八年级数学11.1全等三角形

的、

11.1全等三角形利用几何语言来描述为：

如图11.1-1,

VAABC^ADEF(已知)

理解全等形、全等三角形及相关概念和

全等三角形的性质。

=(全等三角形的

情看导入

对应边相等)

二人小组复述，回顾下列知识二Z=N

1.观察思考：如图1所示，每组的两个Z_________=Z_______

图形有什么特点？你用什么方法去验Z=N(全等三角

证？形的对应角相等)

6.再观察教材图11.1-1,2,3,找对应

△△元素你还有哪些方法？

①②

1.判断题:

(1)全等三角形的对应边相等，对应

角相等。()

(2)全等三角形的周长相等，面积也

④相等。()

图1(3)面积相等的三角形是全等三角形。

2.在生活中还有具有以上特点的图形吗？()

请举例说明。(4)周长相等的三角形是全等三角形。

()

2.如图2所示，AOCA丝/XOBD,C和

阅读教材巴P3,完成下列问题：B,A和D是对应顶点，说出这两个三角形

1.(1)全等形的定义：中相等的边和角。

叫做全等形；

(2)全等的特点：________________

2.全等三角形的定义：

叫做全等三角形。

3.通过图11.1-1,2,3,我们发现：

一个图形经过平移、翻折、旋转后，

变化了，但、都没

巩国利稼

有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图

形o1.如图3所示，请指出下列全等三角

4.什么是对应顶点、对应边、对应角？形的对应边和对应角.

两个全等三角形如何表示？就注意什么？

5.全等三角形的性质：全等三角形

招展延伸

1.如图6所示，已知aABC丝Z\ADE,

ZC=ZE,BC=DE,

(1)AABE^AACF

对应角是：；

对应边是：；

(2)△BCEZACBF

对应角是：；其他的对应边有：__________________

对应边是:：其他的对应角有：__________________

(3)ABOF^ACOE想一想：/BAD=NCAE成立吗？为什

对应角是：:么？

对应边是：；

2.如图4所示，ZXABD丝ACDB,若AB=3,

AD=4,BD=6,则BC=,CD=

2.如图7所示，AABCgaDEF,,AC

与DF是对应边，NA与ND是对应角，则

AC〃DF成立吗？请说明理由。

3.如图5所示，△ABDzZkEBC,AB=3cm,

BC=5cm,求DE的长.

3.如图8所示，把等腰△ABC绕点C顺

时针旋转35。得到△ABC,AB交AC于

点D,己知NA，DC=90。，求NA的度数。

用几何符号语言表示为：

11.2三命形合等的判定在△ABC与△ABC中,

AB=A'B'

(第一钵时)

•••AC^A'C'

学习目橄

：.△________________

1.掌握三角形全等的判定方法“边边

4.阅读例题1,掌握证明的格式和步骤。

边”

5.如何用尺规作一个角等于已知角？

2.能利用“边边边”证明三角形全等

你能说明这样作用的理由吗？

二人小组复述，回顾下列知识：

L什么是全等三角形？它有什么性

质？

2.如何确定全等三角形的对应元素?

1.如图2所示，已知NABC,

求作：/AEC,使得/ABC=NAE。。

阅读教材P6-P8,完成下列问题：

1.［探究1］如果两个三角形有一个或两

个元素对应相等，这两个三角形全等吗？如

不全等，举反例说明。

(1)只有一边或一角：

(2)有两边或两角或一边和一角：—

2.［探究2］

(1)己知如图1所示△ABC,仿照教材

的作法，作△AB。，使得：AE=AB,

A'C'=AC,B'C'=BC。

2.如图3所示，AB=CD,AD=CB,

求证：ZXABDgaCDB

(2)在作图过程中的两次画弧，

其目的分别是什么？

3.相似三角形的判定一

图3

三边的两个三角形全等，

简写为“”或“"，其

中有一个关键词是“”。

1.如图4所示，已知△ABC,

求作：△ABC',使得△ABC'段AABC

2.如图5所示,已知EF=BC,ED=BA,

FA=CD。

求证：(1)AEDF^ABAC；如图7所示，已知AB=AC,AE=AD,

(2)EF〃BCBD=CE,找出图中的全等三角形，并给予

(3)DE〃AB证明。

2.如图6所示，已知AB=AC,BD=CDO

求证：ZBAD=ZCAD

11.2-5)

11.2三愈形全等的判定在aABC与B'C中,

(第二钵时J

4ZA=ZA'

学习目橄

_______(理

I.掌握三角形全等的判定方法“边角

由：)

边”

3.阅读例题2,在4CED和4CAB中，

2.能利用“边角边”证明三角形全等

CD、CE的夹角是,它们的对应边

和所夹角分别是，,

二人小组复述，回顾下列知识

在利用SAS证明时，写法上要注意什

1.判定两个三角形全等至少需要几个

么？N1和/2为什么相等？

条件？

4」探究4］“两边及其一边的对角(边边

2.三角形全等的判定一(SSS)的内容

角)对应相等”为什么不能判定两个三角形

是什么？特别要注意什么？

全等？把你的理由向大家展示。

3.如何用尺规画一个角等于已知角？

I.判断题:

阅读教材P，Pio,完成下列问题：

(1)两边及一角对应相等的两个三角

1.［探究3］用尺规按照下列方法作图：

形全等。()

如图8所示，己知△ABC,

(2)两边及其夹角对应相等的两个三

求作aA'B'C',使得A'B'=AB,

角形全等。()

ZA'=NA

(3)两边及其一边的对角对应相等的

两个三角形全等。()

(4)顶角和一腰对应相等的两个等腰

三角形全等。()

2.如图9所示，己知线段AB、CD相交

于点0,则/AOC=,若OA=OB,

(1)画NDA'E'=NA；

则还须,才能由SAS公理判断4

(2)在射线A'D上截取A'B'=AB,

AOC^A_________

在射线A'E上截取A'C=AC,；

(3)连接B'C'。

将你画的AA'B'C1剪下来，它能与

△ABC重合吗？你发现了什么？

2.三角形全等的判定二

判定中的“两边及其夹角”你是怎样理

解的？怎样“对应”？

用几何符号语言表示为：(如教材图

4.如图12所示，已知EF〃BC,EF=BC,

AF=CD,

1.在aABC和aDEF中，已知求证：Z\EFD/Z^BCA

AC=DF,BC=EF,要使△ABCdDEF,

还需条件（）

A.ZA=ZDB.ZC=ZF

C.ZB=ZED.ZC=ZD

2.如图10所示，已知AD〃BC,则N

1=Z2,理由是，

又已知AD=CB,AC是公共边，则4ACD

^△CAB,理由是,

"展奖伸

如图13所示，已知AB=AC,DB=DC,

3.如图11所示，已知AB=AC,求证：（1）AABD^AACD

AD=AE,Z1=Z2（2）BE=CE

求证：（1）AABD^AACE

（2）ND=NE

A

B</\>C

B

ED

三俞彬小等的判定思路，再看书)

5.三角形全等的判定四

先读内容，再用符号语言表示。

(第三锦时

J6.在例题3中，要证明AD=BE,只要

证明：

考制目粽

©△_______,而要证明它们

1.掌握三角形全等的判定方法“角边全等，

角、角角边”需要个条件，题目中只给出两

2.能利用“角边角、角角边”证明三角个，另一个在哪里？

形全等7.归纳三角形全等的判定方法有哪

些？哪些情况不能判定三角形全等？

演故土i

二人小组复述，回顾下列知识：e考检制

1.如果两个三角形有一个或两个元素3

对应相等，这两个三角形全等吗？三个元素1.判断题:

对应相等的情况有哪些？我们已经研究了(1)两角及其夹边对应相等的两个三

哪些？结论是什么？角形全等。()

两角及其中一角的对边对应相等

2.如何作一个角等于已知角？(2)

的两个三角形全等。()

由£程宛

0(3)两角及其一边相等的两个三角形

不全等。()

阅读教材PuP⑵完成下列问题：

1.［探究5］用尺规按教材方法作图：2.图15中的两个三角形全等吗？请说

如图14所示，已知△ABC,明理由。

求作：4A'B'C',使得A'B'=AB,

ZA=ZA',ZB'=ZB

将你画的B'C剪下来，它能与

△ABC重合吗？你发现了什么？1.能判定AABC丝4DEF的条件是

2.三角形全等的判定三()

(1)你是如何理解这个判定定理的？A.AB=DE,ZC=ZE,BC=EF

(2)你能用几何的符号语言表示吗？B.AB=DE,/A=/E,BC=EF

在写法上要注意什么？C.ZA=ZE,AB=EF,ZB=ZD

3.在一个三角形中，如果其中两个角是D.ZA=ZD,AB=DE,ZB=ZE

确定的，第三个角能确定吗？为什么？2.如图16所示，下列条件中，不能判

4.你能独立完成“探究5”吗？(先想定AABD和4CDB全等的条件是()

5.如图18所示，已知，NA=NB,

ZE=ZF,AOBD

求证：AF=BE

AAD〃BC,AB=CD

BAB〃CD,AB=CD

CAB=CD,AD=CB

DAB〃CD,AD〃CB

3.如图17所示，已知/B=/C,

(1)若AB=AC,则△ABCg

,其理由是

(2)若AC=AE,也可证

.与______全等，其理由是

和屐延伸

4.如果要使AABC丝ADEF,下列各种如图19所示，已知，OA=OB,OC=OD,

情况中，将还需补充的条件加在题后的横线且0B平分NAOC,0C平分NBOD,0B

上。交AC于点M,0C交BD于点N,

(1)AB=DE,NB=NE,求证：(1)ZOAC=ZOBD；

其理由是(2)OM=ON

(2)NA=ND,NC=NF,

其理由是

(3)AC=DF,BC=EF,

其理由是

AB

11.2三命形合等的判定

（第四钵时J

学习目标©将你画的AA'B'C'剪下来，它能与

△ABC重合吗？你发现了什么？

1.掌握直角三角形全等的判定方法

2.直角三角形全等的判定

“HL"

与对应相等的两

2.能利用各种判定方法证明直角三角

个三角形全等，（或）

形全等

本判定的前提条件是什么？请用符号

温故量至语言表示。

3.学习这个判定后，你对“SSA”有什

二人小组复述，回顾下列知识

么新的认识？

1.判定两个三角形全等的方法有哪

4.阅读例题4,并说明每一步的依据

些？

2.“SSA”为什么不能判定两个三角形4等检例

全等？

1.判断两个直角三角形全等的方法不

3.如图20所示,已知在RtAABC与Rt

正确的是（）

△A'B'C'中，NC=NC',再添加哪些

A.两条直角边对应相等。

条件可使RtAABC^RtAA,B'C'?依

B.斜边和一锐角对应相等。

据是什么？有哪儿种方法？

C.斜边和一条直角边对应相等。

D.两个锐角对应相等。

2.如图22所示，在ZXABC中，AB=AC,

AD是局。

求证：BD=CD

阅读教材P"P14,完成下列问题：

1.［探究8］用尺规按教材方法作图：

如图21所示，已知RtAABC,

求作：RtAA*B'U,使得/C'=

ZC=90°,B'C=BC,A'B'=AB

3.如图23所示，CE_LAB,DF±AB,

a

垂足分别为E、Fo

3.如图25所示，平坦的广场上有两根

旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，

经过测量这两根旗杆在太阳光照射下的影

⑴若AC〃BD,且AC=BD,510△ACE子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等

四△BDF,依据是（）吗？说说你的理由。

（2）若AC//BD,且AE=BF,贝QACE

出△BDF,依据是（）

⑶若AE=BF,且CE=DF,则4ACE

四△BDF,依据是（）

⑷若AC=BD,CE=DF（或AE=BF）,

则△ACEgZ\BDF,依据是（）

I.判断题：如图26所示，为上一点，分别过作的

(1)一个锐角和这个锐角的对边对应垂线，垂足分别为，

相等的两个直角三角形全等。()求证：EF=CF-AE

(2)一个锐角和这个锐角相邻的一直

角边对应相等的两个直角三角形全等。()

(3)一个锐角与斜边对应相等的两个

直角三角形全等。()

(4)两直角边对应相等的两个直角三

角形全等。()

(5)两边对应相等的两个直角三角形

全等。()

(6)两锐角对应相等的两个直角三角

形全等。()

(7)一个锐角与一边对应相等的两直

角三角形全等。()

(8)一直角边和斜边上的高对应相等

的两个直角三角形全等。()

2.如图24所示，已知线段a、c(a<c)和

一个角a,利用尺规作一个aABC,使NC

=/a,AB=c,CB=a。

什么？

11.3龟率台铁的嘏质

A

(第一钵对)

1.掌握角平分线的尺规作图图2

2.能利用“边边边”证明角平分线的尺

规作图的正确性(3)在上面作法的第二步中，去掉“大

于，MN的长“这个条件行吗？为什么？

2

二人小组复述，回顾下列知识4.探究图13.3-3中,两条“红线段”的

1.什么是角平分线？”三角形的角平分长其实就是角平分线上的点到角的两边

线”与“角平分线”有什么区别的，它们的关系是__________

2.如图1-①所示，0C是NAOB的平分5.角平分线的性质________________

线，则/—=N_，依据是____________你能用几何语言表述吗？

6.阅读角平分线性质的证明过程，明确

A已知条件是什么，证明的结论是什么。

7.如何证明“命题“？一般步骤是什

上金么？

。«-①--BB②DC

1.用尺规作如图3所示角的平分线。

如图1-②所示，AD是aABC的角平分

AA

线，则/—=N_,依据是____________

[2X^30

---------------------B---------------------B

阅读教材PI9-P21，完成下列问题：

1.在图11.3-1中，要说明AC是NDAB图3

的平分线，其实就是证明/—=z—,2.如图4所示，在AABC中，ZA=90

而这两个角分别在△—和^一中，那么°,BD平分NABC,AD=2cm,则点D到BC

证明这两个三角形全等就可以了，依据是_的距离为______厘米。

A

2.根据“角平分仪”的原理，你能找出

作角平分线的方法吗？用自己的语言向大

家说明。

3.角平分线的作法：

BE

(1)按照教材的作法，作图2所示N

AOB的平分线。图4

(2)在作法中，每一步画弧的目的是

双闿制秣

1.如图5所示，画出三角形三个内角的

平分线，你发现了什么特点吗？

5.如图9所示，已知BD是/ABC的内

角平分线，CD是NACB的外角平分线，由

D出发，作点D到BC、AC和AB的垂线

DE、DF、DG,垂足分别为E、F、G,则

DE、DF、DG的关系是o

步履延伸

图51.如图10所示，过直线AB上一点O,

2.如图6所示，P是NBAC的平分线作直线CD,使得CDLAB

AD上的一点，PE±AB于点E,PF±AC

A-------------------------------------------------------（--------------------------------------------------------------B

于点下列结论中不正确的是（）

F,O

A.PE=PFB.AE=AF

C.AAPE^AAPFD.AP=PE+PF2.如图11所示，ZAOP=ZBOP,AD

10B于点D,BC±OA于点C,AD与BC

交于点Pe

求证：AP〃BP

3.如图7所示，已知在AABC中，

NC=90。，AC=BD,AD平分NCAB,

交BC于点D,DE_LAB于点E,AB=6cm,

则△DEB的周长是

4.如图8所示，已知AB〃CD,。为N

BAC、ZDCA的平分线的交点，OEJ.AC

于点E,0E=2,则两平行线AB、CD间的

距离等于o

3.完成教材图13.3-5所示问题，并说明

11.3角不台铁的嘏质理由。

4.阅读教材例题，说明每一步的依据是

（第二钵时）什么？并思考三角形的三条角平分线为什

么相交于一点？

学习目标©

1.掌握角平分线的性质和判定定理

1.判断并说明理由：如图13所示，B、

2.能利用角平分线的性质和判定定理

C是NA的两条边上的点，且DC=DB,则AD

证明线段和角的相等

平分/ABC。

3.会利用角平分线的性质和判定定理

进行简单作图

演故工全

二人小组复述，回顾下列知识

1.证明几何命题的步骤是什么？

2.角平分线有什么性质？用几何语言

2.如图14所示，在4ABC中，D是BC

表示为：（如图12所示）

的中点，DE_LAB,DFLAC,垂足分别是

E,F,且BE=CF。

求证：（1）ABDE^ACDF；

（2）AD是AABC的角平分线。

VAD是ZBAC的平分线,

且/,：

阅读教材P2”完成下列问题：

1.角平分线的判定：

_________________________的点

在角的平分线上.

已知：

求证：

证明：

2.角平分线的判定用几何语言如何表

示？

2.如图18所示，己知两条公路AB、CD

相交于点O,要在距离点0100米处修一仓

1.如图15所示，已知aABC的外角/库P,且点P到两条公路的距离相等，请确

CBD和/BCE的平分线相交于点F。