沪科版初中九年级数学上册21-2-3二次函数表达式的确定课件

第21章二次函数与反比例函数21.2二次函数的图象和性质*21.2.3二次函数表达式的确定基础过关全练知识点用待定系数法求二次函数的表达式1.(2024安徽合肥月考)抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为

(0,-3),则抛物线的表达式为

(

)A.y=x2+x+3B.y=x2+x-3C.y=x2+3x+cD.y=x2-3x+cB解析∵抛物线y=x2+x+c与y轴的交点坐标为(0,-3),∴c=-3,

∴抛物线的表达式为y=x2+x-3.故选B.2.(2024安徽六安霍邱期中)已知某抛物线与二次函数y=-5x2

的图象的开口大小相同,开口方向相反,且顶点坐标为(1,2023),则该抛物线对应的函数表达式为

(

)A.y=5(x-1)2+2023B.y=-5(x-1)2+2023C.y=5(x+1)2+2023D.y=-5(x+1)2+2023A解析∵抛物线的顶点坐标为(1,2023),∴抛物线的表达式

为y=a(x-1)2+2023.∵抛物线y=a(x-1)2+2023与二次函数y=-5

x2的图象的开口大小相同,开口方向相反,∴a=5,∴抛物线的

表达式为y=5(x-1)2+2023.故选A.3.(新独家原创)二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示,则该函

数的表达式为

.

y=x2-2x-3解析由题图可知,点A,C的坐标分别为(-1,0),(0,-3),分别代

入函数表达式,得

解得

所以该函数的表达式为y=x2-2x-3.4.(一题多解)小聪在画一个二次函数的图象时,列出了下面

几组x与y的对应值:x…012345…y…50-3-4-30…则该二次函数的表达式是

.y=(x-3)2-4(或y=x2-6x+5)解析解法一:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,把(0,5),(1,

0),(2,-3)代入,得

解得a=1,b=-6,c=5,所以二次函数的表达式为y=x2-6x+5.解法二:由表格数据,并结合二次函数图象的对称性可得图象

顶点为(3,-4),设二次函数的表达式为y=a(x-3)2-4(a≠0),将(1,

0)代入得4a-4=0,解得a=1,∴该二次函数的表达式为y=(x-3)2-

4(或y=x2-6x+5).解法三:由表格知函数图象与x轴交于点(1,0),(5,0),所以设二

次函数的表达式为y=a(x-1)(x-5),将(0,5)代入,得a=1,所以该

二次函数的表达式为y=(x-1)(x-5)(或y=x2-6x+5).方法归纳确定二次函数表达式的方法已知抛物线上三个点的坐标,则用一般式y=ax2+bx+c;已知抛

物线的顶点,则用顶点式y=a(x+h)2+k;已知抛物线与x轴两交

点的横坐标,则用交点式y=a(x-x1)(x-x2).5.根据下列条件求函数表达式.(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(0,2)、(1,3)、(2,2),

求这个二次函数的解析式;(2)已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,

8),求抛物线的表达式;(3)已知一个二次函数的图象过点(0,1),它的顶点坐标是(8,9),

求这个二次函数的表达式.解析

(1)把(0,2)、(1,3)、(2,2)代入y=ax2+bx+c,得

解得

∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+2.(2)设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0),把C(0,8)代入得

-8a=8,解得a=-1,∴抛物线的表达式为y=-(x+2)(x-4)=-x2+2x+8.(3)∵顶点坐标为(8,9),∴设所求二次函数的表达式为y=a(x-8)2+9(a≠0).把(0,1)代入得a(0-8)2+9=1,∴a=-

,∴y=-

(x-8)2+9,即y=-

x2+2x+1.6.(和差法求面积)(2024安徽淮南月考)如图,抛物线与x轴交

于A,B两点,其中A点坐标为(-1,0),M(2,9)为抛物线的顶点.(M

9121002)(1)求抛物线的表达式.(2)求四边形OBMC的面积.

解析

(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+9,将A(-1,0)代入,得a=-1.∴y=-(x-2)2+9.(2)如图,连接MC,OM,BM,过点M作MN⊥OB,垂足为N,易得ON=2,OC=5,OB=5,MN=9,∴S四边形OBMC=S△MOC+S△MOB=

×5×2+

×5×9=

.

7.(2024安徽滁州天长期中,4, )已知抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为A(3,3),则该抛物线的表达式为

(

)A.y=-

x2-2x

B.y=-

x2+2xC.y=

x2-2x

D.y=

x2+2x能力提升全练B解析∵抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为A(3,3),∴

解得

∴该抛物线的表达式为y=-

x2+2x.故选B.8.(2024浙江杭州西湖期中,9, )已知某二次函数图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),当2<x1<x2时,(x2-x1)(y2-y1)>0;当x1<x2<2

时,(x2-x1)(y2-y1)<0,则该二次函数的表达式可以是(M9121002)

(

)A.y=3(x+2)2

B.y=3(x-2)2C.y=-3(x+2)2

D.y=-3(x-2)2B解析当二次函数图象开口向上时,在对称轴左边,y随x的增

大而减小;在对称轴右边,y随x的增大而增大.当2<x1<x2时,(x2-

x1)(y2-y1)>0,x2-x1>0,∴y2>y1.∴当x>2时,y随x的增大而增大.当x1<x2<2时,(x2-x1)(y2-y1)<0,x2-x1>0,∴y2<y1.∴当x<2时,y随x的增大而减小.∴抛物线的对称轴为x=2,开口向上.故选B.9.(新考向·开放性试题)(2024上海闵行月考,8, )已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上,且开口向下,请写出一

个满足上述条件的抛物线的表达式:

.y=-x2解析∵抛物线y=ax2+bx+c开口向下,∴a<0.∵抛物线y=ax2

+bx+c的顶点在直线y=x上,∴-

=

,即b2-2b-4ac=0,如:a=-1,b=c=0符合题意,此时y=-x2.答案不唯一.10.(2024安徽黄山休宁期中,13, )已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函

数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为

.(M9121002)y=

x2+

x-

解析

∵对称轴为直线x=-1,且图象与x轴交于A、B两点,

AB=6,∴抛物线与x轴交于(-4,0),(2,0),顶点坐标的横坐标为-

1.∵顶点在函数y=2x的图象上,∴y=2×(-1)=-2,∴顶点坐标为

(-1,-2),设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-2,把(2,0)代入得,0=9a-2,解得a=

,∴y=

(x+1)2-2=

x2+

x-

.11.(教材变式·P29T16)(2024安徽淮南洞山中学月考,21,

)如图,在直角坐标系中,抛物线经过点A(0,4),B(1,0),C(5,0).(M9121002)(1)求抛物线的表达式和对称轴.(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使△PAB的周长最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)该抛物线上有一点D(x,y),使得

=

,求点D的坐标(点D与点A不重合).解析

(1)∵抛物线经过点B(1,0),C(5,0),∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)(x-5),把A(0,4)代入得4=5a,∴a=

,∴抛物线表达式为y=

(x-1)(x-5)=

x2-

x+4.抛物线的对称轴为x=

=3.(2)存在,如图,连接AC,与对称轴的交点即为点P,连接PA,PB,

AB,此时△PAB的周长最小.设直线AC的表达式为y=kx+b,∵A(0,4),C(5,0),∴

解得

∴直线AC的表达式为y=-

x+4.把x=3代入,得y=

,∴点P的坐标为

.

(3)∵抛物线y=

x2-

x+4的顶点坐标为(3,-3.2),S△ABC=S△DBC,∴D点的纵坐标为4,把y=4代入y=

x2-

x+4,得

x2-

x+4=4,解得x=0或6.∴点D的坐标为(0,4)或(6,4).∵点D与点A不重合,∴D点坐标为(6,4).12.(几何直观)(新考法)如图,已知平面直角坐标系中的四个

点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).二次函数y=ax2+bx+c的图象经

过其中任意三个点,当a的值最大时,二次函数的表达式为