最大。碰撞过程中损失的机械能为（3）一般非弹性碰撞，恢复系数一般非弹性碰撞是指碰撞后两物分开，速度，且碰撞过程中有机械损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。物理学中用恢复系数来表征碰撞性质。恢复系数e定义为①弹性碰撞，e=1。②完全非弹性碰撞，e=0。③一般非弹性碰撞0＜e＜1。阐明：1.碰撞生热的本质是因为物体接近时分子间作用力导致分子平均距离先压缩后恢复，有些材料分子相对位置稳定，因此几乎能完全恢复。碰撞过程中分子热运动动能不会增加，即不成热。有些则分子相对位置很容变动形成新的平衡点，碰撞时就不能完全恢复了，分子的热运动动能就增加了，体目前宏观上就是生热了。2.以上推导全是讨论的一维的情况，对于速度与受力不共线的情况（即斜碰），只要分解后分别在法向与切向处理即可。如图所示，设两物间的恢复系数为e，设碰撞前、速度为、，其法向、切向分量分别为、、、，碰后分离速度、，法向、切向速度分量、、、，则有若两物接触处光滑，则应有、切向速度分量不变若两物接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽视。五．伯努利方程图表示一个细管，其中流体由左向右流动。在管的处和处用横截面截出一段流体，即处和处之间的流体，作为研究对象。处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向右。处的横截面积为，流速为，高度为，处左边的流体对研究对象的压强为，方向垂直于向左。通过很短的时间间隔，这段流体的左端由移到。右端由移到。两端移动的距离分别为和。左端流入的流体体积为，右端流出的流体体积为，理想流体是不可压缩的，流入和流出的体积相等，，记为。目前考虑左右两端的力对这段流体所做的功。作用在液体左端的力，所做的功。作用在右端的力，所做的功。外力所做的总功外力做功使这段流体的机械能发生变化。初状态的机械能是到这段流体的机械能，末状态的机械能是到这段流体的机械能。由到这一段，通过时间，虽然流体有所更换，但因为我们研究的是理想流体的定常流动，流体的密度和各点的流速没有变化，动能和重力势能都没有变化，因此这一段的机械能没有变化，这么机械能的变化就等于流出的那部分流体的机械能减去流入的那部分流体的机械能。因为，因此流入的那部分流体的动能为重力势能为流出流体的动能为重力势能为机械能的变化为理想流体没有粘滞性，流体在流动中机械能不会转化为内能，因此这段流体两端受的力所做的总功W等于机械能的变化，即因此有：整顿后得和是在流体中任意取的，因此上式可表示为对管中流体的任意处：这个方程叫伯努利方程。流体水平流动时，或者高度差的影响不明显时（如气体的流动），伯努利方程可体现为可知，在流动的流体中，压强跟流速有关，流速v大的地方要强p小，流速v小的地方压强p大。伯努利方程的应用举例：通过漏斗吹乒乓球时，乒乓球上方空气的流速大，压强小，下方空气的压强大，乒乓球受到向上的力，因此会贴在漏斗上不会掉下来。向两张纸中间吹气，两张纸中间空气的流速大，压强小，外边空气的压强大，因此两张纸将相互贴近。同样的道理，两艘并排的船同向行驶时假如速度较大，两船会相互接近，有相撞的危险。历史上就曾经发生过此类事故。在航海中。对并排同向行驶的船舶，要限制航速和两船的距离。球类比赛中的旋转球和不转球的飞行轨迹不一样，是因为球周围空气流动情况不一样导致的。图甲表示不转球水平向左运动时周围空气的流线。球的上方和下方流线对称，流速相同，上下不产生压强差。目前考虑球的旋转，致使球的下方空气的流速增大，上方流速减小，周围空气流线如图乙所示。球的下方流速大，压强小，上方流速小，压强大。跟不转球相比，图乙所示旋转球因为旋转而受到向下的力，飞行轨迹要向下弯曲。足球比赛中的香蕉球也是这个原理。力的两种定义法力的严格数学定义有两种，一个是从动量的角度定义，即：了解为一个体系受力为一个体系的动量随时间变化率。另一个是从能量的角度定义动能角度：或者从势能的角度：从数学上，力的概念看起也很严密，当然这仅仅是从数学角度而已。牛顿质点力学的哲学体系还会要求每个力都找出“施力者”与“受力者”，并以为力具备相互性。对于轻易隔离出个体的宏观低速问题，仍然能够近似的认同牛顿体系对力的定义。继续的物理学习中我们会发觉这两种定义方式都与牛顿体系有着深度的哲学上的矛盾。在数学方程与哲学原理在逻辑上产生矛盾的时候，物理学当然会毫不犹豫的选择放弃哲学观点。本讲提示：1.归纳力学模型，提升分析综合问题的能力；2.总结力学原理合用范围以及使用某个原理的目标。从数学的角度，所有牛顿力学范围内的问题都能够通过一个套路化的流程处理：先利用牛顿第二定律列出微分方程与牵连方程，再找出边界条件，剩余的工作交给解方程即可，方程会回答所有的问题。不过在高中遇到的问题绝大部分都是某些特殊情景，数学模型都很巧，因此基本不用积分（并且对大部分同学来说套路解法也不现实，学会做微积分的数学题不难，难在对着物理问题利用微分方程）。这就出现了联立受力分析，运动态分析，动量分析，能量分析，角动量分析5大力学思绪综合利用的特殊解法。从考试的角度，无论是高考压轴，自招还是竞赛，多数同学要能迅速准确答题，基本都得多归纳，多训练，通过“刷题”积累模型。从学习的角度，积累模型的同学总算比对着样题模仿的同学学的深刻某些。应试大战中的“超级成功人士”，考试的时候，大部分时候基本不是在依照原理分析题，而是条件反射的写出对习题条件的解读，只有少数的地方他会去动些脑经。从学习的角度，我们不太支持我们的同学把空闲时间无程度的花在“刷题”上，虽然这么考试成绩提升明显。大家可把本讲当做一次对前期所学物理原理的一次复习和反思。把不一样的物理原理放在一个物理模型中思考，既能加深对原理的了解，又能取得较高成就感，更有趣的是我们往往会发觉某些“矛盾”甚至是“悖论”，当然这些矛盾多数不是某个物理原理错了，而是我们了解不当。物理学的发展往往在这些矛盾的处理过程中实现，例如历史上麦克斯韦方程与经典力学在光速问题上的矛盾就导致了相对论的产生。我们同学学习物理的过程中也会不停的遇到前后知识在同一模型中矛盾的情况，能够说处理这些问题的过程中我们不但会加强对定律本质的了解，更会训练出一个能力，这种能力会在将来的学习以及研究过程中常常用到。总的来说，学习物理，思考物理，其味无穷，其乐亦无穷。知识点睛受力分析一个物体的运动状态与之受力有必然对应关系，这就是我们分析问题首先应当注意到的思绪。从运动态出发,力学的方程有：1.刚体平衡必须满足两个条件其一：力的矢量和等于零,即其二：作用于刚体的力对于矩心O的合力矩也为零,即某个力的力矩定义为力臂与力的叉乘,即分析的时候注意详细力的特点，注意总结经典力学模型中受力特点。注意“轻”的东西无论运动态怎样，受力为平衡力（矩）。2.如物体不平衡（1）对平动，一个物体加速度满足牛顿第二定律：这个定律使用既能够在直角坐标系使用，也能够在其他坐标系使用，假如在自然坐标中使用，我们把垂直速度的加速度叫向心加速度，由向心力提供。牛顿定律使用的难点在于注意发觉某个分量上的加速度特点以及纯熟使用矢量分解技巧。牛顿定律的作用是计算运动态与力的关系，以及对加速度积分得到速度变化量，对速度积分得到位移。牛顿定律分别对时间积分得到动量定理，对空间积分得到动能定理。对系统使用分别得到动量守恒条件以及系统能量守恒的原理。使用牛顿定律常常要换参考系，变化参考系时必须补画惯性力，惯性力的大小等于受力物质量与参考系绝对加速度之乘积，方向与参考系绝对加速度相反。（2）对转动，我们引入角动量这个物理量（如下内容了解即可）：角动量力矩对应力，动量作为一个矢量，也能够类似的引入一个动量矩，叫角动量：L=r×p这里的p是一个动量，而r是一个从某个参考点出发的位移矢量，一般我们取这个参考点是相对于参考系静止的。暂时我们只考虑质点的情况，刚体的角动量以后再引入。角动量定理下面我们考虑这个L随时间的变化：（因为，且,因此）因此类似于动量和力的关系，我们能够懂得：也就是质点对任意固定点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。只有质点系的外力的力矩才会变化质点点系的角动量，而内力相互抵消。【总结】受力分析的目标在于搞清楚力与运动的关系，弄明白哪些量守恒。二．运动态分析运动态分析包括：轨迹的认识，一般用坐标系分解去了解。要注意分析运动的合成与分解，独立性原理，换系后相对运动计算。2.牵连速度（1）杆或绳约束物系各点速度的有关特性是：在同一时刻必具备相同的沿杆或绳方向的分速（2）接触物体在接触面法线方向的分速度相同,切向分速度在无相对滑动时也相同.（3）线状交叉物体交叉点的速度是相交物体双方沿各自切向运动分速度的矢量和.3.牵连加速度直角坐标系中某方向速度比等于加速度比用绳或者杆连接物体变化沿绳子速度大小加速度一直（注意沿绳子合加速度一般不一致），或者利用换系后的圆周运动了解加速度关联，对于接触面为曲线的情况一般也采取换系后使用向心加速度公式推导关联加速度。三.动量分析质点的动量变化有力的冲量导致，即：这个方程多数使用正交分解的矢量式。对于一个质点系，内力总冲量为零，该方程也成立。如一个体系外力时刻为零，则动量守恒。动量方程与牛顿定律方程无须同时列出，但与能量方程具备互补性。能量分析一个物体，外力对之做功等于动能该变量，即：一个封闭体系，因此能量的总和为零，如有外力功，可了解为引入能量。以上能量方程只列一个即可，也不与牛顿定律同时出现。角动量分析角动量守恒从前面的公式我们能够懂得，只有当M=0时，角动量才能守恒，那么只有两种情况：1.外力为零。2.力F通过定点，也就是有心力，那么相对于那个定点，力矩一直为零，因此角动量守恒。使用角动量注意参考点的选择。【总结】处理复杂力学问题的两条途径：动量分析与功效分析以及利用角动量守恒，在复杂的问题中，这几条规律往往一起利用，看起来他们的定义与关系都很相同，不过其实是三个完全独立的方程，动量讨论方向问题，而能量讨论力与位移的关系，角动量讨论有心力场的问题。知识点睛一.开普勒行星运动定律人类对于天空的观测也许从人类诞生就开始了，有关天空的知识一向就布满了神秘感，例如古代的中国人就相信天空中的某些现象能预示一个王朝的兴亡或某个人的生死，“昨夜老夫夜观天象…”是咱们的老祖宗诓人时常用的起语。起源于古代巴比伦时期的星座占星术，到了二十一世纪仍然是众多受过高等教育的年轻人判断第二天人品值的重要参考。科学与迷信都起源于对现实的观测与描述，也都是对现实观测的推断，只不过后者愈加严密和精准罢了。而后者会比较接近艺术家的思维方式：睁开眼睛看3秒，然后闭上眼睛让想象力驰骋，最后“顿悟”了。第谷(1546-1601)当然古代天文学中也有对天空理性的描述，第一个值得回忆的是古希腊哲学家托勒密提出的地心学说，地心学说以为行星有一个“本轮”绕着地球做圆周运动，同时行星又绕着本轮做圆周运动，用两个角速度合成就能描述行星在天空的位置。真正有物理天赋的同学很轻易看出来地心学说其实很靠谱，那个本轮其实就是太阳。到底是以地为心还是以日为心从物理学角度其实没有本质的是非对错的差异，无外乎参考系不一样而已，假如天体运行是圆轨道，无论地心说还是日心说在描述轨道上是等效的。至于宇宙真正的“心”第谷(1546-1601)不过因为天主教会把地心说上升为真理，反地心说因而具备了巨大的哲学以及社会意义。如大家所知，伽利略首先提出了质疑，哥白尼又提出了日心说，“斗士”布鲁诺还因为宣扬宇宙无心还被教会给烧死了。这里我们不想重复去这段已经写入中学政治课本的革命史，其实无论是教会还是打着哲学家头号的“斗士”，都不会去关心科学的本质。他们大多无外乎挂是科学的羊头卖自己社会观点狗肉而已，为了在一般大众那得到更多支持与利益，科学要么被利用，要么被整编，要么被牺牲。也是基于此，我们课程尤其重视给我们的同学简介真正的科学史。除了激发我们同学的学习兴趣外，真正的科学史还能够使我们受到思维的启发，让我们感受到科学的本质。在伽利略创造了望远镜后，人类对天体运动的观测有了突飞猛进的进步。伟大的天文学家开普勒在他的老师，当代天文学始祖第谷的观测数据基础上，归纳出行星运动的三大定律。开普勒定律是人类第一次对天体运行的精准定律，开启了当代天文学的新篇章。这三个定律分别为：§第一定律:行星围绕太阳的运动轨道为椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上．阐明图如下，行星的轨迹只是近似的圆，严格来说都是椭圆，距离太阳距离时远时近，速度也时慢时快，但具备周期性。数学上椭圆有两个焦点，太阳位于椭圆的一个焦点上。§第二定律:行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．下面举一个例子详加阐明：为用数学式子表述第二定律，设径矢在时间内扫过的面积为，则面积速度：为，由图可知，故面积速度为常量式中为行星运动的线速度，为径矢与速度方向之间的夹角．当行星位于椭圆轨道的近日点或远日点时，速度的方向与径矢的方向垂直，即，故这个定律显然是角动量守恒的一个特例．【阐明】开氏第二定律有两种使用方法计算瞬时速度与位置关系。依照面积速度计算运行时间，当然前提是求出矢径扫过的面积。§第三定律:各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方的比值相同，即开普勒定律不但适合用于行星绕太阳的运动．也适合用于卫星绕行星的运动．有关椭圆的必要数学知识请参看附录，本讲包括的数学知识请大家务必在短时间内弄懂。椭圆的数学描述§椭圆第零定义椭圆看上去就是个圆被踩扁后的形状，故椭圆的第零定义（因为数学教材已经要求了第一与第二定义的措施，这里姑且把这个最易了解与推导的定义叫第零定义）就是把一个圆向着有夹角的平面投影，则可得到一个椭圆，如图：设圆在其坐标系里半径为a，把圆心放入坐标原点，依照两点间距离公式，显然其方程为 投影后，平行于圆面与椭圆所在平面交线的坐标x坐标值不变，但垂直x轴的y坐标变小，变小百分比一定只取决于两面夹角，因此椭圆的方程变为：，其中a叫长半轴b叫短半轴，且知两个面上y坐标之比为用这个定义，很轻易由面积摄影定理证明椭圆的面积公式：圆的面积为依照面积摄影定理（这个公式这里就不做推导了，很轻易了解，大家能够用一个边平行于两面交线的长方形证明，再把一般的形状用微元法割成无数小长方形即可）因此椭圆面积为，这个定义法适合描述椭圆上部分的面积，对于椭圆上部分面积，大家能够用上面的示意图。先把椭圆上的形状反投影到圆上，再计算圆上的面积，最后再依照面积射影定理计算椭圆面积即可。这个措施背面会有例题包括。§椭圆的第一定义：在平面上固定两个点，到这两个点的距离和很等于2a的点的集合也是一个椭圆，这两个参考点叫椭圆的焦点。依照这个定义，用两点间距离公式也能证明椭圆方程。其中│F1O│=│F2O│=c,设椭圆上一个点的坐标（x，y）依照定义写出方程：化简可得（化简过程略去）其中从图中还能够看出：│F1B1│=│F2B1│=│OA1│=│OA2│=a│OB1│=│OB2│=b我们又把c与a的比叫一个椭圆的离心率记作：这个定义在计算椭圆参数时比较适合，不过讨论轨迹细节不实用，计算过于繁琐。这就要引入：§椭圆第二定义：把到一个定点F1(焦点)与定直线（又叫准线）距离之比为衡量的（百分比系数正是前文提到的离心率e，且椭圆的离心率e<1）点组成的平面图形叫椭圆。其中用p表示焦点到准线间的距离，在直角坐标系中能够证明准线的直角坐标方程是：（用距离公式可推，大家能够自己算一下）那么焦点到准线的距离为:下面推导一下极坐标系中椭圆的方程，极坐标我们前面讲义引入过，极坐标用平面内到极点的距离与到极轴的角度定义平面内的点。如下左图：极径：到参考点（极点）的距离，用表示极角：与参考射线（极轴）的夹角，用θ表示，注意θ逆时针为正，这么点的坐标为（，θ）θ与满足的方程叫平面内曲线的轨迹，例如把一个半径为R的圆的圆心放在极点，其方程为：如上右图，设，F1到准线距离为p,定义离心率e为椭圆上的点到焦点与到准线的距离比，则： 化简得到：【注意】抛物线双曲线也符合这个公式，只是离心率分别取1和不小于1。一般的直角坐标方程与极坐标方程变换的公式，当极点重叠直角坐标原点，极轴重叠x轴时，如图：易知直角坐标变化为极坐标变换式为：反之有：用以上公式能够实现极坐标与直角坐标方程的互变。【总结】以上3个椭圆的数学定义法在计算轨道参数时都将使用，一般性的标准如下：1.从开普勒行星第二定律看出，行星运动过程中运动的时间是正比于行星扫过的面积的，那么只要我们用投影法计算出行星的极径扫过的面积，再除以面积速度，即能推导出行星运动的时间了。2.极坐标特变适合处理行星运动方位问题，因此我们将用的更多某些，直角坐标比较适合处理某些特殊位置的情景。3.从公式的角度，长半轴a是一个重要的参数，诸多轨道参数都与a有直接联系，提示使用的时候注意。阅读材料：1571年12月27日，开普勒出生在德国威尔的一个贫民家庭。开普勒的童年时代布满了不幸，不过正是这种不幸磨练出他无比坚强的意志。在贫困的煎熬和丧父的悲痛中（他的母亲还被诬陷下狱），开普勒坚持到大学毕业，并成为蒂宾根大学最优秀的毕业生。日后开普勒取得天文学家第谷的赏识，在第谷的协助和指引下，开普勒的学业有了巨大的进步。第谷死后，开普勒接替了他的职位，被聘为皇家学者。当初的皇家聘任天文学家作为皇家学者，其实并不是多么重视科学，反倒是他们相信天文学家比较擅长夜观星相占卜将来（@#￥%&！愚昧的人都是相同的，聪明的人各有各的机巧）。例如第谷就曾经“成功的”预言了苏莱曼苏丹的死而名声大震，从而名利双收。“我曾测量过天空，而目前测量幽冥，灵魂飞向天国，肉体安息土中”天空立法者--开普勒(1571-1630)相比于他的老师第谷，开普勒在忽悠贵族骗名骗利方面显然没有那么多的天赋，皇室学者的身份并没有为开普勒带来多少的收益。开普勒从事这份工作的原因是为了研究第谷积累了二十多少年天文观测数据，在贫困交加和他人的藐视中，他利用一切的时间去探究这些数据背后的“我曾测量过天空，而目前测量幽冥，灵魂飞向天国，肉体安息土中”天空立法者--开普勒(1571-1630)通过的不懈努力下，开普勒终于取得了成功。到16，开普勒完成了他对天体运动三定律的研究和出版。但论文的出版并没有为开普勒带来荣誉与金钱，相反，他的书很快被列为禁书，甚至连他的生命也受到威胁。1630年11月，因数月未得到薪金，生活难以维持，年迈的开普勒不得不亲自到雷根斯堡索取。不幸的是，他刚才到那里就抱病不起。1630年11月15日，开普勒在一家客栈里悄悄地离开了世界。他死时，除某些书籍和手稿之外，身上仅剩余了7分尼（0.07马克）。科学家的故事我们同学从小读过诸多，甚至开普勒的故事应当也有不少同学读过。不过我们同学读到科学家的故事多数都是人们加工美化过的。犹如我们想向大家简介真正的物理学一般，我们也想向大家简介真正的物理学家，真正的物理学家的生活。在世俗的眼中，科学家存在的意义就是创造各种先进的玩意让一般大众的生活越来越美妙，然后科学家同时也名利双收。在科学家的周围，布满了耀眼光环与人们的敬佩，诸多人就是因为这个原因投身科学的。但实际上，他们很快会发觉诸多科学家在他所在的时空，往往贫困潦倒，甚至在社会生活中显得微不足道，没有多少人关心他们在做什么。即便他们取得了很大的成就，往往也需要几十年上百年才被后世的人了解和感激。即便在当代，那些真正从事前沿研究的科学家，在生活中也是平平凡凡的。诸多知名的科学家，往往不是因为他们的专业贡献，而是因为他们身上某些能吸引一般人眼球的东西（例如霍金）。真正的物理学史，会让从小陶醉在科学家梦想的人感到无比的残酷与失落。我们不禁要问：几百年来，无数物理家不顾一切沉迷研究的真正目标是什么？难道是天生脑子烧坏了，还是伟大到为了全人类几百年后的幸福生活？按当代环境保护主义者的观点，科学这三百年做的事情，无外乎是加速了这颗星球上的人口膨胀，资源消耗与环境巨变，使人类几乎无可防止的在本世纪末面临灭亡命运。所谓的“人类的幸福”一直以来只是人类自私的借口，那么物理学真正目标在哪儿？“当我们仰望星空...”无数文学作品以这句让人心旷神怡，遐想无限的话作为起首语。是的，对于宇宙万物的探索欲是我们人类最深刻最本质的欲望。这个本能深植与我们的基因之中，甚至当初造物主在创造生命的时候就决定了这一切。当我们仰望星空的时候，看这繁星点点，人类一切它欲念与情感都显得那么微不足道。我们从哪里来？我们要到哪里去？我们处在一个什么样的宇宙之中？为何会有那么多我们无法了解的规律性的现象？我们的先人正是在这个强烈的好奇心驱动下，不顾一切前赴后继献身于探索的征程。正如开普勒在出版他的书的时候写下的那段话：“这正是我十六年前就强烈希望探求的东西。我就是为了这个目标同第谷合作的……目前大势已定！书已经写成，是目前被人读还是后裔有人读，于我却无所谓了。也许这本书要等上一百年，要懂得，大自然也等了观测者六千年呢！”在开普勒看起来，大自然召唤者我们人类去发觉它的规律，无论多少艰难险阻他都会投身其中。这是历史上每一个有重大发觉的科学家的共识！即便人类真的在很快的将来面临灭亡，在人类灭亡的那一瞬间，真正的科学家惋惜的一定是尚有那么多的我们不了解的规律没有能够弄明白。从这个角度，开普勒的毕生一点也不可怜，一点也不孤单，也没有多少事情需要惋惜。他的经历，是一个真正的科学家需要去面对，去负担的。他取得的回报是他真正的享受了取得发觉的愉快。写下以上这么多，不但仅是想向各位同学简介一下这位伟大的科学先驱，也是给我们同学一个正确的导向。在这个重视眼前利益的国度，在现实主义的气氛中，当我们有志于投身科学的时候，驱动我们的是想成为科学家的梦想还是无法抑制的探索欲念？假如是仅仅是前者，我们以为最佳放弃！万有引力定律到底是什么原因引起了开普勒的规律的天体运动？因为基督教曾经解释一切天体运动都是因为上帝派出的天使驱动的原因，因此思考这个问题自身在中世纪的时候就是违法的。当然再严酷的法律也不也许遏制人类探索自然规律的渴望。开普勒以后，诸多科学家对天体运动的本因进行分析。受伽利略“力是变化运动状态原因的思维方式的影响，科学家的注意力都集中到了研究控制行星运动的力。这个力是谁施加给行星的？符合什么规律？胡克与哈雷等人从惠更斯的圆周运动向心力定理出发，把椭圆退化成一个圆。证明了控制行星运动的力必然正比于受力者质量，反比于到圆心距离的平方（这个推导比较简单，我们会作为一个例题让大家自己享受一下发觉的幸福）。但对于椭圆轨道，受限于他们的数学能力，无法予以证明。更核心的是，这个力是怎样施加给行星的？哈雷与胡克是最早意识到行星是在太阳的引力作用下运动的，并且他们从圆周运动推导出这个力应当反比于距离平法，不过这个力是否普遍存在，怎样用数学证明椭圆轨道这个力也平方反比，他们无能为力。他们曾经和雷恩一起打赌出40先令给第一个取得证明的人。突破的人是谁呢？历史选择了牛顿。对于牛顿对人类进步的评价，无路用什么样的语言都无法确切体现。为牛顿撰写墓志铭的亚历山大·蒲珀曾说过：“大自然和大自然的法则藏匿于黑暗之中。上帝说，让牛顿出世吧！于是世界一片光明。”牛顿从相互作用原理以及微积分出发，提出并证明了：所有的物体都在相互吸引的理论，正是太阳与行星间的相互吸引力，约束着行星围绕地球做圆周运动。在证明的过程中牛顿巧妙的引入了叠加法证明了两物体之间的相互引力一定正比于两个物体所含物质的多少的乘积，从微积分的角度出发，牛顿又证明了质点间的万有引力与距离平方成反比的结论。总结起来就是目前的万有引力定律：有关平法反比力下轨迹为二次曲线（椭圆，圆，双曲线，抛物线统称二次曲线）的证明，后世又发觉了不少能够证明的数学措施，都非常有趣，这里既不做论述了。有兴趣的同学能够自己推导，不一定要用高等数学。我们这里重复一下牛顿使用过的叠加法，对我们的此后的思维会有一定的启示。如图，两个相互吸引的物体能够分为无数等质量的小份与，假如忽视掉物体的体积，每一份面临的物理情景是对称的，那么受力一定是相等的，整个m1受的外力为各个力之和。这就m1了物体间受力和其物质的多少是成正比的。因为m1m2具备对易性，相互作用力也一定与另一个物体含物质的多少成正比。后世把这个含物质的多少叫做引力质量，记作m引，把牛顿第二定律中的质量叫惯性质量，记作m惯。引力质量和惯性质量在试验上是两个不一样的概念，前者的测量标准是引力对弹性物体引起的形变，后者的测量标准是惯性力对弹性物体的形变。（看不懂的动脑子或者问老师）试验表白，不一样材料，不一样物质多少的物体，引力质量与惯性质量几乎没有差异。比较粗糙的试验措施是测量不一样的物体在同一地点在重力作用下是否加速度一致。如下推导之：引力质量为m1的物体受地球的引力为由牛顿第二定律有如惯性质量与引力质量一致，则即自由落体加速度与物体的质量无关，那么引力质量就能够和惯性质量一致，统称质量，以后试验上称量质量的定义就直接用天平去定义了，其实测的是引力质量（注意化学中的质量正比于物质的量以及化学反应质量守恒只是近似的，没有考虑相对论效应）。厄缶试验当然这个试验不也许得出精准的成果，一般的精度级别只有千分一，牛顿自己还曾经用单摆试验验证过，大约也是这个量级。比较可信的试验是匈牙利物理学家厄缶完成的，到1890年，厄缶连续做了25年的试验，证明在10-8精度范围内二者相等。厄缶将两个不一样质料、质量相等的球悬系在扭秤的两臂上使扭秤平衡，并指向东西。物体受地心引力和地球自转的惯性离心力作用。若物体的引力质量与惯性质量不等，引力和惯性离心力之和将产生转矩，此转矩可被悬丝的扭力矩所平衡。将整个试验装置转180°，使两球的位置互换，转矩取向相反，而扭力矩不变，则应观测到扭秤偏转一个角度。试验在10-8精度内未观测到这一效应。类似的试验以后又数次为其他人更精准地做过，精度提升到9×10-13，表白引力质量和惯性质量精准相等。这个试验将来一定还会有人继续做，因为事关广义相对严密性问题，因此仍然属于前沿科学的研究问题。厄缶试验卡文迪许试验示意，简单不过又精巧的设计位于剑桥大学的卡文迪许试验室，被誉为诺贝尔奖得主的摇篮卡文迪许试验示意，简单不过又精巧的设计位于剑桥大学的卡文迪许