专题2.12第24章圆单元测试（培优强化卷）（解析版）

注意事项：本试卷满分120分，试题共26题，其中选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，则此点可能在()【答案】【答案】B【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案.【详解】解：∵⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为5，5>3，故选：B【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内是解题的关键.22021·河北唐山·九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是()A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】【答案】B【分析】根据正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，由已知边长与半径相等，可知一边所对的圆心角为60°,即得答案.【详解】解：如图所示的正多边形中，∵AB=OA=OB，∴ΔABO为等边三角形，∴∠AOB=60°,∴这个正多边形的中心角为60°.故选B.【点睛】此题主要考查正多边形的中心角概念，正确理解题意与中心角概念相结合是解此题的关键.32021·河北唐山·九年级期中）如图，A、B、C是⊙O上的点，若∠ACB=20°,则∠AOB的度数为()A．40°B．50°C．60°【答案】【答案】A【分析】根据圆周角定理即可求解.【详解】根据题意可知∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°.故选A.【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握圆周角定理“同弧（或等弧）所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”是解题关键.42022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD＝6，则直径AB的长为()【答案】【答案】C【分析】根据垂径定理可知AB垂直平分CD，连接OC，根据勾股定理即可求出半径OC，最后求出直径即可.【详解】解：如图，连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，设⊙O的半径为r，∴OP=r，在RtΔOPC种，由勾股定理可得：OP2+PC2=OC2，即：()2+32=r2，解得：r=23或：r=−23（舍【点睛】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握“垂直于弦的直径平分弦”并构建直角三角形求解是解题的关键.52022·浙江金华·一模）已知一个底面半径为3cm的圆锥，它的母线长是5cm，则这个圆锥的侧面积是A．15πB．45πC．30πD．20π【答案】【答案】A【分析】根据圆锥侧面积的公式：底面周长×母线长÷2，进行计算即可得.【详解】解：圆锥的侧面积：2π×3×5÷2=15π（cm2故选：A.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题的关键是掌握圆锥侧面积的公式.62022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）在ΔABC中，AB=AC，BC=6，已知⊙O是ΔABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB的长为()【答案】【答案】C【分析】根据题意，画出图形，连接OB，根据垂径定理，构建直角三角形进行求解.【详解】解：如图1：当∠BAC为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD=BC=3，∴OB=OA=5，∴AD=OA+OD=4+5=9，∴AB=BD2−DD2=32+92=310，如图2：当∠BAC为钝角时，过点A作AD⊥BC于点D，连接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴OB=OA=5，∴AD=OA-OD=5-4=1，故选：C.【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，垂径定理以及勾股定理，熟练掌握相关内容，根据题意构建直角三角形是解题的关键.72021·福建·格致中学鼓山校区九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是()【答案】B【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN．利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题.【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN.∵AN＝NC，∵AN＝NC，DM＝MC，∴BM≤1+，∴∴BM的最大值为7.2故选：B.【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.82022·福建省福州第八中学九年级阶段练习）在直角坐标系中，点P的坐标是(2，3)，圆P的半径为2，下列说法正确的是()A．圆P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点B．圆P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点C．圆P与x轴、y轴都有两个公共点D．圆P与x轴、y轴都没有公共点【答案】【答案】B【分析】点P到x轴的距离是3，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可.【详解】解：∵P（2，3圆P的半径为2，2=2，3＜∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个.故选：B.【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系，一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点.92022·江西省石城二中八年级阶段练习）如图，已知⊙O上的两条弦AC和BC互相垂直于点C，点D在弦BC上，点E在弦AC上，且BD=AE，连接AD和BE，点P为BE中点，点Q为AD中点，射线QP与线段BC交于点N，【答案】D【分析】连接AB，OP，OQ，由题意并结合中位线定理可知PO=QO，且PO⊥QO，进而可知△OPQ为等再在Rt△DMQ中由勾股定理计算DQ的长即可.∵P为BE的中点，Q为AD的中点，∴在Rt△MNQ中，由勾股定理可知MQ2+MN2=NQ2，即2MQ2=(26)2，解得MQ=23，在Rt△DMQ中，∠MDQ=60°,1∴DM12由勾股定理可知DM2+MQ2=DQ2，即(DQ)2+(23)2=DQ2，整理，得DQ2=16，故选：D.【点睛】本题主要考查了圆周角定理、中位线定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，能够构造适合的辅助线是解决此题的关键.102022·浙江·宁波市鄞州区中河街道宋诏桥初级中学九年级期末）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN＝()A．BM+DNB．AM+CNC．BM+CND．AM+DN【答案】D【分析】在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF，由A，B，C，D四点共圆，得出∠ADC+∠B＝180°,由MN∥BC，得出∠AMN+∠ADN＝180°,可得到A，D，N，M四点共圆，可得∠MND+∠MAD＝180°再由AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，A，F，E，D四点共圆，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND=∠EDN=∠ADE=∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND.【详解】解：如图，在NM上截取NF＝ND，连接DF，AF:上NFD＝上NDF，“A，B，C，D四点共圆，:上ADC+上B＝180°,“MNⅡBC，:上AMN＝上B，:上AMN+上ADN＝180°,:A，D，N，M四点共圆，:上MND+上MAD＝180°,“AE，DE分别平分上BAD，上CDA，:上END+2上DFN＝上END+2上DAE＝180°,:上DFN＝上DAE，:A，F，E，D四点共圆，:上DEN＝上DAF，上AFM＝上ADE，“上MND+上MAD＝180°,:上MAF+上DAF+上MND＝180°:上MAF＝180°-上DAF-上MND=180°-上DEN-上MND=上EDN＝上ADE=上AFM，:MA＝MF，:MN＝MF+NF＝MA+ND.故选：D.【点睛】本题主要考查了四点共圆，解题的关键是正确作出辅助线，利用四点共圆求解.二、填空题112022·浙江绍兴·一模）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径．如图，用角尺的较短边紧靠⊙O于点A，并使较长边与⊙O相切于点C．记角尺的直角顶点为B，量得AB=8cm，BC=16cm，则⊙O的半径等于cm.【答案】20【分析】设圆的半径为rcm，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=(r−8)2+162，求出r即可.【详解】解：设圆的半径为rcm，如图，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D，∵∠ADC=∠DCB=∠B=90°,∴四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，∴OD=（r-8）cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2即r2=(r−8)2+162，解得：r=20，故答案为：20.【点睛】本题考查的是切线的性质，根据切线的性质，利用图形得到直角三角形，然后用勾股定理计算求出圆的半径.122022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校九年级）如图，半径为3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC=90°,设AB=a，CD=b，则a2+b2=.【答案】36【分析】过点O作OM丄AB于点M，交CD于点N，证明△AMO纟△ONC，可得OM=CN=b，再由OA2=AM2+OM2，即可求解.【详解】解：如图，过点O作OM丄AB于点M，交CD于点N，“AB∥CD，OM丄AB，:ON丄CD，:上CON+上OCN=90°,:AM=AB=a，CN=CD=b，“上AOC=上AMO=上CNO=90°,:上AOM+上CON=90°,:上AOM=上OCN，在△AMO和△ONC中，“上AMO=上ONC，上AOM=上OCN，AO=CO，:△AMO纟△ONC（AAS:OM=CN=b，“OA2=AM2+OM2，:32=a2+b)2，:a2+b2=36.故答案为：36【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.132022·广西·南宁市三美学校九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD；弧A1B1的 弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是（结果保留π).【答案】2022π【分析】根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长，又因为AA1的半径为，可知任何一段弧的弧长都是的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得弧CnDn的半径为×4×n，再根据弧长公式进行计算即可得出答案.【详解】解：根据题意可得，A1的半径BB1=AB+AA1×2；以此类推可知，弧以此类推可知，弧CnDn的半径为×4×故答案为：2022π.【点睛】本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键.142022·湖南·长沙市北雅中学九年级阶段练习）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC=CD=BD，AB=8，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是.【答案】8根据圆周角定理推出C'D为直径即可.【详解】解：如图作点C关于AB对称点C'，连接C'D，则C'D即为CM+DM的最小值，的度数为：180°==，且它们的度数为：60°一'D为直径，'D=AB=8，故答案为：8.【点睛】本题考查等弦等弧等角，圆周角定理以及将军饮马问题．熟练掌握等弦等弧等角，圆周角定理是解题的关键．遇到将军饮马问题，关键是作定点的对称点，与另一个定点所连线段即为最短.152021·浙江·温州市实验中学九年级期中）如图1，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的轴对称图形，叫做两心尖拱．如图2，已知P，Q分别是和所在圆的圆心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，则拱高CD的长为m.【答案】15【分析】如图，连接CQ，然后求出PD、PC的长，最后利用勾股定理求解即可.【详解】解：如图，连接CQ.由题意CQ＝CP，CD⊥PQ，∴AQ＝PBAB﹣PQ2（m故答案为：15.【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理等知识点，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解答本题的关键.162020·江苏·淮安市淮阴区开明中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，以点A为圆心2为半径作⊙A．点D为⊙A上的任一点，点B和点C均在x轴上，且满足OB＝OC，∠BDC=90°,则线段BC的最小值为.【答案】6【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BC=2OD，所以当OD最小时，BC最小．当A,D,O三点共线时，可以确定OD的最小值，从而得解.【详解】解：如图，连接OD、AD、OA，∵点A的坐标为(3,4)，∴BC=2OD.∵当A、D、O三点共线时，OD最小，∴BC的最小值为2×3=6.故答案为6.【点睛】【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BC取最小值时点D的位置.172022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，使点O′落在⊙O上，边A'B交线段AO于点C．若∠A'=25°,则∠OCB=度.【答案】85【分析】如图，连接OO'，根据切线的性质得到∠OBA=90°,再根据旋转的性质可判断△OO'B为等边三角形，从而得到∠OBO'=60°,所以∠ABA'=60°,然后利用三角形外角性质计算∠OCB.【详解】解：如图，连接OO'，∴OB⊥AB，∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B，∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO'，BO=BO'，∴△OO'B为等边三角形，∴∠OBO'=60°,∴∠ABA'=60°,故答案为：85.【点睛】本题考查了切线的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质，以及三角形的外角定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.182020·浙江·义乌市宾王中学九年级期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝35cm，（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B´时，A'B'⊥OB'，则AA'＝_____cm.（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm.【答案】302037−35##−35+2037【分析】（1）根据A'A＝OA−OA'＝AB+OB−OA'，即可求解；（2）当B、O、P三点共线时，OP的距离最短，即可求解.【详解】解1）∵A'B'⊥OB'，∴A'A＝OA−OA'＝AB+OB−OA'=155﹣352+1202=155﹣125，=30，故答案为：30；（2）当B、O、P三点共线时，OP的距离最短，故答案为−35.【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形上各个点的位置关系.三、解答题192022·江苏·灌南县扬州路实验学校九年级阶段练习）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=8m，EM=8m，求⊙O的半径.【答案】⊙O的半径为5m.【分析】根据垂径定理得EM⊥CD，求出CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2=CM2+OM2，进而可求得半径OC.【详解】解：连接OC，如图所示：∵M是⊙O弦CD的中点，CD=8m，∴EM⊥CD，CM=DM=CD=4m，设⊙O的半径为xm，在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2=CM2+OM2，即x2=42+(8−x)2，解得：x=5，即⊙O的半径为5m.【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.202022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若∠BAD=120°,求证：AC=AB+AD.【答案】证明见解析【分析】延长AD至E，使得DE=AB，先证明BC=CD，再证明△ABC≅△EDC，进而得△ACE为等边三角形，从而可得AC=AE，由此即可得证.【详解】证明：如图，延长AD至E，使得DE=AB，∵AC平分∠BAD，∠BAD=120°,∴∠CAB=∠CAD=60°,∴BC=CD，∴∠BCD=180°−∠BAD=60°,∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠CBA，∴△ABC≅△EDCSAS，∴∠ACB=∠ECD,AC=CE，∴∠ACE=∠ECD+∠ACD=∠ACB+∠ACD=∠BCD=60°,∴△ACE是等边三角形，∴AC=AE=AD+DE，∴AC=AB+AD.【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和等边三角形是解题关键.212022·福建·福州华伦中学九年级阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE=∠ACG.(1)求证：∠CAG=∠ABE；(2)求证：CG＝CD；5【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由BC为直径得∠CAG+∠BAG＝90°,根据5【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）由BC为直径得∠CAG+∠BAG＝90°,根据AD⊥BE得∠ABE+∠BAG＝90°,即可证得∠CAG=∠ABE；（2）根据同弧所对的圆周角相等可得∠D=∠ABC=∠ABE+∠CBE，根据三角形外角性质得∠CGD=∠CAG+∠ACG，即可证得∠D=∠CGD，进而得到CG＝CD；（3）连接AE，CE，由∠CEB=∠BGD＝90°得到AG∥CE，根据＝推出∠EAC=∠CBE=∠ACG，可得AE∥CG，推出四边形AECG是平行四边形，得到AF＝CF，在Rt△BAC中，勾股定理求出AC得到AF，在Rt△BAF中，勾股定理求出BF，根据等面积可知AG，再利用勾股定理求出GF.证明：∵BC为直径，∴∠CAG+∠BAG＝90°,又∵AD⊥BE，∴∠ABE+∠BAG＝90°,:上:上CAG＝上ABE；证明：“:上D＝上ABC＝上ABE＋上CBE，又“上CGD＝上CAG＋上ACG，上CAG＝上ABE，上CBE＝上ACG，:上D＝上CGD，:CG＝CD；连接AE，CE，“BC为直径，:上CEB＝90°.:上CEB＝上BGD.:AG∥CE.又“:上EAC＝上CBE.又“上CBE＝上ACG，:上EAC＝上ACG.:AE∥CG.:四边形AECG是平行四边形，:AF＝CF.“在Rt△BAC中，AC2=BC2−AB2，:AC＝6.:AF＝3.:在Rt△BAF中，BF2=AB2+AF2:BF＝5.:根据等面积可知:在Rt△AGF中，GF2=AF2−AG2=81.:GF=.【点睛】此题考查了圆周角定理，余角的性质，勾股定理，三角形外角性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各性质定理和判定是解题的关键.222021·福建省永春崇贤中学九年级阶段练习）如图，已知△ABC为等腰三角形，AD⊥BC；(1)尺规作图：作△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法(2)若底边BC=6，腰AB=5，求△ABC外接圆⊙O的半径.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，已知AD是BC边上的垂直平分线，再作△ABC的另一边的垂直平分线，它于AD的交点即为△ABC的外接圆的圆心（设圆心为O以O为圆心、OB长为半径作圆，即可得出△ABC的外接圆；（2）连接OB，然后根据等腰三角形的性质求得BD，然后勾股定理求得AD,最后利用勾股定理构建方程求解即可.解：如图所示：如图⊙O是所求作的ΔABC的外接圆.解：如图：∵ΔABC是等腰三角形，底边BC=6，腰AB=5，∴OA⊥BC，BD=CD=BC=3∴在RtΔABD中，AD=在RtΔBOD中，r2=32+(r−4)2.【点睛】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键.232021·广东·广州市第二中学南沙天元学校九年级阶段练习）在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，(1)画出△ABC的外接圆⊙P，则点P的坐标为，点D与⊙P的位置关系为，点E与⊙P的位置关系为；(2)若在x轴上有一点F，且∠AFB=∠ACB，请直接写出点F的坐标为.【答案】【答案】(1)(﹣1，0点D在⊙P上，点E在⊙P外【分析】（1）在直角坐标系内描出各点，画出△ABC的外接圆，并指出点D、点E与⊙P的位置关系即可；（2）根据直径对的圆周角是90°进行解答即可.解：如图所示：△ABC外接圆的圆心为(﹣1，0点D在⊙P上，点E在⊙P外；故答案为：(﹣1，0点D在⊙P上，点E在⊙P外；∵AC=4,BC=2,AB2=42+22=AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°,AB=25，∴AB是⊙P的直径，半径为，∵∠AFB=∠ACB，且F在X轴上，P(−1,0)，【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.242022·湖南·长沙市中雅培粹学校九年级阶段练习）如图，以线段AB为直径作⊙O，交射线AC于点C，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作直线DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M.(1)求证：直线DE是⊙O的切线；(2)求证：AB=AM；(3)若ME=1，∠F=30°,求BF的长.【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2【分析】（1）连接OD，由∠ODA=∠OAD=∠DAC证明OD∥AC，得∠ODF=∠AED=90°,即可证明直线DE是⊙O的切线；（2）由线段AB是⊙O的直径证明∠ADB=90°,再根据等角的余角相等证明∠M=∠ABM，则AB=AM；所以BD=MD=2ME=2，再证明∠BDF=∠F，得BF=BD=2.证明：连接OD，则OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，::直线DE是OO