统计学：第八章 抽样推断

Chapter8抽样推断本章重点抽样推断理论的一些基本概念

抽样方法

抽样平均误差和抽样极限误差总体均值和比例的点估计和区间估计

必要抽要数目第一节抽样推断概述

一、抽样推断的概念和特点

二、抽样推断的相关概念

三、抽样方法

一、引例1、2004年美国大选前几大媒体和民意测验机构所作的民意测验显示如下：2004总统选举布什——克里民意测验日期布什/

切尼克里/

爱德华兹范围RCP平均10/27-10/3148.4%46.9%布什+1.5FOXNews(1200LV)10/30-10/3146%48%Kerry+2Rasmussen(3,000LVw/leaners)10/29-10/3149.4%48.8%Bush+0.6TIPP(936LV)10/29-10/3145%44%Bush+1CNN/USAT/Gallup(1573LV)10/29-10/3149%47%Bush+2GW/Battleground(1000LV)10/27,28,3149%46%Bush+3CBS/NYTimes(643LV)10/28-10/3050%47%Bush+3ARG(1258LV)10/28-10/3048%49%Kerry+1Newsweek(882LV)10/27-10/2951%45%Bush+6资料来源：RealClearPoliticsPollAveragesSM

大部分抽样调查结果显示布什胜出，与实际选举情况相符。

奥巴马对麦克林RealClearPolitics-Election2008-GeneralElection:McCainvs.Obama

2、因为大量的研究使用样本来处理的，所以极为重要的是，每个样本确实要像从总体这个馅饼上切下来的一块那样，如果样本不是在较小规模上具有原来总体同样成分的话，那么样本就出现了偏差，并且研究就不再是正确的。

偏差样本最早一例出现在1936年。在民意测验的基础上，大众性全国杂志——《文学文摘》预测：共和党候选人阿尔佛雷德．兰顿将战胜民主党候选人富兰克林·罗斯福。但在那一年的选举中，罗斯福获得了压倒一切的优势，得到了48个州中的46票。作为民意测验工具的《文学文摘》声誉遭受了重大的损害。杂志的错误是它仅从装有电话的人和拥有小汽车的人中提取样本，这些人并不代表全部选举人的总体因为他们都是富有者，他们当中的大多数正如表现出来的那样，尽是共和党人。抽样推断的过程样本总体样本统计量例如：样本均值、比例、方差总体均值、比例、方差抽样推断的概念和特点1、抽样推断的概念

抽样推断是从总体中按随机原则抽取样本进行观测，并用样本指标对总体指标作出具有一定可靠程度的估计判断。2、抽样推断的特点

——是由部分推算整体的一种认识方法

——抽样推断是建立在随机取样的基础上

——抽样推断的误差可以事先计算并加以控制1、总体和样本总体：研究对象的全体样本：样本是从总体中抽取的一部分个体的集合（总体的子集）样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量对于一次抽样调查，总体是唯一确定的，但是样本是不确定的，一个总体可能抽出很多个样本总体，样本的个数主要与总体容量和样本容量有关。抽样推断的相关概念

总体样本随机或非随机抽取总体、样本关系总体指标：指根据总体各个单位的变量值计算的，反映总体特征的指标。在抽样推断中，由于总体是唯一确定的，所以总体指标也是唯一确定的，但是又是未可知的，因此称之为参数(parameters)。样本指标：指根据样本各单位变量值计算出来反映样本特征的指标在抽样推断中，由于样本是不确定的，所以样本指标是不确定的随机变量，称之为统计量(statistics)抽样推断的基本思想是用样本指标去估计总体指标2、参数和统计量总体参数样本统计量总体指标和样本指标

指标总体样本单位数均值方差比例比例方差总体容量：指总体单位数。用N表示样本容量：指样本单位数。用n表示抽样比：样本容量占总体容量的比例。用f表示如果总体为无限总体（总体容量无限或很大），没有意义。【注意】一般而言，样本容量远小于总体容量，在抽样推断中，样本容量大于30的样本为大样本。3、总体容量和样本容量

1、简单随机抽样（simplerandomsampling）

（1）简单随机抽样概念

简单随机抽样是指对总体不进行任何分类，直接从中随机抽取部分单位构成样本的一种抽样方法，是一种最简单、最基础的抽样方法。根据总体单位能否被重复抽到，简单随机抽样可分为重复抽样和不重复抽样

——重复抽样（replacement）：又称放回抽样，指从总体中抽取一单位观察后又放回，该单位在下一次抽取中还有可能被抽中

——不重复抽样（withoutreplacement）：又称不放回抽样，指从总体中抽取一单位观察后不放回，该单位在下一次抽取中不再可能被抽中抽样方法

重复抽样在理论上更简单，因为重复抽样意味着每次抽样之前面对着同样的总体；不重复抽样有更强的实践意义，因为相对于重复抽样来说不重复抽样的误差往往更小，这是由于不重复抽样不会重复地抽取同一单位也就不会有重复的信息；当总体容量N很大时，即使采取重复抽样同一单位被重复抽到的机会几乎没有，这时候重复抽样和不重复抽样就没有什么区别。（2）评价简单随机抽样采取直接抽样的方法，没有对总体进行分类再抽样，存在两方面问题

——在抽样的具体操作存在很多不方便

——先分类再抽样可以提高样本的代表性，使抽样精度提高

2、分层抽样（stratifiedrandomsampling）（1）分层抽样概念

分层抽样是指将总体分成若干层，在各层中分别按照一定的比例随机抽取单位构成样本（2）分层抽样的评价

——分层抽样在组织上、操作上更简便、科学

——如果总体单位在层间差异大，层内差异小，分层抽样可以改进抽样精度

——层即为子总体，在各层中抽取的单位构成各子总体的样本，可以用于子总体的分析3、系统抽样（systematicsampling）（1）系统抽样的概念

系统抽样是指将总体单位排列后相隔一定的间隔抽取一个单位构成样本

（2）系统抽样的评价

——操作上简便易行

——如果总体是按有关标志进行排列的话，可以提高样本的代表性，改进抽样精度

——对估计量方差的估计比较困难

4、整群抽样（clusterrandomsampling）

（1）整群抽样的概念

整群抽样是指将总体分成群，从中随机抽取若干群，群中的所有单位构成样本（2）整群抽样的评价

——易于组织且节省调查费用

——抽样精度低，抽样误差较大

——如果总体单位基本构成单位是群，整群抽样有其必要性

——如果总体单位在群间差异小、群内差异大，整群抽样也可以改进抽样精度

5、二阶段抽样（two-stagerandomsampling）

(1)二阶段抽样的概念

二阶段抽样是指将总体分成类，从中抽取若干类，在抽中的各类中再按一定比例抽取若干单位构成样本（2）二阶段抽样的评价

结合了整群抽样和分层抽样的优点第二节抽样误差一、抽样误差的概念二、抽样误差的影响因素三、抽样平均误差四、抽样极限误差抽样误差

统计调查的误差，是指调查所得结果与实际数值之间的差异。一般来说，抽样误差是指样本指标与它估计的总体相应指标的差异。具体指样本平均数与总体平均数的差异，样本成数与总体成数的差异。登记性误差:在调查过程中由于主、客观原因引起的登记、汇总或计算等方面的差错而造成的误差

。代表性误差：用样本指标推断总体指标时，由于样本结构与总体结构不一致，样本不能完全代表总体而产生的误差。（分为系统误差和随机误差）抽样误差的类型系统误差：由于非随机因素引起的样本代表性不足而产生的误差，表现为样本估计量的值系统性偏高或偏低。随机误差：又称偶然性误差，是指遵循随机抽样，由于随机因素引起的代表性误差。抽样误差：就是指这种随机误差。即由于抽样的随机性而产生的样本估计量与总体参数之间的代表性误差。1、样本容量

在其他条件不变的情况下，样本容量越大就越能反映总体，误差就越小。当样本容量接近总体容量时，抽样调查接近于全面调查，抽样误差接近于零；反之亦然。

2、总体各单位的差异程度（即标准差的大小）：

总体各单位的差异程度越大，抽样误差越大；反之亦然。抽样误差的影响因素

3、抽样方法

不重复抽样的抽样误差比重复抽样的抽样误差小，这是因为不重复抽样避免了总体单位的重复中选，因而更能反映总体结构。

4、抽样组织方式：

简单随机抽样的误差最大。抽样误差的影响因素

统计学中常用标准差这一概念来测定总体某一变量的所有变量值与其均值的平均差异程度，目的是衡量均值的代表性大小。抽样平均误差，是指以样本平均数为标志值，以对应的总体平均数为平均数计算的标准差，以符号表示。在抽样调查中，我们是用抽样平均误差来衡量样本均值的代表性大小。抽样平均误差抽样平均误差的计算公式：

〖例〗现有A、B、C、D四名工人构成的总体，他们的日产量分别为22、24、26、28件。从四名工人中任取两名构成一个样本，请利用重复抽样和不重复抽样的方法计算抽样平均误差。

【分析】先计算出三类数值：根据抽样平均误差的计算公式，我们必须本题要求我们计算抽样平均误差。可能样本总数。总体平均日产量、样本平均日产量、解：

但由于本题计算抽样平均误差要分别采用重复抽样和不重复抽样两种方法，因此，除总体平均日产量计算结果相同外，样本平均日产量、可能样本总数均不完全相同。为了准确计算有关数据，我们将所有可能的样本及其平均数列举出来，然后，根据列举结果就可以计算出抽样平均误差。

1.采用重复抽样应当指出的是，上面计算抽样平均误差的这个理论公式，在实际应用上会存在两个困难：2.采用不重复抽样⑴运用这个公式要求把所有的样本都抽选出来，然后计算它们的指标数值。这在实际应用过程中几乎是不可能的。⑵运用上面公式要求总体平均数的数值是已知的。但实际上，总体平均数的数值是未知的，它正是抽样调查要推断的。

因此，根据上面这个理论公式计算样本平均数的抽样平均误差是行不通的。必须选用其他计算公式。数理统计已经证明，在纯随机抽样方式下，样本平均数（成数）的抽样平均误差可以按下述公式来计算。⑴在重复抽样条件下：样本平均数的抽样平均误差

样本成数的抽样平均误差⑵在不重复抽样条件下：①样本平均数的抽样平均误差在大样本的情况下，样本平均数的抽样误差)1()()1()()1()(2--»--=--=NnNnsNnNnNnNnxssmNnnsNnnNnnx-»-=-=11)1(2ssm②样本成数的抽样平均误差在大样本的情况下，样本成数的抽样误差例抽样平均误差

从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。求抽样平均误差抽样平均误差的修正

前面的抽样平均误差为重复抽样时的计算公式，当为不重复抽样时，其计算公式为(f=n/N)

叫有限总体修正系数（finitepopulationcorrection）,说明由于采用了不重复抽样方法对抽样误差的修正但当总体容量很大时，这种修正就不存在或作用很少例抽样平均误差

从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用不重复抽样，求抽样平均误差例样本比例的抽样平均误差某公司从一批产品中随机抽取100件进行调查，发现其中有10件不合格。求样本合格品率的抽样平均误差分析：题目未告知是否采用不重复抽样，但据题意可知总体单位数很大，因此即便采用不重复抽样其抽样平均误差的修正效果也不好，因此视同重复抽样样本均值的分布形态

中心极限定理：不论总体变量成何种分布，当样本容量很大时，样本均值服从以为均值，为标准差的正态分布（normaldistribution）对正态分布的影响

决定了正态分布的位置对正态分布的影响

决定了正态分布的尖耸程度标准正态分布

标准正态分布（standardnormaldistribution）：指均值为0，标准差为1的正态分布；服从标准正态分布的变量称之为标准变量（standardvariable）

标准正态分布是一种理论分布，但是任何一正态分布都可化为标准正态分布标准正态分布的概率

标准变量落在a与b之间的概率为标准正态分布曲线在a与b之间所围的面积

这个概率可以通过查表获得ab概率分布表

本书的概率分布表为标准变量落在-t与t的对称区间的概率F（t）-tt正态分布的标准化

如果变量服从以为均值，为标准差的正态分布，则Z服从标准正态分布普通正态分布的概率

普通正态分布的变量可先化为标准正态分布，然后求其概率据统计，人的智商（IQ）服从均值为100，标准差为16的正态分布，那么人的智商在84和116之间的概率为多少？样本比例的分布形态

当样本容量很大时，样本比例服从以为均值，为标准差的正态分布抽样极限误差的概念

抽样极限误差

样本指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。对于某一项调查来说，根据客观要求，一般应有一个允许的误差限，也就是说若抽样误差在这个限度之内，就认为是可允许的，这一允许的误差限度就称为极限误差。在给定置信度1－α条件下，样本平均数偏离总体平均数的最大幅度为我们把称为抽样极限误差，记为即因此，抽样极限误差是指在给定置信度1－α条件下，样本平均数偏离总体平均数的最大幅度，或指在一定概率条件下，抽样误差的可能范围，也称为允许误差。68.27%95.45%99.73%抽样极限误差抽样极限误差的计算公式（大样本条件下）样本平均数的极限误差：⒈样本成数的极限误差：⒉t为概率度，是给定概率保证程度下样本均值偏离总体均值的抽样平均误差的倍数。t与相应的概率保证程度存在一一对应关系，常用t值及相应的概率保证程度为：

t值概率保证程度

1.000.68271.650.90001.960.95002.000.95452.580.99003.000.9973抽样极限误差的计算公式（大样本条件下）第三节抽样估计一、点估计

二、区间估计三、区间估计的逆运算点估计指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计简单，具体明确优点缺点

无法控制误差，仅适用于对推断的准确程度与可靠程度要求不高的情况区间估计指根据样本指标和抽样极限误差以一定的可靠程度推断总体指标的可能范围；其中，被推断的总体指标的下限与上限所包括的区间称为置信区间，估计的可靠程度也称为置信度。（这里只讨论常用的大样本的情况）中心极限定理

1、设从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布

2、从正态总体中抽取的全部可能样本，无论样本容量有多大，样本平均数的抽样分布必定遵从于正态分布；即使是非正态总体，只要n≥30，其抽样分布必定趋近于正态分布；

3、抽样分布的标准差小于总体标准差，且随着样本容量的增加减小.(总体分布的标准差与样本容量大小无关)

当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布一个任意分布的总体X区间估计原理0.6827

落在范围内的概率为68.27%样本抽样分布曲线原总体分布曲线区间估计原理0.9545

落在范围内的概率为95.45%样本抽样分布曲线原总体分布曲线区间估计原理0.9973

落在范围内的概率为99.73%样本抽样分布曲线总体分布曲线总体平均数的区间估计表达式其中，为极限误差步骤⒈计算样本平均数；⒉搜集总体方差的经验数据；或计算样本标准差，即总体平均数的区间估计步骤⒊计算抽样平均误差：重复抽样时：不重复抽样时：总体平均数的区间估计步骤⒋计算抽样极限误差：⒌确定总体平均数的置信区间：总体平均数的区间估计例总体均值的区间估计

从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用重复抽样，求整批零件平均长度的95%的置信区间练习总体均值的区间估计

从某企业生产的5000个零件中随机检测200个，测得这200个零件的平均长度为423毫米，标准差为12毫米。若采用不重复抽样，求整批零件平均长度的95%的置信区间【例】某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用不重复抽样从中随机抽取100人调查他们的当日产量，要求在95﹪的概率保证程度下，估计该厂全部工人的日平均产量和日总产量。练习总体均值的区间估计按日产量分组（件）组中值（件）工人数（人）110～114114～118118～122122～126126～130130～134134～138138～14211211612012412813213614037182321186433681221602852268823768165605887006489284648600784合计—100126004144100名工人的日产量分组资料解：则该企业工人人均产量及日总产量的置信区间为：即该企业工人人均产量在124.797至127.203件之间，其日总产量在124797至127303件之间，估计的可靠程度为95﹪。总体成数的区间估计表达式其中，

为极限误差步骤⒈计算样本成数；⒉搜集总体方差的经验数据；⒊计算抽样平均误差：重复抽样条件下不重复抽样条件下总体成数的区间估计步骤⒋计算抽样极限误差：⒌确定总体成数的置信区间：总体成数的区间估计例总体成数的区间估计某公司从一批产品中随机抽取100件进行调查，发现其中有10件不合格

。求该批产品合格品率的95%的置信区间：所以该批产品合格品率的95%的置信区间为练习里根的支持率1980年美国总统大选之前，美国权威的民意调查公司——盖洛普（Galluppoll）的一项民意调查中显示，在被随机调查的1500个选民中有780人表示会把选票投给里根，720人表示会把票投给卡特。在95%的概率保证下，请估计里根的支持率的置信区间

样本容量调查误差调查费用小样本容量节省费用但调查误差大大样本容量调查精度高但费用较大找出在规定误差范围内的最小样本容量确定样本容量的意义找出在限定费用范围内的最大样本容量确定方法推断总体平均数所需的样本容量⑴重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信度，然后限定抽样极限误差。

或S通常未知。一般按以下方法确定其估计值：①过去的经验数据；②试验调查样本的S。计算结果通常向上进位⑵不重复抽样条件下：确定方法推断总体平均数所需的样本容量【例】某食品厂要检验本月生产的10000袋某产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45﹪的概率保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过5克，应抽查多少袋产品？解：确定方法推断总体成数所需的样本容量⑴重复抽样条件下：通常的做法是先确定置信度，然后限定抽样极限误差。计算结果通常向上进位

通常未知。一般按以下方法确定其估计值：①过去的经验数据；②试验调查样本的；③取方差的最大值0.25。⑵不重复抽样条件下：确定方法推断总体成数所需的样本容量【例】某企业对一批总数为5000件的产品进行质量检查，过去几次同类调查所得的产品合格率为93﹪、95﹪、96﹪，为了使合格率的允许误差不超过3﹪，在99.73﹪的概率保证程度下，应抽查多少件产品？【分析】因为共有三个过去的合格率的资料，为保证推断的把握程度，应选其中方差最大者，即P=93﹪。解：练习应调查多少人？1980年美国总统大选之前，美国权威的民意调查公司——盖洛普（Galluppoll）的一项民意调查中显示，在被随机调查的1500个选民中有780人表示会把选票投给里根