2021-2022学年四川省遂宁高级某中学八年级（上）入学数学试卷

2021-2022学年四川省遂宁高级实验中学八年级（上）入学数学

试卷

一、选择题：（30分）

1.（3分）（2018春•婺城区期末）下列是二元一次方程的是（）

A.3x-6=xB.3x=2yC.x-y2=0D.2x-3y=xy

2.（3分）（2020•利川市模拟）关于x的不等式组［的整数解共有5个，则。的

（3-2x>-1

取值范围是（）

A.a=-3B.-4V“<-3C.-4«-3D.-4<aW-3

3.（3分）（2016春•高平市期末）下列标志中，是旋转对称图形但不是轴对称的有（）

®H)AO

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.（3分）（2021•船山区校级开学）根据不等式的性质，下列变形正确的是（）

A.由4>b得42>02B.由〃，2>儿2得.>6

C.由4a>2得a<2D.由2x+l>x得X>1

5.（3分）（2021•船山区校级开学）已知等腰三角形的两边长分别为小6,且“、6满足12a

-3/5|+（2a+3h-13）2=0,则此三角形的周长为（）

A.7或8B.6或10C.6或7D.7或10

6.（3分）（2021•船山区校级开学）为了研究吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机调

查了10000人，并进行统计分析，结果显示：在吸烟者中患肺癌的比例是2.5%,在不吸

烟者中患肺癌的比例是0.5%,吸烟者患肺癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，

如果设这10000人中，吸烟者患肺癌的人数为x,不吸烟者患肺癌的人数为y,根据题意，

下面列出的方程组正确的是（）

x-y=22

xX2.5%+yXQ.5%=1000C

x-y=22

B.,

c.)x+y=10000

xX2.5%-yXQ.5%=22

\4y=10000

2.5%0.5%

7.（3分）（2014•毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个

则原多边形的边数为（)

C.15D.16

8.（3分）（2009•荆门）如图，中，/ACB=90°,N4=50°,将其折叠，使点

A落在边CB上A'处，折痕为CD,则NA'DB=（

D.10°

9.（3分）（2011•涪城区校级自主招生）在等腰△ABC中，AB=AC,中线BO将这个三角

形的周长分成15和18两部分，则这个三角形底边的长为（）

A.9B.13C.9或13D.10或12

10.（3分）（2014•黑龙江）今年学校举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场）,

记分办法是：胜1场得3分，平1场得I分，负1场得0分.在这次足球比赛中，小虎

足球队得16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，则小虎足球队所负场数的情况有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

二、填空题：（18分）

II.（3分）（2014•绥化）服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八

折销售，仍可获利60元，则这款服装每件的标价比进价多元.

12.（3分）（2020春•射洪市期末）不等式（a-1）xVl的解集是x>-1,则a的取值

范围是.

13.（3分）（2017春•河北期末）关于x的方程组（3x-y=m的解是（x=l,则依-川的值

\x+my=nIy=l

是.

14.（3分）（2014•荆州）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数.例如：将0.1转化

为分数时，可设o.1=尤，则X=O.3+L,解得X=L即o.拉工.仿此方法，将o.

1033

化成分数是.

15.（3分）（2019春•侯马市期末）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转90°,得

到△?!'B'C,连接A4',若Nl=20°,则N8=度.

16.（3分）（2021•船山区校级开学）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置

摆放.如果23=32°,那么N1与N2的度数和为.

三、解答题：

17.（9分）（2021•船山区校级开学）解下列方程（组）：

（1）2-2x+l=l+x；

32

'3x+4z=7①

（2）<2x+3y+z=9②.

5x-9y+7z=8③

18.（6分）（2021春•仁寿县期末）在等式。为常数）中，当x=l时，y=-2；

当x=-1时，y=4.

（1）求鼠6的值.

（2）问当y=-l时，x的值等于多少？

19.（6分）（2014•呼和浩特）已知实数a是不等于3的常数，解不等式组

-2x+3>-3

<i1），并依据。的取值情况写出其解集.

y（x-2a）-»yx<0

20.（6分）（2020春•沈丘县期末）如图，在△ABC中，ZB=46°,/C=54°,A。平分

NBAC交BC于D,DE//AB,交AC于E,E尸是△ADE的高.求/。E尸的度数.

21.（8分）（2017春•南江县校级期中）如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D,

连接CQ,交OA于M,交OB于N.

（1）若C。的长为18厘米，求△PMN的周长；

（2）若NAOB=28°,求NMPN.

22.（7分）（2021•船山区校级开学）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形

的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为格点多边形”.格点多边形的面积记为S,

其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L例如，图中三角形4BC是格点三角形,

其中S=2,N=0,L=6.

（1）图中格点多边形。EFGH/所对应的S=,N=,L=；

（2）经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S="N+几+c,其中a,b,c为常

数，求当N=5,L=14时，S的值.

23.（10分）（2018春•晋城期末）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间

之间的关系如表：

生产甲产品件数（件）生产乙产品件数（件）所用总时间（分钟）

1010350

3020850

（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？

（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天.如果小王四月份生产甲种产品a件（a

为正整数）.

①用含a的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；

②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份

的工资不少于1500元，求a的取值范围.

2021-2022学年四川省遂宁高级实验中学八年级（上）入学数学

试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（30分）

1.【考点】二元一次方程的定义.

【分析】二元一次方程就是含有两个未知数，并且未知数的项的最高次数是1的整式方

程，依据定义即可判断.

【解答】解：4、是一元一次方程，故错误；

B、正确；

C、未知数的项的最高次数是2,故错误；

。、未知数的项的最高次数是2,故错误.

故选：B.

2.【考点】一元一次不等式组的整数解.

【分析】首先解不等式组确定不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解有5个，即

可得到一个关于。的不等式组，解不等式组即可求解.

【解答】解：:①

l3-2x〉-1②

解①得：

解②得：x<2,

则不等式组的解集是：“Wx<2,

不等式组有5个整数解，则-4<aW-3,

故选：D.

3.【考点】旋转对称图形；轴对称图形.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折

后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

如果一个图形绕某一点旋转一定的角度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做旋转对

称图形，这个点叫做旋转中心.对各图形分析后即可得解.

【解答】解：第1个图形，既是旋转对称图形，也是轴对称图形，

第2个图形，是旋转对称图形，不是轴对称图形，

第3个图形，不是旋转对称图形，是轴对称图形，

第4个图形，既是旋转对称图形，也是轴对称图形，

第5个图形，是旋转对称图形，不是轴对称图形.

所以，是旋转对称图形但不是轴对称图形的有：第2个，第5个共2个.

故选：A.

4.【考点】不等式的性质.

【分析】按照不等式的性质进行逐一辨别.

【解答】解：•••当〃>儿但同<|历时，a2<h2,

，选项A不符合题意；

'."aci>bc2,

.•.cWO,

...由不等式的性质2可得

选项B符合题意；

•.•当蒋a>2时，由不等式的性质2可得-4,

选项C不符合题意；

•.,当2x+l>x时，由不等式的性质1可得x>-1,

二选项。不符合题意；

故选:B.

5.【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；解二元一

次方程组；三角形三边关系.

【分析】首先根据|24-3力+5|+(2〃+3"13)2=0,求得a、h的值，然后求得等腰三角

形的周长即可.

【解答】解：V|2a-3b+5\+⑵+3…3)2=0,

・[2a-3b+5=0

*l2a+3b-13=0?

解得：卜=2,

lb=3

当〃为底时，三角形的三边长为2,3,3,则周长为8；

当匕为底时，三角形的三边长为2,2,3,则周长为7.

...三角形的周长为7或8,

故选：A.

6.【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组.

【分析】根据题意可得在调查的1OOOO人中，吸烟者的人数为不吸烟者的人数为

2.5%

」—可得•x+-了-=10000；根据吸烟者患癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22

0.5%2.5%0.5%

人可得x-y=22,联立组成方程组即可.

【解答】解：根据题意可得在调查的10000人中，吸烟者的人数为」不吸烟者的人

2.5%

数为」-

0.5%

y

所以」+=10000-

2.5%0.5%

根据吸烟者患癌的人数比不吸烟者患肺癌的人数多22人，得

x-y=22,

\-y=22

联立可得方程组|xv

W^r=1000°

故选：B.

7.【考点】多边形内角与外角.

【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1

条边，可得答案.

【解答】解：设新多边形是〃边形，由多边形内角和公式得

(〃-2)180°=2340°,

解得〃=15,

原多边形是15-1=14,

故选：B.

8.【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；翻折变换(折叠问题).

【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得NA'DB^ZCA'D-

ZB,又折叠前后图形的形状和大小不变，/C47)=/A=50°,易求N8=90°-NA

=40°,从而求出NA'DB的度数.

【解答】解：：RtZ\ABC中，NACB=90°,NA=5O°,

AZB=90°-50°=40°,

:将其折叠，使点A落在边CB上A'处，折痕为CD,则NC4C=NA,

,/ZCA'D是△A'B。的外角，

.'./A'DB^ZCA'D-ZB=50°-40°=10°.

故选：D.

9.【考点】等腰三角形的性质.

【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻

找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案.

【解答】解：设等腰三角形的底边长为x,腰长为y,则根据题意，

得「巧I'或，、至1：解得卜=9或卜松，

y+f=18y+f=15卜=12ly=10

经检验，这两组解均能构成三角形，所以底边长为9或13.

10.【考点】二元一次方程的应用.

【分析】设小虎足球队踢平场数是所负场数的々倍，依题意建立方程组，解方程组从而

得到用k表示的负场数，因为负场数和k均为整数，据此求得满足k为整数的负场数情

况.

【解答】解：设小虎足球队胜了x场，平了y场，负了z场，踢平场数是所负场数的k

倍，依题意得

x+y+z=17①

<3x+y=16②，

y=kz③

把③代入①②得［x+（k+l）z=17,

I3x+kz=16

解得z=q_（%为整数）.

2k+3

又；z为正整数，

・•・当k=l时，z=7；

当上=2时，z=5；

当％=16时，z=1.

综上所述，小虎足球队所负场数的情况有3种情况.

故选：B.

二、填空题：（18分）

11.【考点】一元一次方程的应用.

【分析】设这款服装每件的进价为x元，根据利润=售价-进价建立方程求出x的值就

可以求出结论.

【解答】解：设这款服装每件的进价为X元，由题意，得

300X0.8-JC=60,

解得：x=180.

.•.标价比进价多300-180=120元.

故答案为：120.

12.【考点】不等式的解集.

【分析】运用不等式的性质求解即可.

【解答】解：（a-1）x<1-。的解集是x>-1,•<a-1<0>

故答案为：“<1.

13.【考点】二元一次方程组的解.

【分析】将x=l，y=l代入方程组求出，〃与〃的值，即可确定出所求式子的值.

【解答】解：将x=l,y=l代入方程组得：（m=2,

Il+m=n

解得：m—2,n=3,

则依-川=|2-3|=1.

故答案为：1

14.【考点】一元一次方程的应用.

【分析】设x=0.则x=0.4545…①，根据等式性质得：100x=45.4545…②，再由

②-①得方程100x-x=45,解方程即可.

【解答】解：法一：设x=0.45…，

则x=0.45+l/100x,

解得x=45/99=5/ll

法二：设x=o.45>贝|Jx=0.4545…①，

根据等式性质得：100x=45.4545…②，

由②-①得：100x-x=45.4545…-0.4545…，

即：100x-x=45,99x=45

解方程得：X=45=A.

9911

故答案为：

11

15.【考点】旋转的性质.

【分析】先根据旋转的性质得到/ACA'=90°,CA=CA',ZB=ZCB'A',则可

判断△CM'为等腰直角三角形，所以NC4A'=45°,然后利用三角形外角性质计算

出NCB'A',从而得到的度数.

【解答】解：:□△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△%'B'C,

：.ZACA'=90°,CA^CA',NB=NCB'A',

：./\CAA'为等腰直角三角形，

：.ZCAA'=45°,

•：NCB'A'=ZB'AC+Z1=450+20°=65°,

：.ZB=65°.

故答案为65.

16.【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质.

【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答

即可.

•••/3=32°,正三角形的内角是60°,正四边形的内角是90°,正五边形的内角是

108°,

.,.N4=180°-60°-32°=88°,

.•.Z5+Z6=180°-88°=92°,

；.N5=180°-Z2-108°①，

Z6=180°-90°-Zl=90°-Z1

.•.①+②得，180°-Z2-108°+90°-Zl=92°,

即/l+/2=70°.

故答案为：70°.

三、解答题：

17.【考点】解三元一次方程组；解一元一次方程.

【分析】(1)去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可；

(2)②X3+③得出llx+10z=35④，由④和①组成一个二元一次方程组，求出方程组的

解，再代入②求出y即可.

【解答】解：(1)2-空❷=上曳，

32

去分母，得12-2(2x+l)=3(1+x),

去括号，得12-4x-2=3+3x,

移项，得-4x-3x=3-12+2,

合并同类项，得-7x=-7,

系数化成1,得x=l;

'3x+4z=7①

(2)<2x+3y+z=9②，

5x-9y+7z=8③

②X3+③，得llx+10z=35④，

由④和①组成一个二元一次方程组［Ux+l°z=35,

［3x+4z=7

解得：,x=5,

Iz=-2

把［x=5代入②，得10+3y-2=9,

Iz=-2

解得：y=—,

3

x=5

所以原方程组的解是｛

z=-2

18.【考点】解二元一次方程组；解一元一次方程.

【分析】(1)首先把x=l时，y=-2；当x=-1时，y—4分别代入等式y=fcv+匕中可

得到关于丸6的方程组，然后再解方程组即可；

(2)由(1)中得到的E6的值，可以得到尸=履+6的函数式，把y=-l代入即可得

到x的值.

【解答】解：(1)把x=l时，y=-2；当x=-l时，y=4分别代入等式y=fcv+〃中得:

[k+b=-2,

1-k+b=4

解得：『=-3,

Ib=l

(2)由(1)得：y=-3x+l,

当y=-1时，-3x+l=-1,

解得：x上，

3

/.当y=-1时，x工.

3

19.【考点】解一元一次不等式组.

【分析】首先分别解出两个不等式，再根据实数。是不等于3的常数，分两种情况进行

讨论：①当〃>3时，②当时,然后确定出不等式组的解集.

-2x+3>-3①

【解答】解:

y(x-2a)+^x<0②

解①得：xW3,

解②得：x<a,

•••实数“是不等于3的常数，

,当a>3时，不等式组的解集为xW3,

当«<3时，不等式组的解集为x<a.

20.【考点】三角形内角和定理；平行线的性质.

【分析】由三角形内角和定理可求出NBAC的度数，结合角平分线的定理可得出

的度数，由。E〃AB利用平行线的性质可得出NED尸的度数，在△DE尸中利用三角形内

角和定理即可求出NOEF的度数.

【解答】解：：在△ABC中，NB=46°,NC=54°,

...NBAC=180°-ZB-ZC=80°.

平分NBAC,

NBAD=_1NA4C=40°.

2

•:DE"AB,

：.ZEDF=ZBAD=40Q.

'：EF±AD,

:.NEFD=90°,

.•.ZDEF=1800-NEDF-NEFD=50°.

21.【考点】轴对称的性质.

【分析】(1)根据对称轴的意义，可以求出PM=CM,ND=NP,CD=\^cm,可以求出

△PMN的周长.

(2)要求/MPN的度数，要在中进行，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质

找出与/CPQ的关系，利用已知NAOB=28°可求出/CP£),答案可得.

【解答】解：(1)•.•点P关于04,的对称点分别为C、D,连接CD,交。4于M,

交0B于M

:.PM=CM,ND=NP,

"：4PMN的周长=PN+PM+MN,PN+PM+MN=CD=1Scm,

.•.△尸蛆的周长=18。机.

(2),尸关于。A、02的对称

/.0A垂直平分PC,0B垂直平分PD

:.CM=PM,PN=DN

：.ZPMN=2ZC,ZPNM=2ZD,

■:NPRM=/PTN=90°,

...在四边形OTPR中，

；.NCPO+NO=180°,

AZCPD=180°-28°=152°

；./C+/O=28°

；./MPN=180°-28°X2=124°

22.【考点】三元一次方程组的应用.

【分析】（1）观察图形，找出S,N,L的值；

（2）图中四边形MNPQ是格点四边形，其中S=4,N=l,L=8,利用任意格点多边形

的面积S可表示为S=〃V+W>c,即可得出关于a,b,c的三元一次方程组，解之即可得

出a,b,c的值，进而可得出S=N+2L-1,再代入N=5,L=14,即可求出S的值.

2

【解答】解：（1）观察图形，可知：S=7,N=3,L=10.

故答案为：7；3；10.

（2）图中四边形MNPQ是格点四边形，其中S=4,N=l,L=8.

6b+c=2

依题意得：・3a+10b+c=7-

a+8b+c=4

7=1

解得：，bV"，

c=-l

.-.S=N+AL-i.

2

当N=5,L=14时，S=5+工X14-1=11.

23.【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用.

【分析】（1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟，根据所用总

时间为等式得出方程组求出即可；

（2）①根据（1）中生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间，得出生

产甲种产品〃件需要的时间，进而得出生产乙种产品的件数；

②根据每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，小王四月份的

工资不少于1500元得出不等式求出即可.

【解答】解：（1）设生产一件甲种产品需X分钟，生产一件乙种产品需y分钟，由题意

得：

f10x+10y=350

l30x+20y=850，

解这个方程组得：卜=15；

ly=20

答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；

（2）①；生产一件甲种产品需15分钟,生产一件乙种产品需20分钟，

一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件，

所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25X8-包）=600-§a；

44

②依题意：1.5a+2.8X（600-^a）>1500-

1680-0.6a>1500,

解得：〃W300.

考点卡片

1.非负数的性质：绝对值

在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则

其中的每一项都必须等于0.

根据上述的性质可列出方程求出未知数的值.

2.非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性.

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都

必须等于0.

3.解一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步骤：

去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1,这仅是解一元一次方程的一般步骤，针

对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=”形式转化.

（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又

有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号.

（3）在解类似于“分+&v=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）

x=c.使方程逐渐转化为以=b的最筒形式体现化归思想.将办=6系数化为1时，要准确

计算，一弄清求x时，方程两边除以的是。还是从尤其“为分数时；二要准确判断符号，

a、6同号x为正，a、b异号x为负.

4.一元一次方程的应用

（-）一元一次方程解应用题的类型有：

（1）探索规律型问题：

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=1蝉X100%）；（4）工程问题（①工作量=

进价

人均效率X人数X时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作

总量）；

（5）行程问题（路程=速度X时间）；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下:首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，

直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x,然后用含x的式子表示相关的量，找出

之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹h解、答.

列一元一次方程解应用题的五个步骤

1.审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系.

2.设：设未知数（x）,根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知

数.

3.歹IJ：根据等量关系列出方程.

4.解：解方程，求得未知数的值.

5.答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句.

5.二元一次方程的定义

（1）二元一次方程的定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1,像这样的方程叫做二元一次方程.

（2）二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程.②方程中共含有两个未知数.③

所有未知项的次数都是一次.不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程.

6.二元一次方程的应用

二元一次方程的应用

（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程.

（4）根据未知数的实际意义求其整数解.

7.二元一次方程组的解

（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.

（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的.数学概念是数学的基础与出发点，当遇到

有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程

组，这种方法主要用在求方程中的字母系数.

8.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求出x

（或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一

次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的

任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到

原方程组的解，用fx=a的形式表示.

Iy=b

9.由实际问题抽象出二元一次方程组

（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量

和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.

（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示

的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符.

（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：

①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系.②将问题中给出的条件按意思分割成

两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系.③借助表格提供信息

的，按横向或纵向去分别找等量关系.④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系.

10.二元一次方程组的应用

（-）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

（4）求解.

（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

（二）设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

11.解三元一次方程组

（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都

是1,并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.

（2）解三元一次方程组的一般步骤：

①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中

的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组.②然后解这个二元一次方程

组，求出这两个未知数的值.③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较

简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程.④解这个一元一次方程，求出第

三个未知数的值.⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可.

12.三元一次方程组的应用

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，

就要找到几个等量关系列几个方程.

（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解

析式奠定基础.

（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性.

13.不等式的性质

（1）不等式的基本性质

①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变,

即：

若a>b,那么a土/»>方土机；

②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

若a>b,且m>0,那么。”〉小〃或至〉旦；

mm

③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

若a>b,且/M<0,那么或?<立；

mm

（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变,

但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变.

【规律方法】

1.应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一

定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母

是否大于0进行分类讨论.

2.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c.

14.不等式的解集

（1）不等式的解的定义：

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：

能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集.

（3）解不等式的定义：

求不等式的解集的过程叫做解不等式.

（4）不等式的解和解集的区别和联系

不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号

表示.不等式的每一个解都在它的解集的范围内.

15.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

16.解一元一次不等式组

（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组

成的不等式组的解集.

（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组.

（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集,

再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.

方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分.

解集的规律：同大取大：同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.

17.一元一次不等式组的整数解

（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）.

解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的

限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解.

（2）已知解集（整数解）求字母的取值.

一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根

据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案.

18.平行线的性质

1、平行线性质定理

定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角

相等.

定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁

内角互补.

定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角

相等.

2、两条平行线之间的距离处处相等.

19.三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

（3）三角形的两边差小于第三边.

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

20.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且

每个内角均大于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

(3)三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在

转化中借助平行线.

(4)三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系,

用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐