中考数学复习全套教学课件

中考数学复习全套教学课件第一板块

基础知识梳理第一讲实数的有关概念第一部分

数与式考纲要求1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数；2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)；3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系；4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方与乘方互为逆运算；5.会用根号表示平方根、立方根，会用平方运算求某些非负数的算术平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；6.会用科学记数法表示数；7.了解取近似数与有效数字的概念；8.能用计算器进行近似计算并按要求对结果取近似数.bbaaabaC网络构建

实数的分类1．按定义分类有理数正整数零正分数负分数正无理数负无理数2．按正负分类3．正数、负数的实际意义

用正负数表示具有相反意义的量．正有理数正无理数负实数负整数负分数

实数的有关概念1．数轴 (1)数轴的三要素分别是：_____、______、________． (2)实数与数轴上的点__________．2．相反数 (1)只有_____不同的两个数叫做互为相反数．

(3)在数轴上，表示互为相反数的两个点关于_____对称．原点正方向单位长度一一对应符号原点0－13．倒数

若a，b互为倒数，则ab＝__，特别说明：___没有倒数．4．绝对值 (1)数轴上表示数a的点到原点的______，叫做数a的绝对值；记作___． (2)|a|___0；5．乘方与开方 (1)乘方：求n个相同因数a的___的运算叫乘方．1零距离|a|≥积a0－a(2)(3)如果x2＝a(x≥0)，那么x叫做a的算术平方根，即x＝___；如果x2＝a，那么x叫做a的_______，即x＝____；如果x3＝a，那么x叫做a的_______，即x＝____．(4)方根与性质平方根算术平方根立方根正数a_________0___0___负数a无无_____________平方根立方根00【即时应用2】实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－2.5|

＝ (

)

A．a－2.5 B．2.5－a C．a＋2.5 D．－a－2.5

答案

B

科学记数法、近似数与有效数字1．用科学记数法表示绝对值较大的数或绝对值较小的数． (1)将绝对值较大的数N写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，指数n为________________________； (2)将绝对值较小的数N写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，指数n为_______________________________________2．一个近似数，________哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．3．一个近似数，从这个数的________第一个________的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．原数的整数位数减1的差原数的第一位有效数字前零的个数的相反数保留到最左边不为零【即时应用3】衢州新闻网2月16日讯，2013年春节“黄金周”全市接待游客总数为833100人次．将数833100用科学记数法表示应为 (

) A．0.8331×106 B．83.31×105 C．8.331×105 D．8.331×104

答案

C助学微博1．初中常见无理数的三种表现形式：(1)含根号化简后开不尽的数；(2)化简后含π(圆周率)的式子；(3)有规律但无限不循环的小数．特别说明：判定数的归属问题，要先化简，再判断．2．判断哪些数的相反数、倒数、绝对值是它本身，哪些数的相反数、倒数、绝对值是它的相反数时，要特别关注零和负数．3．用科学记数法表示数时，无论绝对值较大的数还是绝对值较小的数，都可统一为移动原数的小数点的位置，移到只含有一位整数时，移的位数是几，10的指数的绝对值就是几，左移指数为正，右移指数为负.

对接点一：有理数与无理数常考角度：1.实数的分类，无理数的定义；2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算；3．特殊角的三角函数值．

解析根据常见的无理数的三种形式判断，只有π是无理数．

答案

A1．正确认识初中阶段常见的无理数的三种表现形式，判断时要先化简；2．掌握零指数幂、负整数指数幂的计算方法，知道特殊角的三角函数值．答案

4

对接点二：数轴、相反数、倒数、绝对值常考角度：1.求一个数的相反数、倒数、绝对值；2．根据数轴上点的位置，估计数的大致范围．【例题2】(2013·菏泽)如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c，其中AB＝BC，如果|a|＞|b|＞|c|，那么该数轴的原点O的位置应该在 (

)A．点A的左边B．点A与点B之间C．点B与点C之间D．点B与点C之间或点C的右边解析

∵|a|＞|b|＞|c|，∴点A到原点的距离最大，点B其次，点C最小，又∵AB＝BC，∴原点O的位置是在点C的右边，或者在点B与点C之间，且靠近点C的地方．答案

D1．清楚概念是关键，借用数轴，数形结合是方法；2．根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A、B、C到原点的距离的大小，从而得到原点的大致位置．【名师课堂】【预测2】如果a的倒数是－1，那么a2013等于 (

) A．1 B．－1 C．2013 D．－2013

解析

∵(－1)×(－1)＝1，∴－1的倒数是－1，∴a＝－1，∴a2013＝(－1)2013＝－1.

答案

B

对接点三：科学记数法、近似数与有效数字常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；2．根据要求取近似数和保留有效数字；3．近似数精确到的位数．【例题3】(2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船(中共一大会址)．数2500万用科学计数法表示为 (

) A．2.5×108 B．2.5×107 C．2.5×106 D．25×106

解析科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，因为2500万共有8位，所以n＝8－1＝7.所以2500万＝25000000＝2.5×107.

答案

B1．抓住科学记数法“a×10n”中，对a和n的要求；2．注意单位换算．【预测3】备受宁波市民关注的象山港跨海大桥在2012年12月29日建成通车，此项目总投资约77亿元，77亿元用科学计数法表示为 (

) A．7.7×109元 B．7.7×1010元 C．0.77×1010元 D．0.77×1011元

解析

77亿＝7700000000＝7.7×109.

答案

A

对接点四：平方根与立方根常考角度：1.100以内能够开的尽的正整数的算术平方根和立方根；2．100以内正整数的算术平方根和立方根的估算． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5

答案

C【名师课堂】【预测4】实数－27的立方根是____________．

解析

∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3.

答案－3

对接点五：非负数性质的应用常考角度：1.一个实数的绝对值、平方、算术平方根都是非负数；2．几个非负数的和等于零的条件是每一个加数都是零．

解析根据实数的平方和算术平方根的非负性可得， x－2＝0，y＋1＝0，解得，x＝2，y＝－1.把x＝2，y＝－1代入x－y＝2－(－1)＝3.

答案

3根据非负数的和为零的条件是各加数同时为零，列出方程或方程组，解方程或方程组．解析根据题意得，x－4＝0，y－8＝0，解得x＝4，y＝8，①4是腰长时，三角形的三边分别为4，4，8，∵4＋4＝8，∴不能组成三角形，②4是底边时，三角形的三边分别为4，8，8，能组成三角形，周长＝4＋8＋8＝20，所以，三角形的周长为20.答案

20易错点1：忽略零和负数辨识：在实数中解决问题时，往往忽略零和负数．【例题1】若一个实数的(1)倒数；(2)绝对值；(3)平方；(4)立方；(5)平方根；(6)算术平方根；(7)立方根等于它本身，则这个数分别为 (1)________；(2)________；(3)________； (4)________；(5)________；(6)________； (7)________．[错解]

(1)1；(2)正数；(3)1；(4)1或－1；(5)1；(6)0；(7)1和－1.[错因分析]缺少分类的思想，考虑问题不全面，仍停留在正数或非负数上考虑问题．[正解]

(1)1和－1；(2)非负数；(3)1和0；(4)1、－1和0；(5)0；(6)0和1；(7)－1、0和1.易错点2：平方根与算术平方根的概念混淆【例题2】(2012·绵阳)4的算术平方根是 (

) [错解]

C [错因分析]平方根与算术平方根的概念混淆． [正解]

A第二讲实数的计算及大小比较考纲要求1.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方、开方运算

及简单的混合运算(以三步为主)；2.理解有理数的运算律；3.能运用有理数运算律简化运算；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围；5.会比较有理数的大小；6.了解零指数幂和负整数指数幂的意义，会直接计

算零指数幂和负整数指数幂.cbcccb网络构建

实数的运算1．有理数的运算律在实数范围内仍适用

加法交换律：__________；

加法结合律：___________________；

乘法交换律：______；

乘法结合律：___________；

分配律：_______________．2．在实数范围内的混合运算顺序是：先算____、开方，再算____，最后算加减，运算中有括号的，先算______的，同一级运算从__到右依次进行．a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)ab＝ba(ab)c＝a(bc)a(b＋c)＝ab＋ac乘方乘除括号里左3．有理数的运算法则

加法法则： (1)同号两数相加，取原来的____，并把__________； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； (3)__________的两数相加得0； (4)一个数同0相加，仍得这个数．

减法法则：减去一个数，等于加上这个数的______．

乘法法则： (1)两数相乘，________，异号得负，并把__________，任何数同0相乘都得0；符号绝对值相加绝对值较大的加数互为相反数相反数绝对值相乘同号得正(2)n个不是0的数相乘，负因数的个数是______，积是正数；负因数的个数是______，积是负数．除法法则：(1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；(2)除以一个不为0的数等于乘以这个数的____；(3)0除以任何一个不为0的数都得0.乘方：求n个_____________的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．偶数时奇数时倒数相同因数的积【即时应用1】计算：32×3.14＋3×(－9.42)＝________.

答案

0

实数的大小的比较1．数轴比较法：在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比__________________．2．绝对值比较法：两个负数相比较，绝对值大的反而__．3．特殊比较法： (1)差值法：设a，b是任意两个数，若a－b＞0，则_____；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b； (2)平方法：若a2＞b2(a＞0，b≥0)，则_____；左边的点表示的数大小a＞ba＞ba＞ba＜b【即时应用2】写出一个比－3大的无理数是_____．

零指数幂、负整数指数幂1．零指数幂：a0＝1(a≠0)．【即时应用3】(－2)－2等于 (

)

答案

D助学微博1．算式中只含加、减运算时，通常将减法转化为加法，算式中只含乘、除运算时，通常将除法转化为乘法；2．假分数、小数、带分数乘除时，通常都化为假分数，以便于约分；3．两个正实数比较大小时，常采用特殊方法.

对接点一：实数的运算常考角度：1.有理数的运算法则；2．实数的运算顺序和运算律；3．零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值；4．100以内的算术平方根、立方根为正整数的数；5．定义一种新运算，根据定义进行计算．＝－4＋3－1＋3＝－5＋6＝1.1．熟练掌握实数的运算法则，明确运算顺序；2．在计算中要灵活运用运算律；3．能正确计算零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值的计算方法；4．准确记住特殊角的三角函数值；5．从给定的特例分析特点和规律．【名师课堂】【预测1】定义新运算：对任意实数a、b，都有a⊗b＝a2－b.例如3⊗2＝32－2＝7，那么2⊗1＝________.

解析

∵a⊗b＝a2－b，∴2⊗1＝22－1＝3.

答案

3

对接点二：实数大小的比较常考角度：1.有理数大小的比较；2．无理数大小的比较；3．数轴上两个实数大小的比较；4．两个正实数大小的特殊比较法．【例题2】(2013·杭州)把7的平方根和立方根按从小到大的顺序排列为______________．1．能依据算术平方根和立方根估计无理数的大致范围；2．负数＜0＜正数，数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数；3．比较实数的大小时，要先化简再比较．【预测2】如图，数轴上的两点A、B分别表示实数a、b，则下列四个数中，最大的是 (

)

答案

D

对接点三：实数计算的简单应用常考角度：1.用实数的计算解决实际问题；2．将实际背景转化为数学模型．【例题3】(2012·杭州)某企业向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，则年利率高于________%.

解析因为向银行贷款1000万元，一年后归还银行1065.6多万元，

则年利率是(1065.6－1000)÷1000＝0.0656＝6.56%，

则年利率高于6.56%.

答案

6.561．认真审题，理清实际问题中的数量关系；2．正确理解打折、利润、利润率、增长率、税率、多、少、倍、分等概念．【预测3】“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了____元．

解析八折后的售价为140×0.8＝112(元)，

节省的钱数为140－112＝28(元)．

答案

28

对接点四：计算中规律探究常考角度：1.给出一组具有递进关系的数，通过探求其变化中的规律，归纳或猜想出一般性的结论；2．会对猜想到的一般结论的正确性进行验证；3．利用验证的正确结论解决新问题．变为1，类似的，①对81只需进行________次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255；答案

①3

②2551．从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论；2．对猜想的结论要注意验证．(2)你能设计其他图形揭示这一规律吗？易错点1：对负数大小的比较方法掌握不好辨识：两个负数比较大小时，先比较它们的绝对值，绝对值大的反而小．[错因分析]两个负数比较大小时，绝对值大的反而小．[正解]－π易错点2：对幂的运算不熟练，导致在计算过程中出现符

号的错误．辨识：正确理解乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算．[错解]原式＝2＋1＋3－1＝5.第三讲整式及其运算考纲要求1.了解整式的概念；2.理解用字母表示数的意义，能解释一些简单代数式

的实际背景或几何意义；3.会用代数式表示简单问题的数量关系，会求代数式

的值，会根据具体问题选择或确定数学公式并代入

数值进行计算；4.会进行简单的整式加减运算，会进行简单的整式乘

法运算(其中多项式相乘仅限一次式相乘)；5.会推导平方差公式、完全平方公式，能用平方差公

式、完全平方公式进行计算；6.了解平方差公式、完全平方公式的几何背景.abccca网络构建

代数式初步知识1．代数式的分类2．能用代数式表示简单问题的数量关系3．单项式与多项式的次数(1)一个单项式中，所有字母的________，叫做这个单项

式的次数；(2)一个多项式中，_________________叫做多项式的次数．单项式多项式整式指数之和次数最高项的次数【即时应用1】在下列代数式中，次数为3的单项式是 (

) A．xy2 B．x3＋y3 C．x3y D．3xy

答案

A字母相同字母的指数系数相加字母相同字母的指数不变找同类项合并同类项改变

整式的加减运算1．同类项：所含____相同，并且______________也相同的项，叫做同类项；2．合并同类项法则：把同类项的________，____和_______________不变．3．去括号法则：括号前是“＋”把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都____；括号前是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉后，原括号里各项的符号都____．4．整式加减的步骤：(1)________，(2)__________．【即时应用2】下面的计算正确的是 (

) A．6a－5a＝1 B．a＋2a2＝3a3 C．－(a－b)＝－a＋b D．2(a＋b)＝2a＋b

答案

C

整式的乘除运算1．幂的运算法则 (1)am·an＝_____(m，n都是正整数)； (2)am÷an＝_____(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)，特别的：a0＝_(a≠0)，a－p＝__(a≠0，p是正整数)； (3)(am)n＝___(m，n都是正整数)； (4)(ab)n＝____(n是正整数)； (5)()n＝__(b≠0，n为正整数)．am＋nam－namnanbn12．整式的乘法法则 (1)单项式与单项式相乘：把相同字母的____________，作为积中相同字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，则____________作为积的一个因式； (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝____________； (3)多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝_____________ __； (4)乘法公式

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝______；完全平方公式：___________________；指数分别相加ma＋mb＋mcma＋mb＋na＋a2－b2连同它的指数nb(a±b)2＝a2±2ab＋b23．整式的除法 (1)单项式的除法：把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的________商的一个因式； (2)多项式除以单项式：(ma＋mb＋mc)÷m＝________ (m≠0)．4．整式的混合运算：先____，再____，最后算____，有括号，先算括号里的；有时会利用运算律简化运算．指数作为a＋b＋c乘方乘除加减【即时应用3】下列计算正确的是 (

) A．3a＋2b＝5ab B．a·a4＝a4 C．a6÷a2＝a3 D．(－a3b)2＝a6b2

答案

D助学微博1．整式加减的实质是合并同类项，若有括号就先去括号，再合并同类项，去括号时一定注意符号，特别是括号前是负号时，括号和负号去掉后，括号内的各项都改变符号；2．应用幂的运算性质时要注意：(1)运算的顺序，(2)幂的符号；3．在运用公式或法则进行运算时，首先要判断式子的结构特征，确定解题思路，以便使解题更加方便、快捷.

对接点一：列代数式表示简单问题中的数量关系常考角度：1.用代数式表示数量关系；2．用代数式总结带有规律性的问题，验证总结的规律，用总结的规律解决问题．【例题1】(2012·温州)某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有________人(用含有m的代数式表示)

解析

∵设会弹古筝的有m人，则会弹钢琴的人数为：m＋10，

∴该班同学共有：m＋m＋10－7＝2m＋3，

答案

2m＋3.1．正确理解数量关系中的关键词语：多、少、和、差、倍、分、增加、增加到等；2．学会观察、猜想、验证问题中的内在规律，并会用数学符号语言正确表述规律．【名师课堂】【预测1】在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A(0，4)，点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是________；当点B的横坐标为4n(n为正整数)时，m＝________(用含n的代数式表示)．解析如图：当点B在(3，0)点或(4，0)点时，△AOB内部(不包括边界)的整点为(1，1)(1，2)(2，1)，共三个点，所以当m＝3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；当点B的横坐标为8时，n＝2时，△AOB内部(不包括边界)另解：网格点横向一共3行，竖向一共是4n－1列，所以在y轴和4n点形成的矩形内部一共有3(4n－1)个网格点，而这条连线为矩形的对角线，与3条横线有3个网格点相交，所以要减掉3点，总的来说就是矩形内部网格点减掉3点的一半，即为[3(4n－1)－3]÷2＝6n－3.答案

3或4，6n－3

对接点二：整式的运算与求代数式的值常考角度：1.幂的运算法则；2．乘法公式；3．整式的加、减、乘、除运算；4．乘法公式的几何背景；5．化简代数式并求代数式的值．【例题2】(2013·宁波)7张如图1的长为a，宽为b(a＞b)的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足 (

)解析左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，AE＋ED＝AE＋a，BC＝BP＋PC＝4b＋PC，∴AE＋a＝4b＋PC，即AE－PC＝4b－a，∴阴影部分面积之差S＝AE·AF－PC·CG＝3b·AE－a·PC＝3b(PC＋4b－a)－a·PC＝(3b－a)PC＋12b2－3ab，则3b－a＝0，即a＝3b.答案

B【例题3】(2013·丽水)先化简，再求值：(a＋2)2＋(1－a)(1＋a)，其中a＝－.

分析：首先根据完全平方公式和平方差公式化简，然后代入求值；

解原式＝a2＋4a＋4＋1－a2＝4a＋5；1．熟练掌握整式的加减乘除及幂的运算法则；2．熟练掌握乘法公式，能正确运用乘方公式进行计算和化简；3．了解乘法公式的几何背景．【名师课堂】【预测2】下列计算正确的是 (

) A．a3·a4＝a12 B．(a3)4＝a7 C．(a2b)3＝a6b3 D．a3÷a4＝a(a≠0)解析

A．应为a3·a4＝a7，故本选项错误；B．应为(a3)4＝a12，故本选项错误；C．每个因式都分别乘方，正确；答案

C

对接点三：整式的运算在打折销售和商品利

润中的应用常考角度：1.商品销售提价和打折问题；2．商品销售盈利百分率及盈亏问题．【例题4】某商贩一天出售了甲、乙两种商品，售价都是1200元，其中甲商品盈利20%，乙商品亏本20%，请分析这个商贩这一天的盈亏情况．

分析：由题意可知这一天的销售总收入是2400元，因此要知道盈亏情况，只要求出甲、乙两件商品的成本即可．1．清楚“打折和提价都是相对于标价”；2．理解“盈亏都是相对于进价(或成本)”；3．乘除运算不能混．【预测3】某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%.

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？解

(1)设商铺标价为x万元，则按方案一购买，则可获投资收益(120%－1)·x＋x·10%×5＝0.7x，按方案二购买，则可获投资收益(120%－0.85)·x＋x·10%×(1－10%)×3＝0.62x，∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高．(2)商铺标价为x万元，则甲投资了x万元，则乙投资了0.85x万元．由题意得0.7x－0.62x＝5，解得x＝62.5，乙的投资是62.5×0.85＝53.125万元，∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元.易错点1：运算法则“张冠李戴”辨识：幂的运算法则“张冠李戴”，并且易与整式的乘除法相混．【例题1】(2012·杭州)下列计算正确的是 (

) A．(－p2q)3＝－p5q3 B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2ab C．3m2÷(3m－1)＝m－3m2 D．(x2－4x)x－1＝x－4

[错解]

A、B、C[错因分析]选A、B错误的原因是：对幂的运算法则掌握不好，理解不透；选C错误的原因是单项式除以多项式，当不能约分时，结果只能用分式表示．[正解]

A．(－p2q)3＝－p6q3，故本选项错误；B．(12a2b3c)÷(6ab2)＝2abc，故本选项错误；D．(x2－4x)x－1＝x－4，故本选项正确．答案

D易错点2：去括号时，符号出错辨识：括号前是负数时，去掉负号和括号，括号内的各项都变号．【例题2】(2013·温州)化简：(1＋a)(1－a)－a(a－3)．

[错解]原式＝1－a2－a2－3a＝1－2a2－3a. [错因分析]其中－a(a－3)应该是－a2＋3a. [正解]原式＝1－a2－a2＋3a＝－2a2＋3a＋1.第四讲分解因式考纲要求1.了解因式分解的概念；2.会用提公因式法进行因式分解(指数是正整数)；3.会用公式法进行因式分解(直接用公式不超过两

次)；4.能有意识地运用因式分解解决计算问题和实际

问题.accc网络构建

因式分解的定义定义：把一个多项式化成几个________的形式，叫做把这个多项式因式分解．【即时应用1】把a2－4a多项式分解因式，结果正确的是 (

) A．a(a－4) B．(a＋2)(a－2) C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4

答案

A整式的积

因式分解的基本方法1．提公因式法：ma＋mb＋mc＝__________；2．运用公式法 (1)平方差公式：a2－b2＝___________； (2)完全平方公式：a2±2ab＋b2＝______．m(a＋b＋c)(a＋b)(a－b)(a±b)2【即时应用2】因式分解：x2－4＝________.

答案

(x＋2)(x－2)

因式分解的基本步骤1．如果多项式的各项有公因式，那么先提______(确定公因式的方法是：系数是各项系数的__________，字母取各项相同的字母且相同字母的___________)，简称为“一提”．2．如果各项没有公因式，那么尽可能尝试________来分解，简称为“二公式”．3．分解因式必须分解到______________为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式写成幂的形式，这些统称为分解彻底，简称为“三分解要彻底”．公因式最大公约数最低指数幂用公式法各项不能再分解【即时应用3】分解因式：ab2－a＝________.

答案

a(b＋1)(b－1)助学微博1．因式分解的结果必须是整式积的形式；2．因式分解与整式的乘法是互逆的；3．分解必须要彻底，要做到：(1)每个因式都不能再分解，(2)重因式的乘积写成幂的形式，(3)不含双重括号；4．变形技巧：当n是奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当n是偶数时，(a－b)n＝(b－a)n.

对接点一：因式分解的概念常考角度：1.什么是因式分解；2．因式分解与乘法的关系．【例题1】(2012·济宁)下列式子变形是因式分解的是 (

) A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6 B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3) C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6 D．x2－5x＋6＝(x＋2)(x＋3)解析

A．x2－5x＋6＝x(x－5)＋6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)是整式积的形式，且左右两边相等，故是分解因式，故本选项正确；C．(x－2)(x－3)＝x2－5x＋6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；D．x2－5x＋6＝(x－2)(x－3)，故本选项错误．答案

B1．牢记因式分解的结果是整式积的形式；2．因式分解与整式的乘法是互逆的，可以用乘法验证因式分解的正确性．【预测1】下面的多项式中，能因式分解的是 (

) A．m2＋n B．m2－m＋1 C．m2－n D．m2－2m＋1

解析

A．m2＋n不能分解因式，故本选项错误； B．m2－m＋1不能分解因式，故本选项错误； C．m2－n不能分解因式，故本选项错误； D．m2－2m＋1是完全平方式，故本选项正确．

答案

D

对接点二：因式分解的基本方法常考角度：1.提公因式法分解因式；2．公式法分解因式；3．分解因式的基本步骤．【例题2】将下列各式分解因式：

(1)(2013·绍兴)分解因式：x2－y2. (2)(2013·湖州市)因式分解：mx2－my2.

分析：(1)x2－y2符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．(2)先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解

(1)x2－y2＝(x＋y)(x－y)． (2)mx2－my2＝m(x2－y2)＝m(x＋y)(x－y)．1．提公因式的方法：“一定”：确定公因式，可按“系数大、字母同、指数低”的原则来确定；“二提”：将各项的公因式提出来，并确定另一个因式．2．根据公式的结构特征套用公式．3．分解要彻底．【名师课堂】【预测2】分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是(

) A．(x－1)(x－2) B．x2 C．(x＋1)2 D．(x－2)2

解析

(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2.

答案

D【预测3】在实数范围内分解因式：a3－8a.解

a3－8a＝a(a2－8)

对接点三：因式分解与求值常考角度：1.利用因式分解求代数式的值；2．整体代入的思想．【例题3】(2013·湖州模拟6)已知x＋y＝3，xy＝1.求x2＋y2的值．

分析：根据完全平方公式可把x2＋y2写成(x＋y)2－2xy，然后再整体代入．

解

x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7.1．通过因式分解将多项式合理变形；2．根据已知条件整体代入；3．灵活运用因式分解使计算更简洁，提高准确率．【预测4】已知实数a，b满足a＋b＝3，ab＝1.求代数式a2b＋ab2的值．

解

a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝1×3＝3.

对接点四：拼图与因式分解常考角度：通过图形的变化验证代数式的变化，培养数形结合的思想．A．k＞2 B．1＜k＜2解析甲图中阴影部分面积为a2－b2，乙图中阴影部分面积为a(a－b)，答案

B1．利用图形的面积相等即面积法，得到乘法公式．利用这种思想，可以进行更复杂的数形转换；2．学会从多角度思考问题．【预测5】图(1)是边长为(a＋b)的正方形，将图(1)中的阴影部分拼成图(2)的形状，由此能验证的式子是(

)A．(a＋b)(a－b)＝a2－b2

B．(a＋b)2－(a2＋b2)＝2abC．(a＋b)2－(a－b)2＝4ab

D．(a－b)2＋2ab＝a2＋b2答案

B易错点1：概念相混淆辨识：因式分解与整式的乘法相混淆．【例题1】(2013·福州)下列等式变形是因式分解并且分解正确的是 (

) A．(a－2)2＝a2－4a＋4 B．－a＋a3＝－a(1＋a2) C．2a－4b＋2＝2(a－2b) D．a2－2a＋1＝(a－1)2 [错解]

A、B、C[错因分析]

A是多项式的乘法运算；B提取公因式－a后第二项忘记了变号，变号后还可以再分解；C提取公因式2后括号里漏掉了第三项1.[正解]

D易错点2：分解不彻底辨识：提取公因式后忘记再利用公式分解；利用公式分解后，往往还可以再利用公式分解．【例题2】分解因式：(1)(2013·济南)－x3＋2x2－x； (2)(2013·太原)x4－1.

[错解]

(1)原式＝x(－x2＋2x－1)； (2)原式＝(x2＋1)(x2－1)． [错因分析]

(1)只提取x，没把“－”号提取，另外第二个因式还可以再分解； (2)分解不彻底，其中x2－1还可以再分解为(x＋1)(x－1)． [正解]

(1)原式＝－x(x2－2x＋1)＝－x(x－1)2； (2)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1).第五讲分式考纲要求1.了解分式的概念；2.知道什么时候分式的值为零，什么时候分式有

意义；3.会利用分式的基本性质进行约分和通分；4.会进行简单的分式的加、减、乘、除及乘方运

算；5.掌握分式的混合运算；6.会对分式先化简，再求值.abcccc网络构建

分式的概念和基本性质1．分式的概念

如果A、B表示________，并且B中含有____，那么式子(B≠0)叫分式，(1)当__________时，分式无意义；(2)_____________________时，分式的值为零．2．分式的基本性质两个整式字母当分母为零分子为零且分母不为零3．分式的符号法则4．约分

把一个分式的分子与分母的______约去，叫做分式的约分；约分的关键是确定分子、分母的公因式，找公因式的方法与因式分解中提公因式法找公因式的方法相同；约分的根据是_______________．公因式分式的基本性质5．通分

把分母不同的几个分式化成________的分式，叫做通分；通分的关键是确定最简公分母，确定最简公分母时，一是_________________________，二是相同字母因式取________，三是只在一个分母中含有的因式，连同它的_________________________；通分的根据是______________．分母相同各分母的系数取最小公倍数最高次幂指数一起作为公分母的因式分式的基本性质【即时应用1】要使分式有意义，x的取值范围满足(

) A．x＝0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0

答案

B

分式的运算1．分式的加减法2．分式的乘除法4．分式的混合运算 (1)运算顺序：先算____，再算____，最后算____；若有括号，先算括号里面的． (2)运算结果必须是________或整式．答案

1乘方乘除加减最简分式助学微博1．一个思想：类比的思想是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现的方法；2．分式的运算，法则是关键，计算是基础；3．分式混合运算的顺序不能乱，特别是乘方与乘除，除法转化成乘法后才能约分化简.

对接点一：分式的概念及性质常考角度：1.分式什么时候有意义？什么时候值为零？2．分式的约分和通分．A．x＝3 B．x＝0C．x＝－3 D．x＝－4解析由题意得：x－3＝0，且x＋4≠0，解得x＝3.答案

A1．从以下三个方面透彻理解分式的概念：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．2．掌握分式的基本性质，分式的基本性质是对一个分式而言的，不要和等式的性质相混淆．

对接点二：分式的运算常考角度：1.分式的加、减、乘、除、乘方运算；2．分式的混合运算．00分析：首先确定最简公分母为(x＋2)(x－2)；然后通分，第二个分式的分子与分母同乘以(x＋2)；最后按同分母分式的加减法法则进行加减，并化简．1．分式的运算应注意以下三点：(1)正确运用运算法则和因式分解；(2)灵活运用运算律；(3)运算结果要化简，结果应为最简分式或整式；2．通分、约分的依据都是分式的基本性质．

对接点三：分式的化简求值常考角度：1.分式的运算；2．实数的运算．分析：首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出x的值，然后再代入化简后的分式即可．1．先化简分式，再把给定的数代入化简后的结果计算，有时需要整体代入；2．所代入的数必须使原分式中的各分母都不为零．【名师课堂】

聆名师精讲(题14)易错点1：忽略分式的隐含条件辨识：分式的分母永远不能为零，除式永远不能为零．[错因分析]要使给定的式子有意义，必须使分母和除式都不为零，即x≠－2，0，2；所以x只能从1和－1中选取一个．易错点2：顾此失彼辨识：分式为零的条件是分子为零且分母不为零．[错解]因为分式为0，所以分子为0，即3x2－27＝0，解得x＝±3.[错因分析]忽略了分式有意义的条件是分母不为0，所以x－3≠0，所以x≠3，所以x＝－3.[正解]由3x2－27＝0，解得x＝±3，又因x－3≠0，所以x≠3，所以x＝－3.第六讲二次根式考纲要求1.了解二次根式的概念，知道二次根式的被开方数的

取值范围；2.理解二次根式的性质，会用二次根式的性质化简二

次根式；3.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则；4.会用二次根式运算法则进行实数的简单四则运算(不要求分母有理化).abab网络构建

二次根式的概念及其性质1．二次根式的概念

二次根式：形如___(______)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根式就是a(a≥0)的算术平方根；a(a≥0)的算术平方根可表示为___，a(a≥0)的平方根可表示为____．a≥02．二次根式的性质a3．运用二次根式的性质化简

二次根式化简的标准是：(1)被开方数中不含____；(2)被开方数的每个因式的指数都是1.分母A．2a＋b B．－2a＋bC．bD． 2a－b答案

C

二次根式的运算1．逆用二次根式的性质，可以进行二次根式的乘除法运算．(a±b)3．整式的运算法则、运算律、乘法公式和因式分解都适用于二次根式的运算，二次根式的乘除法也能像分式的乘除法那样进行约分．答案

2助学微博1．二次根式的“双重非负”性：(1)被开方数非负，计算或化简时这个隐含条件往往被忽略；(2)二次根式

本身非负；3．合并二次根式同合并同类项类似，但必须是被开方数相同的二次根式才能合并，并且要先化简再合并；

对接点一：二次根式的意义常考角度：1.二次根式的被开方数必须非负；2．能用二次根式表示实际问题中的数量关系．解析

∵x－3≥0，∴x≥3.答案

x≥3【例题2】(2012·广州)已知一个正方形的面积为(2b－3)cm2，则这个正方形的边长可表示为________cm，字母b的取值范围是________．遇到实际问题时，还要使实际问题有意义，这时要当心0，往往不能为0.答案

A

对接点二：二次根式的性质及运用答案

B

列出不等式，确定被开方数中字母的取值范围时，特别注意：两种情况都包含零．A．1 B．1－2aC．2a－1D．A答案

B

对接点三：二次根式的运算常考角度：二次根式的化简和二次根式的加、减、乘、除及混合运算．A．5＜m＜6 B．4＜m＜5C．－5＜m＜－4 D．－6＜m＜－5答案

A1．二次根式的加、减、乘、除运算类似于整式的加、减、乘、除运算；如：二次根式的加、减是指化简后，再合并被开方数相同的二次根式；整式的运算性质在这里同样适用；

2．二次根式的混合运算应注意：(1)运算顺序；(2)灵活运用运算律；(3)适时运用乘法公式、因式分解和约分，能使运算简便、准确．【名师课堂】名师精讲(题15)【预测3】下列计算错误的是 (

)答案

B易错点1：被开方数非负与分母不为零顾此失彼辨识：二次根式在分母上时，要使二次根式的被开方数非负，同时分母也不能为零．A．x≠1 B．x≥0C．x＞0 D．x≥0且x≠1[错解]

A或B.[错因分析]选A，只顾分母不为零，忘记被开方数非负；选B，只顾被开方数非负，忘记分母不为零．答案

D易错点2：二次根式与有理数的运算法则混用辨识：二次根式的加减，只有被开方数相同的二次根式才能合并；二次根式的乘除只是被开方数相乘除，根号不能漏掉．【例题2】(2012·自贡)下列计算正确的是 (

) [错解]

A、B、D.[正解]

C第七讲一元一次方程及分式方程考纲要求1.了解方程、一元一次方程及分式方程的概念；2.理解方程解的概念；3.了解解分式方程产生增根的原因；4.会解一元一次方程；5.会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的

分式不超过两个)；6.能根据具体问题中的数量关系，建立数学模

型，列出一元一次方程或分式方程，体会方程

是刻画现实世界的一个有效的数学模型；7.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合

理.abbcccc网络构建

一元一次方程、分式方程的概念及

等式的性质1．方程

含有未知数的____，叫做方程．2．方程的解

使方程左右两边________________叫做方程的解．3．一元一次方程

方程两边都是____，只含有____未知数，并且未知数的次数是____，这样的方程叫做一元一次方程．等式相等的未知数的值整式一个一次4．分式方程

只含分式和整式，并且____中含有未知数的方程叫做分式方程．5．等式的性质 (1)等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是____；符号表示：若a＝b，则a±m＝_____． (2)等式的两边都乘以或都除以同一个不为__________ __，所得结果仍是等式，符号表示：若a＝b，则am＝ ___，＝___

(m≠0)．分母等式b±m零的数或整式bm【即时应用1】已知关于x的方程2x－a－5＝0的解是x＝－2，则a的值为 (

)

A．1 B．－1 C．9 D．－9

答案

D

一元一次方程与分式方程的解法1．解一元一次方程的一般步骤 (1)去____：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项； (2)去____：用分配律：a(b＋c)＝ab＋ac去括号，括号前是负号“－”时，去括号后，括号内的各项不要忘记____； (3)____：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，移项不要忘记____； (4)合并______：把方程化成ax＝b的形式；分母括号变号移项变号同类项2．解分式方程的基本步骤 (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的__________，约去分母，化成整式方程； (2)解________； (3)验根：把整式方程的根代入__________，看结果是不是为零，使最简公分母__________，是原方程的根，使最简公分母____的根是原方程的增根，必须舍去．3．分式方程产生增根的原因

去分母后，求出整式方程的解，使分母____，故应是原方程的增根，须舍去；分式方程的增根是分式方程去分母后________的根．最简公分母整式方程最简公分母不为零的根为零为零整式方程A．x B．2xC．x＋4 D．x(x＋4)答案

D

列方程解应用题的一般步骤1．审：审题就是要弄清问题中的已知量和未知量；2．找：找问题中的_________，通过问题中的关键语句找等量关系；3．设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异，有时需用所设的未知数表示另一个未知量；4．列：列方程，先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系的各个量，即方程；5．解：求出所列方程的解；6．检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；7．答：写出结论或答案．等量关系【即时应用3】杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为________.助学微博1．一个防范：在解一元一次方程时，经常用到两个相乘：一个是去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数；二是将分母化成整数时，把分母、分子同乘以10n.这两个“同乘以”有着本质的区别，不可混淆；2．一个思想：解分式方程的基本思想是转化的思想，即把分式方程通过去分母转化成整式方程；3．一个必须：解分式方程必须验根.

对接点一：方程解的概念及应用常考角度：1.判定给定的数是否是方程的解；2．已知方程的解，求方程中待定字母的值．【例题1】(2013·湖州改编)若x＝2是关于x的方程2x＋3m－1＝0的解，则m的值为________．

解析把x＝2代入2x＋3m－1＝0得，4＋3m－1＝0，解得m＝－1.

答案－11．已知方程的解，求其中字母的值，常根据方程解的定义，把解代入原方程即可求出字母系数的值；2．解选择题时，常把选项中的数代入方程，看左右两边是否相等即可．【预测1】方程x(x－1)＝0的解是 (

) A．x＝0 B．x＝1 C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1

解析当x＝0时，x(x－1)＝0×(0－1)＝0，

当x＝1时，x(x－1)＝1×(1－1)＝0，

当x＝－1时，x(x－1)＝－1×(－1－1)＝2≠0.

答案

C

对接点二：一元一次方程的解法常考角度：1.一元一次方程的解法和步骤；2．等式的性质和分式的基本性质．去分母，得6(x－2)－3(x＋3)＝10(2x－5)－90，去括号，得6x－12－3x－9＝20x－50－90，移项，得6x－3x－20x＝－50－90＋12＋9，合并同类项，得－17x＝－119，系数化1，得x＝7.1．要清楚是利用分式的性质整理和还是利用等式的性质去分母；2．去分母时，不要漏乘不含分母的项；3．去括号时，括号前面是“－”号时，去掉括号后，括号内各项都要变号．解去分母，得6x－3(x－1)＝12－2(x＋1)去括号，得6x－3x＋3＝12－2x－2移项，得6x－3x＋2x＝12－2－3合并，得5x＝7

对接点三：分式方程的解法常考角度：1.分式方程的解法；2．转化的数学思想和方法．分析：根据分式方程的解法，首先确定最简公分母为x－1；然后去分母化成一元一次方程；解一元一次方程；最后不要忘记验根．解方程两边同乘以x－1，得－3＝x－5(x－1)．解得x＝2.检验：当x＝2时，x－1＝2－1＝1≠0，所以，原方程的解为：x＝2.1．去分母时，不要漏乘不含分母的项；2．解分式方程必须验根．【名师课堂】名师精讲(题18)A．1 B．0 C．2 D．－2解析方程两边同乘以x－1，得x－2(x－1)＝m，解得x＝2－m，∴x＝2－m＝1，解得：m＝1.答案

A

对接点四：一元一次方程和分式方程的应用常考角度：1.能利用列方程解应用题的七个步骤解决应用题；2．掌握实际问题中的一些等量关系．【例题4】(2013·菏泽)为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；

信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品．

分析：设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，然后根据甲加工产品的时间比乙加工产品的时间多10天，列出方程求解即可．解设甲工厂每天能加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，经检验，x＝40是原方程的解，并且符合题意，1．5x＝1.5×40＝60，答：甲、乙两个工厂每天分别能加工40件、60件新产品．1．找等量关系是解应用题的关键；2．正确的解方程是基础；3．检验是正确解题的保证．【预测4】冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃均用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？解设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，经检验得出：x＝8是原方程的根且符合题意，则2x＝16.答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．易错点1：解法错误辨识：解法错误主要有：(1)去分母时漏乘；(2)去括号时，括号前是“－”号时，括号内的项忘记变号；(3)移项忘记变号；(4)解分式方程忘记检验．A．18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)B．3x＋(2x－1)＝3－(x＋1)C．18x＋(2x－1)＝18－(x＋1)D．3x＋2(2x－1)＝3－3(x＋1)[错解]

B、C、D.[错因分析]

B．只是简单地、机械地把分母去掉，没有根据等式的基本性质：方程两边同乘以6；C.含分母的项约分约错；D.漏乘不含分母的项．[正解]

A易错点2：忽略隐含条件辨识：解分式方程时，“分母不为零”这个隐含条件往往被忽略．[错解]两边同乘以(x－1)，得：m－3＝x－1，解得：x＝m－2，∵解为正数，∴x＝m－2＞0，∴m＞2.答案

m＞2.[错因分析]忽略了x≠1；[正解]两边同乘以(x－1)，得：m－3＝x－1，解得：x＝m－2，∵解为正数，∴x＝m－2＞0，∴m＞2；又∵x－1≠0，∴x≠1，∴m－2≠1，∴m≠3.答案