数系的扩充和复数的概念 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

单/击/此/处/添/加/副/标/题/内/容7.1.1数系的扩充和复数的概念卡尔丹问题卡尔丹Cardano16世纪意大利

“将10分成两部分，使两者的乘积等于40，这两部分分别是多少？”负实数到底能不能开平方？如何开平方？负实数开平方的意义是什么？卡尔丹认为把答案写成：创设情境提出问题需要际实观客数学内部11？回顾历史，寻求启发

生活实践中

自然数集加法乘法负整数整数集有理数集实数集？加法乘法减法加法乘法减法除法(除数不为0）加法乘法减法除法（除数不为0）开方（正数）无理数分数？扩充的共同特点（1）引入新数;（2）在新的数集中，原来的运算及其性质仍然适用，同时解决某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾.

人类认识数的范围是一步一步扩大的，数系的每一次扩充，一方面是由于描述和解决问题的需要，另一方面也是基于解决数学自身矛盾的需要.

类比创造，构建新知探究我们知道，方程x²+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗?实数集的扩充就从引入平方等于-1的“新数”开始依照这种思想，为了解决x²＋1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i是方程

x²十1=0的解，即使得

i²=-1.

i是数学家欧拉(LeonhardEuler,1707-1783）最早引入的.它取自“imaginary”（想象的，假想的）一词的词头.i²=i•i.

把新引进的数i添加到实数集中，我们希望数i和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么,实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?（1）把实数b与i相乘，结果记作bi;（2）把实数a与bi相加，结果记作a+bi;

所有实数以及i都可写成a+bi的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.复数的概念

我们把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R).其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部.方程x²＋1=0在复数集C中就有解x=i.

在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di(a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d.即：a+bi=c+di⇔a=c，b=d.

我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！复数相等【练习】已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为

．【解析】依题意，可得：x2－y2=0且2xy＝2，

即x=y=－1或x=y=1.复数的分类

当且仅当b=0时，它是实数,当且仅当b≠0时，它叫做虚数；当且仅当a=0,b≠0时，它叫做纯虚数.当且仅当a=b=0时，它是实数0;

复数【练习】写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.【解析】都是虚

数，它们的实部分别为虚部分别是

并且其中只有是纯虚数.

复数集C与实数集R之间有什么关系？虚数集纯虚数集注：虚数不能比较大小，只有相不相等；实数才能比较大小.

例1当实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是下列数？（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.【解析】(1)

当m-1=0时，即m=1时，复数

z是实数；(2)当m-1≠0时，即m≠1时，复数

z

是虚数；当m+1=0,且m-1≠0时，即m=-1时，复数

z

是纯虚数.数系扩充的基本规则复数的基本概念两个复数相等的含义复数的分类（1）引入新