2023届福建省厦门市瑞景外国语分校九年级数学第一学期期末统考试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是()A． B． C． D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则下列等式正确的是()A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cosA=3．用一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为（）A． B． C． D．4．如图，在纸上剪一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径r＝1，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则R的值是（）A．R＝2 B．R＝3 C．R＝4 D．R＝55．如图，小颖周末到图书馆走到十字路口处，记不清前面哪条路通往图书馆，那么她能一次选对路的概率是（）A． B． C． D．06．一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，﹣1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（）A． B． C． D．7．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．8．抛物线的顶点坐标是（）A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）9．己知a、b、c均不为0,且,若，则k=（）A．-1 B．0 C．2 D．310．如图，抛物线与直线交于，两点，与直线交于点，将抛物线沿着射线方向平移个单位．在整个平移过程中，点经过的路程为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，若点P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为________.12．如图，将Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，连结BB′，若∠1=25°，则∠C的度数是___________．13．分解因式：=____________．14．关于x的一元二次方程x2+nx﹣12＝0的一个解为x＝3，则n＝_____．15．已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．x…﹣1012…y…0343…16．分解因式：x3-4x17．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝º．18．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________．三、解答题(共66分)19．（10分）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．20．（6分）如图，抛物线与直线恰好交于坐标轴上A、B两点，C为直线AB上方抛物线上一动点，过点C作CD⊥AB于D．（1）求抛物线的解析式；（2）线段CD的长度是否存在最大值？若存在，请求出线段CD长度的最大值，并写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝10m，求树高AB．22．（8分）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点的对应点分别为，记旋转角为．(1)如图①，当时，求点的坐标；(2)如图②，当点落在的延长线上时，求点的坐标；(3)当点落在线段上时，求点的坐标（直接写出结果即可）．23．（8分）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为10，CF＝2EF，求BE的长．24．（8分）在直角坐标平面内，直线分别与轴、轴交于点，.抛物线经过点与点，且与轴的另一个交点为.点在该抛物线上，且位于直线的上方.（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结，，且交于点，如果的面积与的面积之比为，求的余切值；（3）过点作，垂足为点，联结.若与相似，求点的坐标.25．（10分）如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．（1）当点B于点O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．①求证：EF平分∠AEC；②求EF的长．26．（10分）如图，在中，，且点的坐标为（1）画出绕点逆时针旋转后的．（2）求点旋转到点所经过的路线长（结果保留）（3）画出关于原点对称的

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】试题分析：正弦的定义：正弦由题意得，故选D.考点：锐角三角函数的定义点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握正弦的定义，即可完成.2、B【分析】利用勾股数求出BC=4，根据锐角三角函数的定义，分别计算∠A的三角函数值即可．【详解】解：如图所示：∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC=4，∴sinA=，故A错误；cosA=，故B正确；tanA=，故C错误；cosA=，故D错误；故选：B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股数的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3、B【分析】根据题意直接利用圆锥的性质求出圆锥的半径，进而利用勾股定理得出圆锥的高．【详解】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意得：，解得r=2cm，故这个圆锥的高为：.故选：B.【点睛】本题主要考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥的性质并正确得出圆锥的半径是解题关键．4、C【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算．【详解】解：扇形的弧长是：＝，圆的半径r＝1，则底面圆的周长是2π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2π，∴＝2，即：R＝4，故选C．【点睛】本题主要考查圆锥底面周长与展开扇形弧长关系,解决本题的关键是要熟练掌握圆锥底面周长与展开扇形之间关系.5、B【分析】在通往图书馆的路口有3条路，一次只能选一条路，则答案可解．【详解】在通往图书馆的路口有3条路，一次只能选一条路，她能一次选对路的概率是故选：B．【点睛】本题主要考查随机事件的概念，掌握随机事件概率的求法是解题的关键．6、B【解析】分析：画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．详解：画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为=，故选：B．点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．7、D【解析】首先利用直径所对的圆周角为90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD边的长，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【详解】∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理及解直角三角形的知识，解题的关键是能够得到直角三角形并利用锐角三角函数求得一个锐角的正弦值，难度不大．8、D【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．故选D．9、D【解析】分别用含有k的代数式表示出2b+c，2c+a，2a+b，再相加即可求解.【详解】∵∴，，三式相加得，∵∴k=3.故选D.【点睛】本题考查了比的性质，解题的关键是求得2b+c=ak，2c+a=bk，2a+b=ck.10、B【分析】根据题意抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a，令x=2,y=(a-)²+,由0≤a≤4,推出y的最大值和最小值,根据点D的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【详解】解：由题意，抛物线沿着射线方向平移个单位，点A向右平移4个单位，向上平移2个单位，∵抛物线=(x+1)²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a个单位，则向上平移a个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a)²-1+a令x=2,y=(3-a)²-1+a,∴y=(a-)²+,∵0≤a≤4∴y的最大值为8，最小值为，∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-)=故选：B【点睛】本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D的移动规律．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.由锐角三角函数的知识可知PC=PE，然后通过证明△CDO∽△AED，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】解：连接AC，连接CD，过点A作AE⊥CD交于点E，则AE为所求.当x=0时，y=3,∴C(0,3).当y=0时，0=-x2+2x+3，∴x1=3，x2=-1，∴A（-1，0）、B（3，0），∴OA=1，OC=3，∴AC=，∵二次函数y=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,∴D(1,0),∴点A与点D关于y轴对称，∴sin∠ACO=，由对称性可知，∠ACO=∠OCD，PA=PD，CD=AC=，∴sin∠OCD=，∵sin∠OCD=，∴PC=PE，∵PA=PD，∴PC+PD=PE+PA，∵∠CDO=∠ADE,∠COD=AED,∴△CDO∽△AED,∴,∴,∴；故答案为.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点，锐角三角函数的知识，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等知识，难度较大，属中考压轴题.12、70°【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点A顺时针旋转90°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∴△ABB′是等腰直角三角形，∴∠ABB′=45°，∴∠AC′B′=∠1+∠ABB′=25°+45°=70°，由旋转的性质得∠C=∠AC′B′=70°．故答案为70°．【点睛】本题考查旋转的性质，掌握旋转图像对应边相等，对应角相等是本题的解题关键．13、【解析】分析：利用平方差公式直接分解即可求得答案．解答：解：a2-b2=（a+b）（a-b）．故答案为（a+b）（a-b）．14、1【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x＝3代入x2+nx﹣12＝0中可得到关于n的方程，然后解此方程即可．【详解】把x＝3代入x2+nx﹣12＝0，得9+3n﹣12＝0，解得n＝1．故答案是：1．【点睛】本题考查一元二次方程解得概念，使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.15、（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x==1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．16、x(x-2y)2【分析】首先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解．【详解】解：原式=x（x2－4xy+4y2）故答案为：x(x-2y)2【点睛】本题考查因式分解，掌握完全平方公式的结构是本题的解题关键．17、55【解析】分析：∵∠ACB与∠AOB是所对的圆周角和圆心角，∠ACB＝35º，∴∠AOB=2∠ACB=70°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=．18、.【解析】试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE∴△ABC∽△ADE∴AC：AE=BC：DE∴DE=∴考点:1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.三、解答题(共66分)19、(1)P(摸出白球)＝；(2)这个游戏规则对双方不公平.【分析】(1)根据A袋中共有3个球，其中2个是白球，直接利用概率公式求解即可；(2)列表得到所有等可能的结果，然后分别求出小林获胜和小华获胜的概率进行比较即可.【详解】(1)A袋中共有3个球，其中有2个白球，∴P(摸出白球)＝；(2)根据题意，列表如下：红1红2白白1(白1，红1)(白1，红2)(白1，白)白2(白2，红1)(白2，红2)(白2，白)红(红，红1)(红，红2)(红，白)由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，颜色不同的结果有5种，∴P(颜色相同)＝，P(颜色不同)＝，∵＜，∴这个游戏规则对双方不公平.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，判断游戏的公平性，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20、（1）y=-x2+2x+3；（2）存在，CD的最大值为，C（）【分析】（1）已知一次函数的解析式，分别令x、y等于0，可以求出点A、B的坐标，分别代入二次函数解析式，求出b、c，即可求出二次函数的解析式；（2）过点C作y轴的平行线交AB于点E，由△AOB是等腰直角三角形可推出△CDE也为等腰直角三角形，设出点C和点E的坐标，用含x的坐标表式线段CE的长度，再根据CD=，可以用x表示CD的长度，构造二次函数，当x=时，求二次函数的最大值即可．【详解】解：（1）在y=-x+3中，当x=0时，y=3；当y=0时，x=3，可得A(3，0)，B(0，3)将A(3，0)，B(0，3)代入y=-x2+bx+c，得解得抛物线的解析式为y=-x2+2x+3（2）∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，∴∠OAB=∠ABO=45°．过点C作y轴的平行线交AB于点E．∴∠CED=∠ABO=45°，∴在Rt△CDE中，CD=设点C(x，-x2+2x+3)，E(x，-x+3)，0<x<3，则CE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x=∴当时，CE有最大值，此时CD的最大值=∵当时，，∴C（）【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求法以及用点的坐标表示线段长度，能够合理的构造二次函数是解决本题的关键．21、树高为6.5米．【分析】根据已知易得出△DEF∽△DCB，利用相似三角形的对应边成比例可得；然后将相关数据代入上式求出BC的长，再结合树高=AC+BC即可得出答案.【详解】解：∵∠DEF＝∠BCD＝90°∠D＝∠D∴△DEF∽△DCB∴＝∵DE＝40cm＝0.4m，EF＝20cm＝0.2m，AC＝1.5m，CD＝10m，∴＝∴BC＝5米，∴AB＝AC+BC＝1.5+5＝6.5米∴树高为6.5米．【点睛】本题的考点是相似三角形的应用.方法是由已知条件得出两个相似三角形，再利用相似三角形的性质解答.22、（1）点的坐标为；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为．【分析】(1)过点作轴于根据已知条件可得出AD=6，再直角三角形ADG中可求出DG，AG的长，即可确定点D的坐标.(2)过点作轴于于可得出，根据勾股定理得出AE的长为10，再利用面积公式求出DH，从而求出OG,DG的长，得出答案(3)连接，作轴于G，由旋转性质得到，从而可证，继而可得出结论.【详解】解：(1)过点作轴于，如图①所示：点，点．，以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，，在中，，，点的坐标为；(2)过点作轴于于，如图②所示：则，，，，，，，点的坐标为；(3)连接，作轴于G，如图③所示：由旋转的性质得：，，，，，，在和中，，，，，点的坐标为．【点睛】本题考查的知识点是坐标系内矩形的旋转问题，用到的知识点有勾股定理，全等三角形的判定与性质等，做此类题目时往往需要利用数形结合的方法来求解，根据每一个问题做出不同的辅助线是解题的关键.23、（1）见解析；（2）见解析；（3）BE＝1．【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；（2）由圆周角定理得到，根据“同角的余角相等”推知，结合已知条件证得结论；（3）设，则，由勾股定理可求EF的长，即可求BE的长．【详解】（1）如图，连接OE．∵CD是圆O的直径，∴．∵，∴．又∵，即，∴，∴，即，∴，又∵点E在圆上，∴PE是⊙O的切线；（2）∵AB、CD为⊙O的直径，∴，∴（同角的余角相等）．又∵，∴，即ED平分∠BEP；（3）设，则，∵⊙O的半径为10，∴，在Rt△OEF中，，即，解得，∴，∴．【点睛】本题考查了圆和三角形的几何问题，掌握切线的性质、圆周角定理和勾股定理是解题的关键．24、（1）；（2）；（3）的坐标为或【分析】（1）先根据直线表达式求出A,C的坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；（2）过点作于点，先求出点B的坐标，再根据面积之间的关系求出点E的坐标，然后利用余切的定义即可得出答案；（3）若与相似，分两种情况：若，；若时，，分情况进行讨论即可.【详解】（1）当时，，解得，∴当时，，∴把，两点的坐标代入，得，解得，.（2）过点作于点，当时，解得∴，，，，，.，.（3），，①若，,则点的纵坐标为2，把代入得或（舍去），.②若时，过点作轴于点，过点作交轴于点，，，，，设，则，，.∵，∴∴，，设，代入得（舍去）或者，.综