2024年中考复习资料：中考数学模型

【模型专题】模型，是一个结论，更是一种思考模式，有时能够发挥出很大的用处。

[1]中点+平行模型

如图，如果ABIIDE,且C为AE中点，MWAABC^AEDC

【例题2](2014深圳)

如图，等腰树形ABCD中，ADSBC,

E为CD的中点，AE1AF交BC于F,

ZDAE=30°,若AD=、5,AE=2、a

则BF的长为()

A.lB.3-V3C.&-1D.4-242

B

2

答案：1.一；2.D

3

[2]一线三等角模型

如图，若NB=NC=NDEF=a（0<a<90）

则一定有4BDE与4CEF相似。

十分好证（外角和什么一大堆），并且也很实用。经常在矩形里出题。

E

【例题1]（2009太原）

如图，梯形ABCD中，AD〃BC,

AD=]BC=；2,ZB=ZC=45°,E、F

4

分别是线段BC、CD上的动点，且保持

ZAEF=45°,当4ABE是等腰三角形时,

CF=

E-

【例题3】（原创）

F

如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别线段是BC、

射线CD上一点且使NAEF=90。。

(1.)求AF的最大值.

(2.)当E为BC中点时，求证△AEF~z!\ABE

答案：1.2或4v5-3或-2.(—,—)

255

[3]巧造旋转模型

在某些几何题中，往往有一些奇怪的结论，此时可以通过几何三大变换之一【旋转】求解。

巧造旋转往往要有一定的等量关系和特殊角度，如下题：

通过观察可得NABC=NC=45。，AB=AC..

我们可以将4ACD绕A顺时针旋转90。得到AABE,使得AC与AB重合。

那么就有EB_LBC,而在RTZkAED中，DE2=2AD?(等腰直角三角形)

所以BE2+BD2=DE2,即BD2+CD2=2AD2

是不是赶脚很难想到？要学会判断，这种感觉是要练出来的！

【例题1](2014武汉)

四边形ABCD中，ZABCszACB=/ADC=45#,

AD=4,CD=3,则BD=.

CB

【例题2】

如图，AABC41.AB=2,AC=3,

以aABC三边分别向外做正方形,

则阴影部分面积最大值为.

【例题3](2014荷泽改编)

如图，射线AP与射线AQ垂直，B、D分别是

射线AP、AQ上的点，作正方形ABCD.DE、BF

分别平分NPDC、NCBQ且/EAF=45。，连接EF.

(1.)若DE・BF=4,求正方形的边长.

(2.)以AF、AE、EF为三边构成的三角形是什么

特殊三角形？判断并给予证明.

O

答案：1.JZT2.93.(1.)2,(2.)直角三角形，旋转后证全等，证明略

[4]等腰模型

这是一个很基础的模型——什么样的结构会生成等腰三角形

首先：平行+角平分线，

如图，若ADIIBE,BC平分/ABE,则AB=AC,很好证的，导角即可。

其次：垂直+角平分

这个不难理解，因为等腰三角形三线合一。

这种模型很常用，常常需要做辅助线（延长之类）

【例题1］（原创）

ABIICD

【例题2】（原创）

如图，梯形.45CD中，N45C的平分线BE与

DE1

C7）垂直，垂足为E。CE=3,若SA,C*2,则

四边形.45ED的面积是.

△ABC中，AD平分NBAC,CD1AD

E是BC中点，连接DE。

(1.)求证:DE〃AB

(2.)求证:DE=；(AB~AC)

1.112.33.延长CD交AB于M,利用中位线，证明略

【5】倍长中线法

常考、选填大证明都可能会用。

是的！又是中点，中点用的很多啊==

这个模型怎么用？先要判断。做题的时候看见中点，先找有没有可以直接用的，没有就找就

没有平行+中点，再没有就要想了没事摆个中点在这里有啥用？这时试试倍长中线。

记住一句话：“倍长中线，定得全等”

先来举一个例子，吧里很经典的一题。

锐角△ABC中，AB=3,AC=4

求BC上中线AD的取值范围。

BC

D\

E

解：延长AD,使DE=AD,连接CE(做这种题不变的辅助线说明)

VAD=DE,BD=CD,ZADB=ZCDE

AAADB^AEDC

CE=AB=3

.,.4-3<AE<4+3

故1/2<AD<7/2

这样就迎刃而解了，还有好多好多题，需要用到这个

【例题1](改编)

△ABC中，D为BC中点，DB1BC。

若BC=5,AB=13,则BD=

线段AB上有一点C,以AC、BC为

斜边在同侧作等腰直角三角形ACE、CBF

D是AB中点，连接DE、DF™

(1.)延长ED于G,使DE=DG,连接BG。

①求证：AADE^ABDG

②求证：DE=DF&DE1DF

(2.)将4CAE逆时针旋转，则(1.)中②的

结论成立吗？请说明理由.

(3.)若AC=2,BC=6,则DE的最小值为_.

1.62.证明略(中间有一段要说明旋转的性质很麻烦)，(3.)272

[6]几何最值模型.1

最值是中考最常考的题目，选择、填空、大题都可能有。

几何最值——当然数学书上是找不到的，所以这要我们平时多了解这种题的做题技巧

一般有三种：线段最值、折线最值、周长面积最值

最值不好学，先从简单学起。

1.首先最简单的：点到直线的距离垂线段最短、化曲为直，这是最基础的。

2.其次：通过对称寻找最值，经典的【建设奶站】模型。

3.折叠最值：三角形三边关系解题，寻找【三点共线】最关键。

举个例子：

有四个小区A、B、C、D,A,B、C都在道路/同健，

现在要在道路上建三个奶站P、Q,D,有下列要求。

(1.)奶站P到A的距离最短；

(2.)奶站Q到小区B、C的距离之和最短。

(3.)|AM-DM|的值最大

B

A\

ITJ\/

，I、/

J||_______।/

~Mip台、।

A

Dc

第一问做一个垂线就行了。

第二问是重点，作C关于I的对称点C，，连接CB,则CB与I的交点为Q,此时BQ+CQ

最小值为BC'。用三角形三边关系证明，尝试一下吧

第三问同样重点(虽然没第二问那么常考)，M可不是AD与I的交点，这时因为A、D在

异侧讨论差值不方便，故作对称。则AP延长线与I的交点为M,此时IAM-DMI的最小值

为D'M.这同样用三角形三边关系证。

考试的时候辅助线要写，道理不用。

简单归纳，同侧最小找轴对称、异侧最大对称加延长，注意图形对称性

好了先到这里，下面是例题

【例题1】(改编)

在边长为4的正方形ABCD内侧作等边三角形

ABE,P是AC上一动点，连接DP、PEo则

PD+PE的最小值为.

【例题2】(原创)

如图，四边形.43。。中，.43=.40，BC=CD,N84D=120。，ZBCD=90:,

.48=4,以.45为边作等边三角形.48E,尸是直线5c上一动点

(L)求E尸的最小值

(2.)直线.4E上有一点G

①求5gG尸的最小值

②是否存在一个时刻，使△5FG是等边三角形？若存在，说明G、厂的位置

若不存在，说明理由。

1.42.(1.)布-行；(2.)①2C；②NA6G=15°、/为BG的垂直平分线与BC的交点

[7]几何最值模型.2

初中大部分的几何最值都要化曲为直，一般我们称为【三点共线】，下面是折叠的一题。

《△ABC中，AC=5,BC=12,

D是BC的中点，E是AC上的动点，

将4CED沿DE折叠，得到ADEF,

连接AF,则AF的最小值是.

E

.B

D

做这种题，最重要找的是不变量。如图，CD是不变量6,AD也是不变量461,只有E、F

在动

现在开始分析，先把AD连接，得到一个不变的线段。而在4ADF中，由三边公式可知

AF>AD-DF,这有什么用？这个意思是万一A、F、D三点共线了，不就是AF=AD-DF了？

就是说当形成了三角形的时候，AF都是大于AD-DF的，三点共线时，AF=AD-DF,这样

AF不就最短了吗？所以AFmin=461-6

还有一种经典的题：

6,

如图，边长为4的等边三角形ABC

的两个顶点A、B分别在y、x轴上。

连接。C,在三角形ABC滑动的过程中

OC的最大值是.

1015

照样先找不变量，发现AB、BC不变为4,其余没有。这种题的不变量一般隐藏在某些条件

中

分析一下：等边你还没用，NAOB=90。的条件也没用，综合考虑，取AB中点，因为直角三

角形斜边中线等于斜边一半，所以0D=2,由等边三角形，可知CD=2Y3,现在用三点共线,

很快得到OC=OD+CD时0C最大，所以0C最大值为2+2,3

这种题要多练，寻找感觉。主要是找不变量，这在动点问题中十分重要。

【例题1】

【例题2】

RtZ\ABC中，AC=5,BC=12,

D、E分别是BC、AC上的动点，

将ACED沿DE折登，得到ADEF,

连接AF,则AF的最小值是.

E

B

D

【例题3】

平面直角坐标系中，。为坐标原点，以。

为园心，1为半径作圈，B是直线y=-x+3

l:y=-x+3上一点，AB与。。相切.则当B0取最小

\值时，AB的长为_____.

答案：1.,\/52.13.------

2

[8]十分重要！

反比例函数中的模型

俗话说的好，选填里面出得最难的不是几何题，而是反比例综合，要想稳拿3分，先掌握

这些

首先简单搞起

①这个很简单，已知某点坐标(m,n)求过该点的反比例函数表达式丫=々*,则卜二^^门世和)

②己知反比例函数图象分