人教版九年级上册数学期中考试压轴题专练解析版

【材料一】若三个非零实数x,y,z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称三个实数x,y,【材料二】若关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x,x₂,则有：(1)实数4,6,9可以构成“友好数”吗?请说明理由；标y,y₂,y₃构成“友好数”,求实数t的值；(3)设三个实数x₁,x₂,x₃是“友好数”且满足0<x<x₃<x₂,其中x,x₂是关于x的一元二次方程是抛物线y=ax²+bx+da≠0)与x轴的一个交点的横坐标.①a+b+c的值等于;②求y关于x的函数关系式.【答案】(1)4,6,9可以构成“友好数”,理由见解析(3)①0,②y=x²-x-1【分析】(1)根据“友好数”的定义即可得出4,6,9可以构成“友好数”;(3)①由三个实数x₁,X₂,x₃是“友好数”且满足0<x<x₃<x₂,其中x,x₂是关于x的一元二次方程②由①得1;从而进而求得求y关于x的函数关系式.解：∵6²=4×9,∴4,6,9可以构成“友好数”;①y²=y₂y₃,由题得x²=x₂X₃,即t²=(t-1)(t+1),②y²=y₁y₃,由题得x²=x₁x₃,即(t-1)²=t(t+1),无解.●解得●解得∴满足条件的或①∵三个实数x,x₂,x3是“友好数”且满足0<x₁<x₃<x₂,其中x₁,x₂是关于x的∵x₃是抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标，.a+b+c=0,故答案为0;②由①得a+b+c=0,两边同除以a,得即函数关系式为：y=x²-x-1.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系以及新定义，正确理解新定义是解题的关键。2.如图，抛物线x轴于A,B两点(A在B的左侧),其中B(2√3,0),与y轴交于点C(0,-4).(1)求抛物线的解析式；(2)直线BD与y轴交于点D,且∠ABD=30°,点M是抛物线上在第三象限的一动点，过M作MP¹/y轴，交直线BD于点P,MQ⊥BD于点Q,求√3MQ+PQ的最大值及此时M点的坐标；(3)将抛物线沿射线DB方向平移4个单位得到新抛物线y,,新抛物线y₁与原抛物线交于点E,在新抛物线y,的对称轴上确定一点F,使得△BEF是以BE为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标。【答案】(1);【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(3)求出平移后的函数解析式,再求出点设F(√3,m),分两种情况讨论：当BE=BF时和当BE=EF时，根据边长相等列出方程求出m的值即可.解设直线BD的解析式为y=kx+b,则 ∵抛物线沿射线DB方向平移4个单位，∴抛物线沿x轴正方向移动2√3个单位，沿y轴向下平移2个单位，抛物线y₁的解析式2;·2;·:5或【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键交于点C.点D(2,3)在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E,点F是抛物线上的动点.(1)如图1,若抛物线经过点A、B两点.①该抛物线的对称轴为为顶点的四边形为平行四边形时，求点F的坐标；(2)如图2,若此抛物线经过点D,且与线段AD有两个不同的交点，则a的取值范围是(2)a>0且或a≤-1(2)将点D坐标代入解析式可得a与b的关系，从而可得抛物线对称轴及顶点坐标，分类讨论抛解：①把点A(-1,0),点B(3,0)代入y=ax²+bx+3得：把点A(-1,0),D(2,3)代入得：∴点E的坐标为(0,1),"".FH//CE,∵以C、E、H、F为顶点的四边形为平行四边形，;解：∵点D(2,3)在抛物线上，∴抛物线的对称轴为直线由(1)得：直线AD的解析式为y=x+1,令ax²-2ax+3=x+1,时，抛物线与直线AD有一个交点，当a增大时，抛物线顶点向下移动，抛物线开口变小，符合题意；9当a<0时，抛物线开口向下，当抛物线经过点A时，由(1)可得a=-1,当a减小时，抛物线顶点向上移动，开口变小，符合题意，综上所述，a的取值范围是a>0或a≤-1.故答案为：a>0且【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质与判定，数形结合思想等内容，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系。4.如图，已知抛物线y=0.5x²+bx+c与直线y=0.5x+3相交于A,B两点，交x轴于C,D两点，连接AC,BC,已知A(0,3),C(—3,0).(2)在抛物线对称轴1上找一点M,使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接PA,过点P作PQLPA交y轴于点Q,是否存在点P,使得以A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(3)在点P(1,6)【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式即可；(2)根据对称性可得MC-MD,再解方程组可得B点坐标，然后根据两边之差小于第三边可得B,C,M共线，最后根据勾股定理即可解答；x的方程，然后解方程可求得x,最后根据自变量与函数值的对应关系即可解答.解：将A(0,3),C(-3,0)解代入函数解析式，得解：如图：∵点D与点C关于对称轴对称，∴对1上任意一点有MD=MC,∴当点B,C,M共线时，MB-MD|取最大值，即为BC的如图：过点B作BE⊥x轴于点E,在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=√BE²+CE²=√2,∵在Rt△BEC中，在Rt△ACO中，∴∠ACB=180°-45°-45°=90°,如图：过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°,设P点坐标为)(x>0)解得x=1,x=0(舍去),∴P点的纵坐标∴此时无符合条件的点P.综上所述，存在点P(1,6).【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了利用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识并掌握分类讨论思想是解答本题的关5.(山东·沂水县沂新中学九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知A点坐标为(-4,0),C点坐标为(0,2),抛物线y=ax+bx+c的对称轴是且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B.(1)①直接写出点B的坐标；②求抛物线表达式；(2)在对称轴上是否存在点Q,使得△QBC的周长最小?若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由.(3)若点P为直线AC上方抛物线上的一点，连接PA,PC.求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标.(3)SPAc最大值为4,此时P(-2,3)【分析】(1)由A,B关于对称轴对称，即可求得B点坐标，将A,B,C代入解析式即可求得答案.(2)A,B关于对称轴对称，当A,Q,C共线时C△sc最小，求直线AC与对称轴交点即可得到Q点坐标.··取最大值时点P坐标.··解：①∵A,B关于直线对称，且A(-4,0)②∵抛物线与x轴交于点A(-4,0),B(1,0)把C(0,2)代入解析式所以抛物线解析式为：解：存在Q使得△QBC的周长最小∵Q在对称轴上，A,B关于对称轴对称∴当Q在直线AC与对称轴交点时，C△OBc最小值解：过P作y轴的平行线，交直线AC于点H=2PH∴开口向下;·;·【点睛】本题考查了二次函数综合问题，包含将军饮马线段和最小、面积最值问题.掌握将军饮马模型、线段和面积最值问题解决方法是解题关键。(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示);(2)已知直线y=2x+m与抛物线交于M、N两点.求线段MN长度的取值范围；②记△QMN面积为S,求S与a的函数关系式，并求出S的最小值.【答案】(1)(2)①5√5≤MN≤7√5;【分析】(1)把点M的坐标代入解析式得出b=-2a,再将b=-2a代入原解析式进行配方得出：最后求出点Q的坐标；(2)①根据直线解析式先求出m的值，然后再求得点N的坐标，再利用勾股定理可求出MN的值，最后利用二次函数性质得出MN的长度的范围；②作直线交直线y=2x-2于点E,可求得点E的坐标，再利用以含a的式表示出△QMN的面积，最后整理成关于a的一元二次方程，再利用根的判别式可得出其面积的取值范围，最后得出结果.所以抛物线顶点Q的坐标为①因为直线y=2x+m过点M(1,0),所以0=2×1+m,与抛物线y=ax与抛物线y=ax²+ax-2a,消去y可得：ax²+(a-2)x-2a+2=0①,所以a<0,b>0,所以方程①两边同时除以a得：;因为N在直线y=2x-2上，所以所以线段MN长度的取值范围：5√5≤MN≤7√5,②如图，作直线交直线y=2x-2于点E,可得点E的坐标为所以27a²+(8Sown-54)a+24=0所以△=(8Sown-54)²-27×4×24≥0,所以(8Soww-54)²≥(36√2)²,因为a<0,所以8Soww-54≥36√2,所以可得又因为b=-2a,所以所以;7.(湖北·武汉市光谷实验中学九年级阶段练习)如图，已知抛物线的顶点M(0,4),与x轴交(2)如图1,点C(0,2),P为抛物线上一点，过点P作PQ//y轴交直线BC于Q(P在Q上方),再过点P作PR//x轴交直线BC于点R,若△PQR的面积为2,求P点坐标；(3)如图2,在抛物线上是否存在一点D,使∠MAD=45°,若存在，求出D点坐标，若不存在，请说明理由.【分析】(1)先设出抛物线的顶点式，再代入点A的坐标，即可得出抛物线的解析式；(2)由顶点M(0,4),A(-2,0)可得B(2,0),则OC=OB,可得∠OCB=∠OBC=45°,根据可得NE=NF,设N(n,-n+2),则n=-n+2,求出n=1,可得N(1,1),求出直线AN的解析式联立y=-x²+4即可求解.解得a=-1,解得：m=1或0(舍去),过点M作MN⊥AD于N,过点N分别作NE⊥y轴于E,NF⊥x轴于F,设N(n,n),则ME=4—n,AF=n解∴直线AN的解析式为解得：(舍去)∴D点坐标为【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质等，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质知识点，熟练掌握待定系数法求函数解析式及全等三角形的判定和性质是解题的关键.8.(广东·广州市第二中学九年级阶段练习)如图1,在平面直角坐标系xOy中，A(,0),B(0,2),的图象经过点C.以AB为边向右作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,二次函数的图象经过点C.图1备用图图1(1)求二次函数的解析式；(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线1,若直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两部分，请求出直线l平移的最远距离；(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折，得到VABC,那么在二次函数图象上是否存在点P,使为直角边的直角三角形?若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)【分析】(1)过点C作KC⊥x轴交于点轴交于点K,证明△ABO≌△CAK(AAS),可得点C的坐标，将点C的坐标代入二次函数表达式，可求出b的值，即可确定二次函数的解析式；(2)由(1)可知二次函数的对称轴为直线并由图可知，当对称轴1将△ABC的面积分为左部分比右部分=2:1时，直线l平移的距离最远，设此时直线1分别交边BC、AC分别为点M、N,把点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+2,可确定直线BC的表达式，同理可得直线AC的表达式，设点M的坐标点N坐标1≤t<3,直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折180°,点B的坐标为(2,-2),①当∠PCB'=90°时，线表达式联立可求出点P的坐标，②当∠CB'P=90°时，点P为经过点B且与直线BC平行的直线与抛物线的交点，与抛物线表达式联立可得点P的坐标。解：过点C作KC⊥x轴交于点轴交于点K,又∠AOB=∠AKC=90°,AB=AC,∴OB=AK=2,AO=CK=1,故点C的坐标为(3,1),将点C的坐标代入二次函数表达式得：;当对称轴1将△ABC的面积分为左部分比右部分=2:1时，直线l平移的距离最远设此时直线1分别交边BC、AC分别为点M、N,把点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+2得：1=3k+2,同理可得直线AC的表达式为：设点M的坐标点N坐标为1≤t<3,直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两部分，令∴直线1平移的距离最∵∠BCB'=90°,故点P为直线BC与抛物线的另外一个交点，解得：9故点P的坐标为②当∠CB'P=90°时，点P为经过点B且与直线BC平行的直线抛物线的交点，9故点P的坐标为(-1,-1)【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.9.如图，已知抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(2)若点P(x,b)与点Q(x₂,b)在该抛物线上，且x₁<x₂,PQ=m.②将抛物线在直线PQ下方的部分沿PQ翻折，抛物线其它部分保持不变，得到一个新图像，若这个新图像与x轴恰好只有两个公共点时，求b的取值范围.【答案】(1)见解析(2)①4x²-2x₂m+6m+3=7;②b的取值范围是b=0或-4<b<-2【分析】(1)根据抛物线的解析式，确定点B、点C的坐标，结合坐标与线段的关系判定即可.(2)①根据抛物线的对称轴为x=1,点P(x,b)与点Q(x₂,b)对称点，PQ=m,用m分别表示x,x₂,后代入被求式计算即可.②当b=0时，抛物线与x轴有两个交点，符合题意；当b>0时，翻折后抛物线都在x轴的上方，新图像与x轴没有交点；当b<0时，b=-2时，翻折的图像顶点恰在x轴山，此时图像与x轴有三个交点，不符合题意，故b<-2;因为P是抛物线上的点，结合抛物线的顶点坐标，确定b>-4,从而确定b的取值范围.令y=0,得x²-2x-3=0,解得x₁=-1,x₂=3.∴点B(3,0),令x=0,得y=-3,∴点C(0,-3),..OB=0C.·当b<0时，直线PQ在x轴下方，由题意知，抛物线的顶点为(1,-4),b=-2时，翻折的图像顶点恰在x轴上，此时图像与x轴有三个交点，故b<-2;因为P是抛物线上的点，所以b>-4,.-4<b<-2.物线的性质和抛物线与折叠的关系是解题的关键.10.如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，抛物线C₂的顶点也在抛物线C上，且抛物线C与C₂的顶点不重合，那么我们称抛物线C₁与C₂是“互为关联”的抛物线.(1)请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”,错误②与抛物线y=-x²是“互为关联”的抛物线有且只有一条.()③若两条抛物线是“互为关联”的抛物线，则这两条抛物线的二次项系数互为相反数.()(2)已知抛物线C₁:y=x²-2x-3,抛物线C与C₂是“互为关联”的抛物线，且抛物线C与C₂关于(3)已知抛物线C:y=x²+2bx+c的顶点为点A,与x轴交于点M、N,抛物线C₂:y=-x²+2cx+b的段AB的长.(3)AB=2√3(2)先求出抛物线C₁的顶点坐标(1,-4),再根抛物线C₁与C₂关于点P(m,4)中心对称可得C₂顶点坐MN²=(-2b)²-4c=4b²-4c,PQ²=(2c)²+4b=4c²+4b,再由MN=PQ可得出4b²-4c=4c²+4b,即可得(b+c)(b-c-1)=0,再根据当b+c=0时和当b-c-1=0两种情况讨论即可.①抛物线y=-x²的顶点坐标为(0,0),抛物线y=x²-2x=(x-1)²-1,顶点坐标是(1,-1),当将x=0代入y=x²-2x得y=0,将x=1代入y=-x²得y=-1,MN²=(-2b)²-4c=4b²-4c,PQ²=(2c)²+4b=4c²+4bAB²=(b+c)²+(c²+b+b²-c)²=(b+c)²+(c²+b²+2bc)²=(b+c)²+(b+c)⁴当b-c-1=0,即b-c=1时，2bc=b-c=1,:AB²=12,AB=2√3【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，解决本题的关键是要注意数形结合思想与分类讨论思想的应用.11.(湖北·武汉七一华源中学九年级阶段练习)如图1,已知抛物线C:y=x²+bx+c与直线y=.交于M(m,4)、n)两点(M在N的左侧).(1)求抛物线的解析式；(2)在直线MN的上方的抛物线上有一点C,若求点C的坐标；(3)如图2,将抛物线C₁平移后得到新的抛物线C₂,C₂的顶点为原点，P为抛物线C₂第一象限内任意一点，直线与抛物线C₂交于A、B两点，直线y=2与y轴交于点G,分别与直线PA、PB交于E、F两点.若EF=5GF,求点P的横坐标.【答案】(1)y=x²-x-2或(4,10)【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；(2)过点C作CG//y轴交MN于点G,设C(t,t²-t-2),则9即可求出点C的坐标；(3)先求平移后的函数解析式为y=x²,设P(t,t²)(t>0),联立方程组，分别求出A(-2,94),B)再由待定系数法分别求出直线PA的解析式、直线PB的解析式，可求92),从而建立方程求解即可.解：将M(m,4)代入解得m=-2,9代入y=x²+bx+c,解：过点C作CG//y轴交MN于点G,或(4,10);联立方程·●·●解∵直线y=2与y轴交于点G,设直线PA的解析式为y=kx+b,∴直线PA的解析式为y=(t-2)x+2t,同理可求直线PB的解析式为2),,2),.EF=5GF,∴P点横坐标为3.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，抛物线平移的性质是解题的关键12.(1)数学兴趣小组同学将制作的Rt△ACB和Rt△DCE摆放成如图①所示的位置，且CA=CB,CD=CE,则AD和BE的数量关系为；①②③连接AD、BD.小组同学发现无论α为何值，∠ADB的大小不变，请你计算这个定值，并写出计算(3)在第(2)问的基础上，在图③中作∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连接BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系；并证明.【答案】(1)AD=BE,理由见解析；(2)∠ADB=45°,过程见解析；(3)√2CE+AD=2BE,证明见解析【分析】(1)只需要利用SAS证明△BCE≌△ACD即可得到AD=BE;;(3)如图所示，将△ACE绕点E旋转90度得到△BCM,设CE=a,EF=b,由(2)得BC=CD,根据三线和一定理得到CE垂直平分BD,则BE=DE,∠EFD=∠EFB=90°,BF=DF,证明△BFE≌△DFE进而【解析】解：(1)AD=BE,理由如下：(2)∠ADB=45°,过程如下：.AC=BC,(3)√2CE+AD=2BE,理由如下：如图所示，将△ACE绕点E旋转90度得到△BCM,设CE=a,EF=b,∴CE垂直平分BD,.EF=EF,∴∠EBC+∠MBC=180°,即E、B、M三点共线，在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE=√EF²+DF²=√2EF=√2b,∴AE=BM=EM-BE=√2a-√2b,∴√2CE+AD=√2a+2√2b-√2a=2√2③EN.(3)如图3,若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN=135°,AB=√6,MB=√3,求DN.(2)MN²=DN²+BM²,证明见解析(3)DN=2√3.【分析】(1)如图1,作辅助线，构建全等三角形，根据HL证明Rt△AGN≌Rt△NKE(HL),从而可∴∠ANG+∠ENK=90°,∴∠MAN=∠HAN=45°,且AMFAH,AN=AN,,∠ABK=∠ADMF45°,.∠NBK=45°+45°=90°,.∴△AKN≌△AMN(SAS),【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识点，添加恰当辅助线是本题的关键.14.在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点(不与0点重合),将线段AP绕A点按逆时针旋转60°,P点的对应点为点Q,连接0Q,BQ图②图②(1)点B的坐标为(2)①如图①,当点P在x轴负半轴运动时，求证：∠ABQ=90°;轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立?请补全图②,并作出判断(不需要说明理由);(3)在点P运动的过程中，若△0BQ是直角三角形，直接写出点P的坐标.【答案】(1)(3,1)(2)①见解析；②补全图②见解析，成立【分析】(1)过点B作BC⊥x轴，由等边三角形的性质可知OB=OA=2,∠AOB=60°,从而可求出∠BOC=30°,再由含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出BC=1,OC=√3,从而得出(2)①由旋转的性质可知AP=AQ,∠PAQ=60°,根据等边三角形的性质可知AO=AB,∠OAB=60°,从而可求出∠PAQ=∠OAB=60,进而可求出∠PAO=∠QAB,即易证△PAO≥△QAB(SAS),得出∠AOP=∠ABQ=90°;②由题意画图即可，由①同理可证△PAO≥△QAB(SAS),即得出时，此时点P在x轴负半轴，结合含30度角的直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质即可求出答案.解：如图，过点B作BC⊥x轴，∵点A的坐标为(0,2),△ABO为等边三角形，∵△ABO为等边三角形，当点P在x轴负半轴运动时，当点P在x轴正半轴运动时，综上可知∠OBQ≠90°,故可分类讨论：①当∠QOB=90°时，如图，此时点P在x轴负半轴，【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识.利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键。15.(湖北·武汉二中广雅中学九年级阶段练习)在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°,D为平面内的一点.图1(1)如图1,当点D在边BC上时，BD=2,且AD=2,则AB=(2)如图2,当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC-∠ADB=45°,请你证明线段CD与AD的数量关(3))如图3,若AB=4√2,当D、E分别为AB、AC的中点，把△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α(0<α≤180°),直线BD与CE的交点为P,连接PA,直接写出△PAB面积的最大值【答案】(1)3+1:【分析】(1)将△ABD沿AB折叠，得到△ABE,连接DE交AB于F,由折叠的性质可知△ABD≌△ABE,AB垂直平分DE,进一步可证明△BDE是等腰直角三角形，求出,证明△ADE是等边三角形，进一步求出AF=√3,即可求出AB=AF+BF=√3+1;(2)过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接DE、CE,CE交BD于0,AC与BD交于点H,证明△BAD≌△CAE(SAS),得到∠ABD=∠ACE,再证明△ADE是等腰直角三角形，得到ED=√2AD,证明△DOC≌△DOE(ASA),得到CD=DE,即可证明CD=√2AD;(3)过点P作PG⊥AB于点G,当直线CE与该圆相切于点E时，△PAB的面积最大，求出PG的最大值即可求出答案.解：如图1,将△ABD沿AB折叠，得到△ABE,连接DE交AB于F,∵将△ABD沿AB折叠，得到△ABE,∴△ABD≌△ABE,AB垂直平分DE,.AE=AD=2,BE=BD,∠ABE=∠ABD=45°,∠BAD=∠BAE,∴AF=√AD²-DF²=√2²-1²=√3,图2.AE⊥AD,解：过点P作PG⊥AB于点G,如图3,图3∵△DAE绕A点顺时针旋转，设旋转角为α(0<α≤180°),..PD//AE,..DPLCP,∴△PAB面积的最大值【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，旋转的性质，折叠的性质，作出辅助线是解本题的关键。16.已知⊙0的直径AB为10,D为⊙0上一动点(不与A、B重合),连接AD、BD.(1)如图1,若AD=8,求BD的值；(2)如图2,弦DC平分∠ADB,过点A作AE⊥CD于点E,连接BE.①当△BDE为直角三角形时，求BE的值；:BD=√AB²-AD²=√10²-8²=6;故BD的值为6.当∠DBE=90°时，如图3,:BE=BD,,,::AD=√AE²+DE²=√2DE=2BE,AD²+BD²=AB²即(2BE)²+BE²=10²,解得BE=2√5(BE=-2√5舍去)②在点D的运动过程中，BE存在最小值，解答如下：:AC=√AO²+CO²=√5²+5²=5√2,∠OAC=45°,9∵BE≥BF-EF(当且仅当点E在线段BF上时等号成立),9即9:BE的最小值是【点睛】此题是一道圆的综合题，主要考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质、三角形中边的关系等知识，熟练利用这些性质进行逻辑推理和运用分类的思想方法是解此题的关键。17.(甘肃·西和县汉源镇初级中学九年级期末)如图，已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向，向点B运动.若P、Q两点同时出发，运动时间为t秒.(1)连结PD、PQ、DQ,设△PQD的面积为S,试求S与t之间的(2)当点P在BC上运动时，是否存在这样的t,使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角形?若存在，请求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；(3)以点P为圆心，作OP,使得OP与对角线BD相切.问：当点P沿B→C→D运动时，是否存在这样的t,使得OP恰好经过正方形ABCD的某一边的中点?若存在，请直接写出符合条件的t的值.【分析】(1)根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；(2)根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以PD为腰的等腰三角形即可说明.(3)分点P在BC上运动时经过BC的中点或经过CD的中点，点P在CD上运动时经过BC的中点或经过CD的中点几种情况求解，即可求出t的值.①当0≤t≤2时，即点P在BC上时，=t²—2t+8.②当2<t≤4时，即点P在CD上时，DP=8—2t.①若PD=QD,解得t=—4±4√2,其中t=—4—4√2<0不合题意，舍去，或t=—4+4√2时，△PQD是以PD为一腰的等腰三角形.若OP经过BC的中点E,设⊙P切BD于M.若OP经过CD的中点E,设圆的半径为r,则CP=4-2t,PM²=PE²=(4-2t)²+2².因为BP=√2PM,即BP²=2PM².解得t=4-√6,t=4+√6(舍去)若OP经过BC的中点E,设⊙P切BD于M.则CP=2t-4,PM²=PE²=(2t-4)²+2².解得t=±√6,负值舍去，若⊙P经过CD的中点E,设圆的半径为r,则DP=2-r,直径作圆，记作⊙D.(3)在抛物线对称轴上是否存在点P,若将线段CP绕点P顺时针旋转90°,使C点的对应点C恰好落在抛物线上?若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.的坐标为(3,1)或(3,3)(2)连接CM,CD,MD,利用勾股定理逆定理得出CM⊥CD,由切线的判定定理即可证明；据矩形的判定和性质及全等三角形的判定和性质得出C'(3+4-k,3+k),代入抛物线求解即可.解：∵抛物线∴抛物线的解析式为解得x₁=8,x₂=-2,连接CM、CD、MD,如图所示，由抛物线的解析式得、C(0,4),D(3,0),,CD²=(4-0)²+(0-3)²=25,假设存在点P,设点P(3,k),过点C作CG⊥对称轴MD,过点C作CH⊥对称轴MD,则PD=k,∴C'(CG+CH,HP+PD),即(3+4-k,3+k),解得k=1或k=3,∴P(3,1)或(3,3).19.(福建省福州第十九中学九年级阶段练习)如图，点P是等边三角形ABC中AC边上的动点点F.=60°,即可解答；BF=EF+EC,理由如下：在△JPC和△APB中，【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键。20.已知，在平面直角坐标系中，A点坐标为(0,点坐标为(2,0),以A点为圆心0A为半径作⊙A,将△AOB绕B点顺时针旋转α角(0°<a<360°)至△AOB处。(1)如图1,mF4,a=90°,求O′点的坐标及AB扫过的面积；(2)如图2,当旋转到A、O、A三点在同一直线上时，求证：OB是⊙0的切线；(3)如图3,m=2,在旋转过程中，当直线BO与⊙A相交时，直接写出α的范围。【答案】(1)O′(2,2),AB扫过的面积为5π(2)见解析【分析】(1)先判断出旋转后OBLx轴，从而得出点0的坐标，进而判断出是AB扫过的面积是(2)先判断出△AO'B≌△A'O'B.即可得出AO'=A'O',进而得出AO'=OA即可得出结论；(3)找出BO'与OA相切时旋转角的度数即可确定出范围.由旋转知，O'B=OB=2,B(0,2),21.已知：△ABC,点D是△ABC的外接圆上一点(不与A,B,C重合),过A作射线AE,AF,且图4(1)当∠A=90°时，在图1中补全图形并直接写出∠MAN的度数；(2)在图2中，当D在△ABC的外接圆上移动过程中，探索∠BAC和∠MAN的关系并直接写出你的探(3)图3中请你探索AP与BC的数量关系，并证明你的结论；(4)小逸同学在探索题目过程中，不小心把一些画图痕迹给破坏掉了，只留下如图4所示的四边形BC两侧，你能帮他找出点A的位置并求出AP的长度吗?【答案】(1)图见解析，∠MAN=90°(3)证明见解析【分析】(1)根据已知补全图形即可，根据平行线性质和同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得∠CAF=∠BAE,从而可得∠MAN=90°;(2)分两种情况：当D在弦BC上方的圆上时，画出图形可得∠MAN=∠BAC;当D在弦BC下方的圆上时，可得∠MAN+∠BAC=180°;(3)延长MA到K,使AK=AM,连接NK,AP,由三角形中位线定理可得,证明△BAC≌△(4)根据AM=AB,AN=AC可知BM的垂直平分线、CN的垂直平分线的交点即为A,过N作NR⊥BM由含30°的直角三角形三边关系可求出CT=SR=7√3,BT=BR-RT=9-6=3,从而可得BC=√BT²+CT²=2√39,即可得AP=√39..AF//CD,BD//AE,AF//CD,BD//AE,当D在弦BC下方的圆上时，如图：.AF//CD,.AC=AN,NR=¹MN=√3,RM=√3RM=3,∠MNR=90°-∠MMR=60°,,MS=√3CS=6√3,.BT