专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）（解析版）

一．解答题（共30小题）1黔东南州期中）解方程1）x2﹣x﹣3＝0；（2）4（x+1）2＝2x+2.【分析】（1）先计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（2）先移项得到4（x+1）2﹣2（x+10，再利用因式分解法把方程转化为2（x+10或2x+2﹣1=0，然后解一次方程即可.【解答】解1）x2﹣x﹣3＝0，a＝1，b=﹣1，c=﹣3，）＝x==,所以x1x2=;（2）4（x+1）2＝2x+2，4（x+1）2﹣2（x+1）＝0，2（x+12x+2﹣10，2（x+1）＝0或2x+2﹣1＝0，所以x1=﹣1，x2=﹣.2沙洋县期中）已知关于x的方程x2k+2）x+2k＝0.（1）请你判断方程的解的情况；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长.【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ=（k﹣2）2，根据根的判别式的意义，当k≠2时，方程有两个不相等实数解；当k＝2时，方程有两个相等实数解；（2）先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝k，讨论：当k＝2时，即b＝c＝2，从而得到△ABC的周长；当k＝1时，即b＝a＝1或c＝a＝1，1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去.【解答】解1）∵Δ=[k+2）]2﹣4×2k=（k﹣2）2，∴当k≠2时，Δ>0，方程有两个不相等实数解；当k＝2时，Δ=0，方程有两个相等实数解；（2）x2k+2）x+2k＝0，（x﹣2x﹣k0，x﹣2＝0或x﹣k＝0，当k＝2时，即b＝c＝2，此时△ABC的周长为2+2+1＝5；当k＝1时，即b＝a＝1或c＝a＝1，1+1＝2，不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，△ABC的周长为5.3五华县期中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0.（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22＝9，求实数m的值.【分析】（1）根据方程有实根可得△≥0，代入数据求解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣2m+1x1•x2＝m2﹣1，再由完全平方公式可得x12+x22x1+x2）2﹣2x1x2，代入x1+x2=﹣2m+1x1•x2＝m2﹣1可计算出m的值.【解答】解1）∵方程有实数根，解得：m≤（2）∵方程两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣2m+1，x1•x2＝m2﹣1，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，）＝解得：m＝3（舍去）或m=﹣1，4青浦区校级期中）如图，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形仓库ABCD，中间用篱笆分割出两个小长方形，在与墙平行的一边要开两扇1米宽的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形ABCD的面积为96平方米，求AB和BC的长.【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36﹣3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可.【解答】解：设AB为x米，则BC为（36﹣3x）米，x（36﹣3x）＝96，36﹣3x＝24＞22（不合题意，舍去答：AB的长为8米，BC的长为12米.5长垣市期中）已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A.（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”，试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标.【分析】（1）a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（11（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t则t＝t2﹣4t，即可求解.【解答】解1）y＝x2﹣2xx﹣1）2﹣1，∴故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（11当x＞1，y随x的增大而增大，当x＜1，y随x增大而减小；（2）设抛物线“不动点”坐标为（t，t则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）.6黔东南州期中）某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价正元，商场每天获利y元.（1）若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？（2）写出y与x的函数关系式；并求出销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据降价后的单件利润乘以销售量等于总利润列方程即可求解；（2）根据（1）的关系式利用二次函数的性质即可求解.【解答】解1）根据题意，得，（100﹣80﹣x100+10x2160，整理，得x2﹣10x+16＝0，答：每件商品应降价2元或8元.（2）y100﹣80﹣x100+10x）=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250，当x＝5时，y有最大值为2250.答：y与x之间的函数关系式为y=﹣10x2+100x+2000.当x取5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元.7上城区校级期中）在平面直角坐标系中，设二次函数y1x﹣mx﹣nm，n为实数）.（1）当m＝1，若图象经过点（2，6求该函数的表达式；①当x≤2时，y1随着x增大而减小，求m的取值范围；②设一次函数y2＝x﹣m，当函数y＝y1+y2的图象经过点（a，0）时，求a﹣m的值.【分析】（1）将m＝1代入解析式，再通过待定系数法求解.（2）①由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标，从而可得抛物线对称轴，根据抛物线开口向上求解.②用含m代数式表示函数y，从而可得抛物线与x轴交点，由抛物线经过（a，0）可得a与m的数量关系.【解答】解1）m＝1时，y1x﹣1x﹣n将（2，6）代入y1x﹣1x﹣n）得6＝2﹣n，解得n=﹣4，∴y1x﹣1x+4x2+3x﹣4.（2）①n＝m﹣1，y1x﹣mx﹣m+1∴抛物线与x轴交点坐标为（m，0m﹣1，0抛物线对称轴为直线x=,∵x≤2时，y1随着x增大而减小，②y＝y1+y2x﹣mx﹣m+1）+x﹣mx﹣mx﹣m+1+1x﹣mx﹣m+2∴函数yx﹣mx﹣m+2）图象经过（m，0m﹣2，0∵函数图象经过（a，0∴a﹣m＝0或a﹣m=﹣2.8衢州期中）如图为衢州西安门大桥，它是老城与新城的主要通道，它见证了衢城半个名世纪的历史变迁，已知桥拱为抛物线型，AD，BE是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在DE处，桥最高点C离水面6m，在水面以上的桥墩AD为2m．以AB所在的直线为x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，试回答下列问题：（1）求此桥拱线所在抛物线的表达式.（2）当水位上涨2m时，若有一艘在水面以上部分高3m，宽4√5m的船，请问此船能否通过桥洞呢？请说明理由.（3）当桥的最高点C离水面不小于2m时，都是安全的水位，水位警报器不会发出警报．当水面的宽度为多少时，警报器恰好发出警报？【分析】（1）根据题意用待定系数法求函数解析式；（2）当水位上涨2m时，水面为AB，把x＝2√5代入解析式求出y与3比较即可；（3）把y＝2代入解析式，解方程求出x的值即可.【解答】解1）由题意得：AB＝20，即A(﹣10，0B（10，0C（0，4设抛物线解析式为y＝ax2+4，把A(﹣10，0）代入解析式得，100a+4＝0，解得a=﹣,∴此桥拱线所在抛物线的表达式为y=﹣x2+4；（2）船能通过桥洞，理由：当水位上涨2m时，水面为AB，当x＝2时，y=﹣×20+43，∴船能通过桥洞；（3）当y＝2时，﹣x2+4＝2，解得x=±5，此时水面宽为10√5米，答：当水面的宽度为10米时，警报器恰好发出警报.9沙洋县期中）如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P（m，0）是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）若点P在线段OB上，求线段MQ的最大值；（3）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）利用抛物线解析式即可求得A、B、C的坐标；（2）先求出直线BD解析式为y＝x﹣2，根据P（m，0可得M（m，m﹣2Q（mm2+m+2进而可利用二次函数的性质求得MQ最大值；（3）由题意可知有BQ⊥BD或DQ⊥BD，当BQ⊥BD时可设出Q点的坐标，从而可表示出BP和QP的长，利用△OBD∽△PQB，可得到关于Q点坐标的方程，从而可求得Q点的坐标；当DQ⊥BD时，由条件可知A点满足条件，由A、D坐标可求得直线AD解析式，联立直线AD和抛物线解析式，则可求得满足条件的Q点的坐标.【解答】解1）在抛物线y=﹣x2+x+2中，令y＝0，可得﹣x2+x+2＝0，解得x=﹣1或x＝4，令x＝0，可得y＝2，设直线BD解析式为y＝kx﹣2，把点B（4，0）代入可得4k﹣2＝0，解得k=,:直线BD解析式为y＝x-2，“P（m，0:M（m，m-2Q（m，-m2+m+2“P在线段OB上，:M在x轴下方，）＝“-＜0，:当m＝1时，MQ有最大值，最大值为；（3）当△BDQ是以BD为直角边的直角三角形时，只有QB丄BD或DQ丄BD，当MB丄BD时，如图，“P（m，0则Q（m，-m2+m+2且B（4，0D（0，-2:BP＝|4-m|，PQ＝|-m2+m+2|，OB＝4，OD＝2，“上QBD＝90。，上QPB＝上BOD＝90。，:上OBD+上PBQ＝上ODB+上OBD＝90。，:上ODB＝上PBQ，:△OBD…△PQB，:=,:=,整理得m2﹣7m+12＝0或m2+m﹣20＝0，解得m1＝3，m2＝4（舍去）或m1=﹣5，m2＝4（舍去∴Q点坐标为（3，2）或(﹣518不符合题意舍去当QD⊥BD时，如图，∴=∴△AOD∽△DOB，∴∠ADO=∠DBO，∴∠ADB=∠ADO+∠BDO=∠DBO+∠BDO＝90°,∴AD⊥BD，∴A点即为满足条件的Q点，此时Q坐标为(﹣1，0∴可设直线AD解析式为y＝kx﹣2，把A点坐标代入可得，0=﹣k﹣2，解得k=﹣2，∴直线AD解析式为y=﹣2x﹣2，联立直线AD和抛物线解析式可得，,解得或∴直线AD上的另一Q点坐标为（818综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（3，2）或(﹣1，0）或（8，﹣18）.10东台市期中）为落实“双减”，王老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点11且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，王老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．小博士组织数学兴趣小组的同学探究这个方法，发现很多同学束手无策，王老师进行了如下提示，请你在下面横线上填上答案，并补全探究过程【观察发现】写出一个满足条件的函数表达式yx2画出大致图象【思考交流】【概括表达】设过点11）的抛物线解析式为y＝a（x+1）2+m（x+11，∴y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1＝ax2+（2a+m）x+a+m﹣1根据题意，抛物线y＝ax2+bx+c不经过第一象限（补全以下探究过程【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可；【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可；【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，抛物线的图象一定在x轴的下方；【概括表达】由题意可知a﹣b+c=﹣1且a＜0，①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或x轴下方，b2≤4ac，结合函数不经过第一象限，可得c＜0，由2ac≤a2+c2，可得b2≤（b﹣1）2，解得b≤;②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保与y轴交点在x轴上或x轴下方，此时解得b≤【解答】解：y=﹣x2（答案不唯一【观察发现】如图：【思考交流】我不认同他们的说法，理由如下：∵抛物线的对称轴为x=﹣,a＜0，∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧，也可以在y轴的右侧，或者是y轴，例如：y=﹣x2；∴小亮的说法不正确；∵抛物线y=﹣x2经过x轴，∴小莹的说法不正确；【概括表达】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∴a﹣b+c=﹣1且a＜0，①当对称轴在y轴右侧时，即b＞0，此时顶点在x轴上或x轴下方，∴Δ=b2﹣4ac≤0，即b2≤4ac，∵函数不经过第一象限，∵2ac≤a2+c2，∴4ac≤（a+c）2b﹣1）2，解得b≤;②当对称轴在y轴左侧或y轴上时，b≤0，只需保证与y轴交点在x轴上或x轴下方，综上所述：当b＞0时，a＜0，b≤;当b≤0时，c＜0；且a﹣b+c=﹣1.11玄武区校级期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°,且BP＝BQ，连接CQ.（1）求证：AP＝CQ；【分析】（1）根据等边三角形的性质可得出∠ABC＝60°,AB＝∠CBQ＝60°可得出∠ABP=∠CBQ，结合AB＝CB，BP＝BQ可证出△ABP≌△CBQ（SAS根据全等三角形的性质可得出AP＝CQ；（2）连接PQ，根据全等三角形的性质可得出∠BQC＝150°,由BP＝BQ，∠PBQ＝60°可得出△PBQ为等边三角形，利用等边三角形的性质可得出PQ＝PB＝4，∠BQP＝60°,进而可得出∠PQC＝90°,再在Rt△PQC中，利用勾股定理可求出PC的长.【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，又∵∠PBQ=∠PBC+∠CBQ＝60°,∴∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ中，,∴△ABP≌△CBQ（SAS（2）解：连接PQ，如图所示.∵△ABP≌△CBQ，∴△PBQ为等边三角形，12庐江县期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与点A．C重合连接BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连接QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F.（1）连接CQ，求证：AP＝CQ；（2）若正方形的边长为4，且PC＝3AP，求线段AP的长.【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，可得AB＝BC，上ABC＝90。．由图形旋转，可得BP＝BQ，上PBQ＝90。．从而，可证△APB纟△CQB，故AP＝CQ.（2）如图．由四边形ABCD是正方形，上PAM＝45。，故△PAM是等腰直角三角形且AM＝PM．由勾股定理，可得AC＝4，故AP=.【解答】解：如图，过点P作PM丄AB于M，（1）由题意得：PB＝QB，上PBQ＝上2+上3＝90。，“四边形ABCD是正方形，:AB＝CB，上ABC＝上1+上2＝90。，:上1＝上3，在△APB和△CQB中，:△ABP纟△CBQ（SAS:AP＝CQ；在Rt△ABC中，上ABC＝90。，:AC4，又“PC＝3AP，:AC＝AP+PC＝AP+3AP＝4AP＝4:AP=,故线段AP的长为.13诏安县期中）在一个不透明的口袋里装有三个分别标有1、2、3的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机取出一个小球，记下数字为x后不放回；小红再从中随机取出一个小球，记下数字为y，记Q（x，y）.（1）画树状图或列表，写出Q点所有坐标.（2）计算由x、y确定的点Q（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率.【分析】（1）画树状图，即可得出结论；（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点Q（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可.【解答】解1）画树状图如下：（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，其中点Q（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的结果有2种，∴点Q（x，y）在函数y=﹣x+4图象上的概率为=.14碑林区校级期中）疫情防控期间，学校组织师生进行全员核酸检测．学校共设置了A，B，C三个检测通道，所有师生可随机选择其中的一条通道检测，某天早晨，甲，乙两名同学进行核酸检测.求1）甲同学在A通道进行检测的概率是；（2）请用“画树状图”或“列表”的方法，求甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率.【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的结果有6种，再由概率公式求解即可.【解答】解1）甲同学在A通道进行检测的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的结果有6种，∴甲，乙两位同学分别从不同的通道检测的概率为=15福清市期中）如图，AB为。O的直径，点C在。O上，连接AC，BC，过点O作OD⊥BC于点D，在OD的延长线上取点E，连接CE，且∠E=∠B.（1）求证：CE是。O的切线；（2）若。O的半径长为2√5，CE＝4√5，求BC的长.【分析】（1）连接OC，可得∠OCB=∠B=∠E，由OD⊥BC可得，∠E+∠ECD＝90°,进一步得到∠（2）在Rt△ECO中利用勾股定理求出求出OE的长，再利用△OCD∽△OEC的对应边成比例求出OD的长，然后在Rt△OCD中利用勾股定理求出CD的长，从而求出BC的长.【解答】（1）证明：连接OC，如图所示，∵∠E=∠B，∵OD⊥BC，∴OC⊥EC，∴CE是。O的切线.（2）在Rt△ECO中，∴△ECO∽△CDO，在Rt△OCD中，∵OD⊥BC，16福清市期中）如图1，在。O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F.（1）求证：CE＝AD；（2）如图2，点G在CD上，且∠CAG=∠ABE.①求证：AG＝BC；②若FG＝2，BE＝4，求OG的长.【分析】（1）先根据垂径定理得到=,再根据圆心角、弧、弦的关系由∠AOD=∠BOC得到=（2）①连接AE、CE，如图，根据圆周角定理得到∠ACE=∠ABE，∠AEB＝90°,再证明CE∥AG，AE∥CD，则可判断四边形AECG为平行四边形，所以AG＝CE，然后利用BC＝CE得到AG＝BC；②设OG＝x，则OF＝x+2，则利用OF为△ABE的中位线得到AE＝2x+4，再根据平行四边形的性质得到CG＝AE＝2x+4，所以OC＝3x+4，则在Rt△OBF中利用勾股定理得到（x+2）2+（2）23x+4）2，然后解方程即可.∴=配，∴=配，（2）①证明：连接AE、CE，如图，∵∠ACE=∠ABE，∠CAG=∠ABE，∴∠CAG=∠ACE，∴CE∥AG，∵AB为直径，∵CD⊥BE，∴AE∥CD，∵AE∥OC，CE∥AG，∴四边形AECG为平行四边形，②解：设OG＝x，则OF＝x+2，∴OF为△ABE的中位线，∴AE＝2OF＝2x+4，∵四边形AECG为平行四边形，∴OC＝OG+CG＝3x+4，在Rt△OBF中，∵OB＝OC＝3x+4，OF＝x+2，BF＝BE＝2，∴（x+2）2+（2）23x+4）2，整理得2x2+5x﹣7＝0，解得x1＝1，x2=舍去17淳安县期中）如图，。O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交BC于点F，交。O于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接BD.（1）求证：∠BED=∠EBD；（2）若点A是弧DAC的中点，求证DE＝CF.【分析】（1）由角平分线定义可得：∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，由圆周角定理可得出∠CAD=∠CBD，再利用三角形外角性质即可证得结论；（2）由点A是的中点，可得AC＝AD，由角平分线定义和圆周角定理可得出：∠CAF=∠DAB，∠ACF=∠ADB，即可证得△ACF≌△ADB（ASA进而证得结论.【解答】证明1）∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，∵市=,∴∠CAD=∠CBD，∵∠BED=∠BAD+∠ABE，∠EBD=∠CBD+∠CBE，∴∠BED=∠EBD；（2）∵点A是的中点，∴=,∵AD平分∠BAC，∴∠CAF=∠DAB，∵=,∴∠ACF=∠ADB，∴△ACF≌△ADB（ASA∴CF＝BD，由（1）知：∠BED=∠EBD，∴DE＝CF.18西湖区校级期中）如图①,已知。O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设。O的半径为r.（1）求证：DM＝BM；【分析】（1）如图①,连接BD，根据已知条件得到配根据等腰三角形的性质即可得到结论；（2）根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论；（3）连接AC，BD，根据圆心角、弧、弦的性质得到求得AC＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ADC=∠BAD，根据勾股定理得到AM＝DMv3a，求得AD==√Ga，根据直角三角形的性质即可得到结论.∴=市，∴BM＝DM；∴的长==;（3）证明：连接AC，BD，∴=市，∴﹣配=﹣,∴AM＝DM，∴AD==√Ga，∵AM＝DM，AO＝DO，∴MO垂直平分AD，∴=.19海陵区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,分别以AB，BC，CA为直径作半圆围成两月牙形，过点C作DF∥AB分别交三个半圆于点D，E，F.（1）连结AF、BD，求证四边形AFDB为矩形.（2）若CF=√5，CD求阴影部分的面积.【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明即可.（2）阴影部分面积可以看成是以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上一个直角三角形ABC的面积减去一个以AB为直径的半圆的面积.【解答】（1）证明：连接AF、BE，“AC是直径，“BC是直径，“DFⅡAB，:上ABD+上D＝180。，:四边形ABDF是矩形；（2）解：“四边形ABDF是矩形，:AF＝BD，“AB是直径，:上ACB＝90。，“上F＝上D＝90。，:上ACF+上BCD＝90。，上BCD+上CBD＝90。，:上ACF＝上CBD，:△AFC…△CDB，:=,:AF＝BD＝2√5，:AC5，BC10，:S阴影＝直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC-直径为AB的半圆的面积=π（AC）2+π（BC）2-π（AB）2+AC×BC=π（AC2+BC2﹣AB2）+AC×BC=AC×BC=×5×10=25.20西湖区校级期中）如图，。O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，∠E=∠F.（1）求证：DF⊥AE；【分析】（1）连接AC，根据圆内接四边形的性质和垂直的定义即可得到结论；（2）连接OB，OD，根据已知条件得到AC垂直平分BD，求得AD＝AB，根据三角形内角和定理即可得到结论.【解答】（1）证明：连接AC，∴∠ADC=∠ABC，∴DF⊥AE；（2）解：连接OB，OD，∵C是的中点，∴AC垂直平分BD，21沈河区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=图象交于点A(﹣1，3）和B（3，c与x轴交于点C.（1）求一次函数y1＝kx+b和反比例函数y2＝的解析式；（2）观察图象，请直接写出使y1＞y2的x取值范围；（3）M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为时，直接写出点N的坐标.【分析】（1）把点A的坐标代入y2=中，求出m的值，得到反比例函数的解析式，进而求得点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；（2）结合图象，根据两函数的交点横坐标，找出一次函数图象在反比例图象上方时x的范围即可；（3）根据题意得出S△OMN+S△OCN＝，由S△OMN=×|﹣3|＝，即可得到S△OCN＝OC•OM＝2，求【解答】解1）将点A(﹣1，3）代入y2＝得：m=﹣3，∴y2=﹣,将B（3，c）代入y2=﹣得：c=﹣1，则B（31将A与B的坐标代入y＝kx+b得：，解得：，则一次函数解析式为y1=﹣x+2；（2）由图象得：使y1＞y2的x取值范围是：x<﹣1或0＜x＜3；（3）如图，连接ON，在y1=﹣x+2中，令y＝0，则x＝2，∵点O，C，M，N构成的四边形面积为时，∴S△OMN+S△OCN=,∵S△OMN=×|﹣3|=,∴S△OCN＝OC•OM＝2，∴OM＝2，∴M（0，2）或（02把y＝2代入y2=﹣,得x=﹣把y=﹣2代入y2=﹣,得x=22济南期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象相交于A（n，4B（2，2）两点.（1）求反比例函数及一次函数表达式；（2）若点P是直线AB左侧x轴上一点，若△ABP面积为1，求P点的坐标；（3）过点A作直线AC，与第三象限的反比例函数图象交于另一点C，连接BC，当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长.【分析】（1）将点B（2，2）代入反比例函数关系式可确定k的值，进而确定反比例函数关系式，由于点A也在反比例函数的图象上，可确定点A坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式即可；（2）设点P坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可；（3）分两种情况进行解答，即AQ：QC＝1：2和QC：AQ＝1：2，利用相似三角形的性质求出点C的坐标，再由两点距离公式进行计算即可.【解答】解1）∵反比例函数的图象过点B（2，2∴反比例函数的关系式为y=,又∵点A（n，4）在反比例函数的图象上，把A（1，4点B（2，2）代入一次函数y＝ax+b得，,解得∴一次函数的关系式为y=﹣2x+6，答：反比例函数的关系式为y=,一次函数的关系式为y=﹣2x+6；（2）当y＝0时，即﹣2x+6＝0，解得x＝3，∴直线AB与x轴的交点坐标为（3，0设点P（m，0则m＜3，∵△ABP面积为1，解得m＝2，（2）①如图1，当AQ：QC＝1：2时，即AM：CN＝1：2，∴CN＝2AM＝2，把x=﹣2代入反比例函数的关系式y=得，y=﹣2，∴BC==4；②如图2，当QC：AQ＝1：2时，即CN：AM＝1：2，∴CN＝AM=,把x=﹣代入反比例函数的关系式y=得，y=﹣8，∴BC==答：BC的长为4或.23工业园区校级期中）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1600N，阻力臂长为0.5m．设动力为y（N动力臂长为x（m杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计.)（1）求y关于x的函数表达式.（2）当动力臂长为2m时，撬动石头至少需要多大的力？（3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为2.5m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由.【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；（2）将x＝2入（1）中所求解析式，即可得出y的值；（3）根据0＜x≤2.5）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解.【解答】解1）由题意可得：xy＝1600×0.5，则y=即y关于x的函数表达式为y=，故当动力臂长为2动石头至少需要400N的力；（3）他不能撬动这块石头，理由如下：∵320＞300，∴不能撬动这块石头．24市中区校级月考）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示（1）分别求出0≤x≤8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值．（2）两次加热之间，水温保持不低于40℃有多长时间？（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？【分析】（1）用待定系数法可得0＜x＜8和8＜x＜t时的函数关系式，在反比例函数中，令y＝20可求得（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，在y＝中，令y＝40得x＝20，即得两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；（3）由50﹣40＝10＞8，即得开机后50分钟时，y80.【解答】解1）当0≤x≤8时，设水温y(℃)与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，∴y＝10x+20（0≤x≤8当8＜x＜t时，设水温y(℃)与开机时间x（分）的函数关系式为：y=,依据题意，得：100=,解得m＝800，∴y=,当y＝20时，20=,∴y8＜x＜40（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，在y＝中，令y＝40得x＝20，∴两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；（3）∵50﹣40＝10＞8，答：开机后50分钟时，水的温度是80℃.25铁西区期中）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.（1）求证：PC2＝PE•PF.（2）若CF为线段AD的垂直平分线，PF＝8，EF＝6，求BD的长.【分析】（1）可由相似三角形△AEP∽△FAP对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；（2）由（1）中相似三角形的比例线段求得PA，根据线段垂直平分线性质得PD，再证明△PDE∽△PBC，求得BP，进而求得BD.∴DC＝DA，∠ADP=∠CDP，DC∥AB，又∵DP是公共边，∴△DAP≌△DCPSAS∴PA＝PC，∠DAP=∠DCP，由DC∥FA得，∠F=∠DCP，∴∠F=∠DAP，又∵∠EPA=∠APF，∵CF为线段AD的垂直平分线，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BC．AD∥BC，∴DE＝BC，∠ADP=∠DBC，∠DEP=∠BCE，∴△DEP∽△△BCF，,26沈河区校级期中）如图，在△ABC中，∠A=∠C＝30°,,点D为AC的中点，∠EDF=∠A，两边分别交BC，AB于点E和F，连接EF，设CE长为x，AF长为y.（1）求y与x的函数关系式；（2）当时.①求线段BF的长；②直接写出线段EF的长；（3）当时，直接写出△DEF的面积.【分析】（1）证明△ADF∽△CED，由相似比便可求得y与x的函数关系式；（2）①连接BD，与EF交于点H，由等腰三角形的性质得BD⊥AC，再根据30°所对直角边等于斜边的一半得，AB＝2BD，由勾股定理求得AB，再根据（1）中函数关系式求得AF，进而求得BF；②证明BE＝BF，得BH＝BF，进而根据勾股定理求得EH与FH，便可求得EF；（3）先求得BF，依次求得BH，EF，DH，进而根据三角形的面积公式求得结果.【解答】解1）∵∠A=∠C＝30°,∠EDF=∠A，∴∠ADF+∠AFE=∠ADF+∠CDE，∴AD＝CD=,∴y=;（2）①连接BD，与EF交于点H，∴BD⊥AC，由勾股定理得AB2﹣BD2＝AD2，当x＝时，y=,∴AF=,∴BF＝AB﹣AF＝2﹣;②∵CE＝AFAB＝BC，∴BH⊥EF，EH＝FH，∴∠BEF=∠BFE＝30°,∴EH＝FH=,∴EF＝2﹣3；（3）当时，BF＝2﹣=,∴BH=,∴FH==,∴EF＝2FH=,∴=.27旅顺口区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，AD＝5cm，BD＝12CD，点P是AB边上一动点（点P不与点A、B重合过点P作PQ⊥BC于点Q．点M在射线QC上，且QM＝BQ，设BQ＝xcm，△PQM与△ABD重叠部分的面积为scm2.（1）求AB的长；（2）求s关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围.【分析】（1）设CD＝xcm，则BD＝2xcm，BC＝BD+CD＝13xcm，利用勾股定理解答即可得出结论；（2）利用分类讨论的方法解答：当0＜x≤6时，△PQM与△ABD重叠部分的面积为△PQM的面积，利用三角形的面积公式解答即可；当6＜x＜12时，设PM与AD交与点N，利用相似三角形的判定与性质求得ND，再利用s＝S△PMQ﹣S△MND解答即可.【解答】解1）设CD＝xcm，则BD＝12xcm，BC＝BD+CD＝13xcm，∵AD⊥BC，∴AD2+BD2＝AB2，∴52+（12x）213x）2，（2）由（1）知：BD＝12cm，∵PQ⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，∵QM＝BQ，∴当0＜x≤6时，△PQM与△ABD重叠部分的面积为△PQM的面积，∴s=×QM•PQ，∵QM＝BQ，BQ＝xcm，∴s=（0＜x≤6当6＜x＜12时，设PM与AD交与点N，如图，∵QM＝BQ，BQ＝xcm，∴BM＝2BQ＝2xcm，DM＝MB﹣BD2x﹣12）cm，∵PQ⊥BC，AD⊥BC，∴PQ∥AD，∴ND＝x﹣5，=﹣+10x﹣30（6＜x＜12综上，s关于x的函数解析式为：s=28靖西市期中）如图，Rt△ABC，∠C＝90°,AC＝12cm，BC＝10cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．设运动的时间为ts.（1）当t为何值时，△PCQ的面积等于25cm2？（2）当t为何值时，△PCQ与△ABC相似？【分析】（1）用x表示PC、BQ、CQ的长，再根据三角形的面积列式计算即可；（2）分两种情况分别计算，①当△PCQ∽△ACB时，推出，代入用t表示的线段计算即可；②当△PCQ∽△BCA时，推出，代入用t表示的线